שינויים

==תתי -סדרות==תת -סדרה מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של איברים אברים (לא בהכרח סופי). נגדיר זאת במדוייקבמדויק:

''';<font size=4 color=#3c498e>הגדרה.''' </font>תהי סדרה ממשית <math>a_ma_n</math> ותהי סדרה '''עולה ממש''' של מספרים טבעיים <math>n_k</math> (כלומר, <math>n_1<n_2<n_3<...\cdots</math>). אזי <math>a_{n_k}</math> הינה הנה תת -סדרה של <math>a_n</math>.

הערה: שימו לב שמכיוון שמכיון שההגדרה המדוייקת המדויקת של סדרה הינה הנה פונקציה, תת -סדרה הינה הנה הרכבה של פונקצית פונקציית הסדרה על פונקציה המשמיטה איברים אברים מהסדרה (בפרט, את כל האיברים האברים שבין <math>n_in_k</math> לבין <math>n_{ik+1}</math> לכל i<math>k</math>).

'''דוגמא.''' נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math> ובסדרת המספרים הטבעיים <math>n_k=2k</math> אזי <math>a_{n_k}=(-1)^{2k}=1</math> הינה הנה תת -סדרה של הסדרה המקורית.

'''דוגמא.''' נביט בסדרה <math>a_1,a_2,a_3,...\ldots</math> אזי תת -סדרה אחת שלה תהא <math>a_1,a_3,a_{15},a_{85},...\ldots</math>

''';<font size=4 color=#3c498e>הגדרה.''' </font>תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי <math>L </math> נקרא '''גבול חלקי''' של הסדרה אם קיימת לה תת -סדרה <math>a_{n_k}\to L</math> כך ש- L הוא גבול שלה.

''';משפט.''' תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי <math>L </math> '''גבול חלקי''' שלה אם"ם '''לכל''' <math>\epsilon varepsilon>0</math> ו'''לכל''' <math>N\in\mathbb{N}</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש - <math>|a_n-L|<\epsilonvarepsilon</math>.

במילים, '''קיימים''' אינסוף איברים אברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא '''כל''' האיברים האברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי). ;משפט.סדרה מתכנסת לגבול <math>L</math> אם"ם כל תתי-הסדרות שלה מתכנסות לגבול <math>L</math> . '''מסקנה.''' אם לסדרה קיימת תת-סדרה המתכנסת לגבול <math>K</math> וקיימת תת-סדרה שאינה מתכנסת לגבול <math>K</math> אזי הסדרה המקורית אינה מתכנסת.   ;משפט בולצאנו ויירשטראס.לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת. '''[[משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס|הוכחה]]'''. (בהוכחה מוזכרת גם הלמה של קנטור.) ;משפט.תהי <math>a_n</math> סדרה המתכנסת לגבול <math>L</math> . אזי כל תת-סדרה שלה מתכנסת לגבול <math>L</math> . ;הוכחה.לפי הגדרת הגבול, לכל <math>\varepsilon</math> יש מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה אברי הסדרה קרובים לגבול עד כדי <math>\varepsilon</math> . כיון שאברי תת-הסדרה נלקחים מהסדרה המקורית ללא שינוי סדר הקדימות, גם אבריה קרובים לגבול עד כדי <math>\varepsilon</math> החל ממקום מסוים והלאה. (שימו לב שהמקום הזה מגיע יותר מהר מאשר בסדרה המקורית כיון שאולי זרקנו אברים בדרך.)  ;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>מצא את '''כל''' הגבולות החלקיים של הסדרה <math>a_n=(-1)^n\left(5-\dfrac4{2^n}\right)</math> ;פתרוןנביט בתת הסדרה המורכבת מהאברים הזוגיים <math>a_{2k}=\left(5-\dfrac4{2^{2k}}\right)\to5-0=5</math> באופן דומה סדרת האי-זוגיים שואפת ל- <math>-5</math> . האם <math>\pm5</math> הם הגבולות החלקיים היחידים של הסדרה? נניח בשלילה שהיה גבול חלקי אחר. לפי ההגדרה, קיימת תת-סדרה השואפת אליו. בהכרח היו בתת-סדרה זו אינסוף אברים זוגיים '''או''' אינסוף אברים אי-זוגיים. נביט בתת-הסדרה המורכבת מאינסוף אברים אילו בתוך תת-הסדרה. מצד אחד הם שואפים ל- <math>\pm5</math> כי הם מהווים תת-סדרה של האברים הזוגיים או האי-זוגיים, אבל מצד שני הם שואפים לגבול החלקי האחר מכיון שהם מהווים תת-סדרה של תת-הסדרה המתכנסת אליו, בסתירה.  ;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא.</font>לסדרה הבאה, אינסוף גבולות חלקיים::<math>1,1,\dfrac12,1,\dfrac12,\dfrac13,1,\dfrac12,\dfrac13,\dfrac14,\ldots</math>  ;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font> מצא סדרה שקבוצת הגבולות החלקיים שלה מהווה את כל המספרים הממשיים. ;פתרוןנסדר את קבוצת המספרים הרציונאליים <math>\Q</math> . כיון שבכל סביב של מספר ממשי ישנו מספר רציונאלי, ניתן לבנות סדרת מספרים רציונאליים השואפת אליו. בנוסף, ברור כי יש תתי-סדרות השואפות לפלוס ומינוס אינסוף. בכוונה לא ניסחנו את הפתרון באופן פורמלי ומדויק, עשו את זה בעצמכם כתרגיל.