נוספו 1,871 בתים,
05:45, 2 בנובמבר 2011 ==תתי סדרות==
תת סדרה מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של איברים (לא בהכרח סופי). נגדיר זאת במדוייק:
'''הגדרה.''' תהי סדרה ממשית <math>a_m</math> ותהי סדרה '''עולה ממש''' של מספרים טבעיים <math>n_k</math> (כלומר, <math>n_1<n_2<n_3<...</math>). אזי <math>a_{n_k}</math> הינה תת סדרה של <math>a_n</math>.
הערה: שימו לב שמכיוון שההגדרה המדוייקת של סדרה הינה פונקציה, תת סדרה הינה הרכבה של פונקצית הסדרה על פונקציה המשמיטה איברים מהסדרה (בפרט, את כל האיברים שבין <math>n_i</math> לבין <math>n_{i+1}</math> לכל i).
'''דוגמא.''' נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math> ובסדרת המספרים הטבעיים <math>n_k=2k</math> אזי <math>a_{n_k}=(-1)^{2k}=1</math> הינה תת סדרה של הסדרה המקורית.
'''דוגמא.''' נביט בסדרה <math>a_1,a_2,a_3,...</math> אזי תת סדרה אחת שלה תהא <math>a_1,a_3,a_{15},a_{85},...</math>
'''הגדרה.''' תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי L נקרא '''גבול חלקי''' של הסדרה אם קיימת לה תת סדרה <math>a_{n_k}</math> כך ש- L הוא גבול שלה.
'''משפט.''' תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי L '''גבול חלקי''' שלה אם"ם '''לכל''' <math>\epsilon >0</math> ו'''לכל''' <math>N\in\mathbb{N}</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש <math>|a_n-L|<\epsilon</math>
במילים, '''קיימים''' אינסוף איברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא '''כל''' האיברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי).