שינויים

==תתי -סדרות==תת -סדרה מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של איברים אברים (לא בהכרח סופי). נגדיר זאת במדוייקבמדויק:

;<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>תהי סדרה ממשית <math>a_ma_n</math> ותהי סדרה '''עולה ממש''' של מספרים טבעיים <math>n_k</math> (כלומר, <math>n_1<n_2<n_3<...\cdots</math>). אזי <math>a_{n_k}</math> הינה הנה תת -סדרה של <math>a_n</math>.

הערה: שימו לב שמכיוון שמכיון שההגדרה המדוייקת המדויקת של סדרה הינה הנה פונקציה, תת -סדרה הינה הנה הרכבה של פונקצית פונקציית הסדרה על פונקציה המשמיטה איברים אברים מהסדרה (בפרט, את כל האיברים האברים שבין <math>n_in_k</math> לבין <math>n_{ik+1}</math> לכל i<math>k</math>).

'''דוגמא.''' נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math> ובסדרת המספרים הטבעיים <math>n_k=2k</math> אזי <math>a_{n_k}=(-1)^{2k}=1</math> הינה הנה תת -סדרה של הסדרה המקורית.

'''דוגמא.''' נביט בסדרה <math>a_1,a_2,a_3,...\ldots</math> אזי תת -סדרה אחת שלה תהא <math>a_1,a_3,a_{15},a_{85},...\ldots</math>

;<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי <math>L </math> נקרא '''גבול חלקי''' של הסדרה אם קיימת לה תת -סדרה <math>a_{n_k}\to L</math> השואפת ל-L.

''';משפט.''' תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי <math>L </math> '''גבול חלקי''' שלה אם"ם '''לכל''' <math>\epsilon varepsilon>0</math> ו'''לכל''' <math>N\in\mathbb{N}</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש - <math>|a_n-L|<\epsilonvarepsilon</math>.

במילים, '''קיימים''' אינסוף איברים אברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא '''כל''' האיברים האברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי).

''';משפט.''' סדרה מתכנסת לגבול <math>L </math> אם"ם כל תתי -הסדרות שלה מתכנסות לגבול <math>L</math> .

'''מסקנה.''' אם לסדרה קיימת תת -סדרה המתכנסת לגבול <math>K </math> וקיימת תת -סדרה שאינה מתכנסת לגבול <math>K </math> אזי הסדרה המקורית אינה מתכנסת.

 ''';משפט בולצאנו ויירשטראס.''' לכל סדרה חסומה יש תת -סדרה מתכנסמתכנסת.

''';משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה המתכנסת לגבול <math>L</math> . אזי כל תת -סדרה שלה מתכנסת לגבול <math>L</math> . ;הוכחה.לפי הגדרת הגבול, לכל <math>\varepsilon</math> יש מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה אברי הסדרה קרובים לגבול עד כדי <math>\varepsilon</math> . כיון שאברי תת-הסדרה נלקחים מהסדרה המקורית ללא שינוי סדר הקדימות, גם אבריה קרובים לגבול עד כדי <math>\varepsilon</math> החל ממקום מסוים והלאה. (שימו לב שהמקום הזה מגיע יותר מהר מאשר בסדרה המקורית כיון שאולי זרקנו אברים בדרך.)  ;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>מצא את '''כל''' הגבולות החלקיים של הסדרה <math>a_n=(-1)^n\left(5-\dfrac4{2^n}\right)</math> ;פתרוןנביט בתת הסדרה המורכבת מהאברים הזוגיים <math>a_{2k}=\left(5-\dfrac4{2^{2k}}\right)\to5-0=5</math> באופן דומה סדרת האי-זוגיים שואפת ל- <math>-5</math> . האם <math>\pm5</math> הם הגבולות החלקיים היחידים של הסדרה? נניח בשלילה שהיה גבול חלקי אחר. לפי ההגדרה, קיימת תת-סדרה השואפת אליו. בהכרח היו בתת-סדרה זו אינסוף אברים זוגיים '''או''' אינסוף אברים אי-זוגיים. נביט בתת-הסדרה המורכבת מאינסוף אברים אילו בתוך תת-הסדרה. מצד אחד הם שואפים ל- <math>\pm5</math> כי הם מהווים תת-סדרה של האברים הזוגיים או האי-זוגיים, אבל מצד שני הם שואפים לגבול החלקי האחר מכיון שהם מהווים תת-סדרה של תת-הסדרה המתכנסת אליו, בסתירה.  ;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא.</font>לסדרה הבאה, אינסוף גבולות חלקיים::<math>1,1,\dfrac12,1,\dfrac12,\dfrac13,1,\dfrac12,\dfrac13,\dfrac14,\ldots</math>  ;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font> מצא סדרה שקבוצת הגבולות החלקיים שלה מהווה את כל המספרים הממשיים. ;פתרוןנסדר את קבוצת המספרים הרציונאליים <math>\Q</math> . כיון שבכל סביב של מספר ממשי ישנו מספר רציונאלי, ניתן לבנות סדרת מספרים רציונאליים השואפת אליו. בנוסף, ברור כי יש תתי-סדרות השואפות לפלוס ומינוס אינסוף.

'''הוכחה.''' לפי הגדרת הגבולבכוונה לא ניסחנו את הפתרון באופן פורמלי ומדויק, לכל אפסילון יש מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה איברי הסדרה קרובים לגבול עד כדי אפסילון. כיוון שאיברי תת הסדרה נלקחים מהסדרה המקורית ללא שינוי סדר הקדימות , גם איבריה קרובים לגבול עד כדי אפסילון החל ממקום מסויים והלאה. (שימו לב שהמקום הזה מגיע יותר מהר מאשר בסדרה המקורית כיוון שאולי זרקנו איברים בדרךעשו את זה בעצמכם כתרגיל.)