שינויים

==תתי [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות==תת סדרה מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של איברים (לא בהכרח סופי). נגדיר זאת במדוייק:|חזרה לסדרות]]

'''הגדרה.''' תהי ==תתי-סדרות==תת-סדרה ממשית <math>a_m</math> ותהי סדרה '''עולה ממש''' מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של מספרים טבעיים <math>n_k</math> אברים (כלומר, <math>n_1<n_2<n_3<...</math>לא בהכרח סופי). אזי <math>a_{n_k}</math> הינה תת סדרה של <math>a_n</math>. נגדיר זאת במדויק:

הערה: שימו לב שמכיוון שההגדרה המדוייקת של ;<font size=4 color=#3c498e>הגדרה.</font>תהי סדרה הינה פונקציה, תת ממשית <math>a_n</math> ותהי סדרה הינה הרכבה '''עולה ממש''' של פונקצית הסדרה על פונקציה המשמיטה איברים מהסדרה מספרים טבעיים <math>n_k</math> (בפרט, את כל האיברים שבין כלומר <math>n_in_1<n_2<n_3<\cdots</math> לבין ). אזי <math>n_a_{i+1n_k}</math> לכל i)הנה תת-סדרה של <math>a_n</math> .

'''דוגמא.''' נביט בסדרה <math>a_1,a_2,a_3,...a_n=(-1)^n</math> ובסדרת המספרים הטבעיים <math>n_k=2k</math> אזי תת סדרה אחת שלה תהא <math>a_1,a_3,a_{15n_k},a_=(-1)^{852k},...=1</math>הנה תת-סדרה של הסדרה המקורית.

'''משפט;<font size=4 color=#3c498e>הגדרה.''' </font>תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי L '''גבול חלקי''' שלה אם"ם '''לכל''' <math>\epsilon >0L</math> ונקרא '''לכלגבול חלקי''' של הסדרה אם קיימת לה תת-סדרה <math>N\in\mathbba_{Nn_k}</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש <math>|a_n-\to L|<\epsilon</math>.

;משפט.תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי <math>L</math> '''גבול חלקי''' שלה אם"ם '''לכל''' <math>\varepsilon>0</math> ו'''לכל''' <math>N\in\N</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש- <math>|a_n-L|<\varepsilon</math> . במילים, '''קיימים''' אינסוף איברים אברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא '''כל''' האיברים האברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי). ;משפט.סדרה מתכנסת לגבול <math>L</math> אם"ם כל תתי-הסדרות שלה מתכנסות לגבול <math>L</math> . '''מסקנה.''' אם לסדרה קיימת תת-סדרה המתכנסת לגבול <math>K</math> וקיימת תת-סדרה שאינה מתכנסת לגבול <math>K</math> אזי הסדרה המקורית אינה מתכנסת.   ;משפט בולצאנו ויירשטראס.לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת. '''[[משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס|הוכחה]]'''. (בהוכחה מוזכרת גם הלמה של קנטור.) ;משפט.תהי <math>a_n</math> סדרה המתכנסת לגבול <math>L</math> . אזי כל תת-סדרה שלה מתכנסת לגבול <math>L</math> . ;הוכחה.לפי הגדרת הגבול, לכל <math>\varepsilon</math> יש מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה אברי הסדרה קרובים לגבול עד כדי <math>\varepsilon</math> . כיון שאברי תת-הסדרה נלקחים מהסדרה המקורית ללא שינוי סדר הקדימות, גם אבריה קרובים לגבול עד כדי <math>\varepsilon</math> החל ממקום מסוים והלאה. (שימו לב שהמקום הזה מגיע יותר מהר מאשר בסדרה המקורית כיון שאולי זרקנו אברים בדרך.)  ;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>מצא את '''כל''' הגבולות החלקיים של הסדרה <math>a_n=(-1)^n\left(5-\dfrac4{2^n}\right)</math> ;פתרוןנביט בתת הסדרה המורכבת מהאברים הזוגיים <math>a_{2k}=\left(5-\dfrac4{2^{2k}}\right)\to5-0=5</math> באופן דומה סדרת האי-זוגיים שואפת ל- <math>-5</math> . האם <math>\pm5</math> הם הגבולות החלקיים היחידים של הסדרה? נניח בשלילה שהיה גבול חלקי אחר. לפי ההגדרה, קיימת תת-סדרה השואפת אליו. בהכרח היו בתת-סדרה זו אינסוף אברים זוגיים '''או''' אינסוף אברים אי-זוגיים. נביט בתת-הסדרה המורכבת מאינסוף אברים אילו בתוך תת-הסדרה. מצד אחד הם שואפים ל- <math>\pm5</math> כי הם מהווים תת-סדרה של האברים הזוגיים או האי-זוגיים, אבל מצד שני הם שואפים לגבול החלקי האחר מכיון שהם מהווים תת-סדרה של תת-הסדרה המתכנסת אליו, בסתירה.  ;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא.</font>לסדרה הבאה, אינסוף גבולות חלקיים::<math>1,1,\dfrac12,1,\dfrac12,\dfrac13,1,\dfrac12,\dfrac13,\dfrac14,\ldots</math>  ;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font> מצא סדרה שקבוצת הגבולות החלקיים שלה מהווה את כל המספרים הממשיים. ;פתרוןנסדר את קבוצת המספרים הרציונאליים <math>\Q</math> . כיון שבכל סביב של מספר ממשי ישנו מספר רציונאלי, ניתן לבנות סדרת מספרים רציונאליים השואפת אליו. בנוסף, ברור כי יש תתי-סדרות השואפות לפלוס ומינוס אינסוף. בכוונה לא ניסחנו את הפתרון באופן פורמלי ומדויק, עשו את זה בעצמכם כתרגיל.