שינויים

==תתי -סדרות==תת -סדרה מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של איברים אברים (לא בהכרח סופי). נגדיר זאת במדוייקבמדויק:

;<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>תהי סדרה ממשית <math>a_ma_n</math> ותהי סדרה '''עולה ממש''' של מספרים טבעיים <math>n_k</math> (כלומר, <math>n_1<n_2<n_3<...\cdots</math>). אזי <math>a_{n_k}</math> הינה הנה תת -סדרה של <math>a_n</math>.

הערה: שימו לב שמכיוון שמכיון שההגדרה המדוייקת המדויקת של סדרה הינה הנה פונקציה, תת -סדרה הינה הנה הרכבה של פונקצית פונקציית הסדרה על פונקציה המשמיטה איברים אברים מהסדרה (בפרט, את כל האיברים האברים שבין <math>n_in_k</math> לבין <math>n_{ik+1}</math> לכל i<math>k</math>).

'''דוגמא.''' נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math> ובסדרת המספרים הטבעיים <math>n_k=2k</math> אזי <math>a_{n_k}=(-1)^{2k}=1</math> הינה הנה תת -סדרה של הסדרה המקורית.

'''דוגמא.''' נביט בסדרה <math>a_1,a_2,a_3,...\ldots</math> אזי תת -סדרה אחת שלה תהא <math>a_1,a_3,a_{15},a_{85},...\ldots</math>

;<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי <math>L </math> נקרא '''גבול חלקי''' של הסדרה אם קיימת לה תת -סדרה <math>a_{n_k}\to L</math> השואפת ל-L.

''';משפט.''' תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי <math>L </math> '''גבול חלקי''' שלה אם"ם '''לכל''' <math>\epsilon varepsilon>0</math> ו'''לכל''' <math>N\in\mathbb{N}</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש - <math>|a_n-L|<\epsilonvarepsilon</math>.

במילים, '''קיימים''' אינסוף איברים אברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא '''כל''' האיברים האברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי).

''';משפט.''' סדרה מתכנסת לגבול <math>L </math> אם"ם כל תתי -הסדרות שלה מתכנסות לגבול <math>L</math> .

'''מסקנה.''' אם לסדרה קיימת תת -סדרה המתכנסת לגבול <math>K </math> וקיימת תת -סדרה שאינה מתכנסת לגבול <math>K </math> אזי הסדרה המקורית אינה מתכנסת.

 ''';משפט בולצאנו ויירשטראס.''' לכל סדרה חסומה יש תת -סדרה מתכנסמתכנסת.

''';משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה המתכנסת לגבול <math>L</math> . אזי כל תת -סדרה שלה מתכנסת לגבול <math>L</math> .

''';הוכחה.''' לפי הגדרת הגבול, לכל אפסילון <math>\varepsilon</math> יש מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה איברי אברי הסדרה קרובים לגבול עד כדי אפסילון<math>\varepsilon</math> . כיוון שאיברי כיון שאברי תת -הסדרה נלקחים מהסדרה המקורית ללא שינוי סדר הקדימות , גם איבריה אבריה קרובים לגבול עד כדי אפסילון <math>\varepsilon</math> החל ממקום מסויים מסוים והלאה. (שימו לב שהמקום הזה מגיע יותר מהר מאשר בסדרה המקורית כיוון כיון שאולי זרקנו איברים אברים בדרך.)

;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>מצא את '''תרגיל.כל''' הגבולות החלקיים של הסדרה <math>a_n=(-1)^n\left(5-\dfrac4{2^n}\right)</fontmath>

מצא את '''כל''' הגבולות החלקיים של ;פתרוןנביט בתת הסדרה המורכבת מהאברים הזוגיים <math>a_na_{2k}=(-1)^n\left(5-\frac{4}dfrac4{2^n{2k}}\right)\to5-0=5</math>

'''פתרוןבאופן דומה סדרת האי-זוגיים שואפת ל- <math>-5</math> .'''האם <math>\pm5</math> הם הגבולות החלקיים היחידים של הסדרה?

נניח בשלילה שהיה גבול חלקי אחר. לפי ההגדרה, קיימת תת-סדרה השואפת אליו. בהכרח היו בתת-סדרה זו אינסוף אברים זוגיים '''או''' אינסוף אברים אי-זוגיים. נביט בתת -הסדרה המורכבת מהאיברים הזוגיים מאינסוף אברים אילו בתוך תת-הסדרה. מצד אחד הם שואפים ל- <math>a_{2k}=(5-\frac{4}{2^{2k}}\rightarrow 5-0=5pm5</math>כי הם מהווים תת-סדרה של האברים הזוגיים או האי-זוגיים, אבל מצד שני הם שואפים לגבול החלקי האחר מכיון שהם מהווים תת-סדרה של תת-הסדרה המתכנסת אליו, בסתירה.

 ;<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>

''';פתרון.''' נסדר את קבוצת המספרים הרציונאליים <math>\mathbb{Q}</math>. כיוון כיון שבכל סביב של מספר ממשי ישנו מספר רציונאלי, ניתן לבנות סדרת מספרים רציונאליים השואפת אליו. בנוסף, ברור כי יש תתי -סדרות השואפות לפלוס ומינוס אינסוף.

בכוונה לא ניסחנו את הפתרון באופן פורמלי ומדוייקומדויק, עשו את זה בעצמכם כתרגיל.