*[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]]
== הרצאה 2 (6/3/12) ==
6) <math>\int xy^{2}dx=\frac{x^{2}}{2}y^{2}</math>
:<math>\int xy^{2}dy=\frac{y^{3}}{3}x</math>
===דוגמאות===
1) <math>\int xcosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int xcosxdx = xsinx-\int 1sinxdx=xsinx+cosx+c</math>
2) <math>\int x^{2}cosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx-\int 2xsinxdx</math>
: נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>F=2x</math> ו <math>G'(x)=sinx</math>
:<math>\int 2xsinxdx=2x(-cosx)-\int 2(-cosx)dx=2xcosx-2sinx+c</math>
:ולכן התוצאה הסופית <math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx+2xcosx-2sinx+c</math>
3) <math>\int x^{2}lnxdx</math>
:לא מומלץ לבחור <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=lnx</math>, כי מיד נצטרך למצוא את <math>g(x)</math> שהיא הפונקציה הקדומה של <math>lnx</math>, ועוד לא חישבנו אותה.
:אלא שנכתוב: <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=x^{2}</math>
:<math>\int x^{2}lnxdx=lnx\cdot \frac{x^{3}}{3}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{3}lnx-\frac{x^{3}}{9}+c</math>
4) <math>\int lnxdx</math>
:נבחר <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=1</math>
:<math>\int lnxdx=\int 1\cdot lnxdx=(lnx)x-\int \frac{1}{x}\cdot x=xlnx-x+c</math>
5) <math>\int e^{x}cosxdx</math>
: נבחר <math>f(x)=e^{x}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math>
:<math>\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx-\int e^{x}sinxdx</math>
:נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>f(x)=e^{x}</math> ו <math>g'(x)=sinx</math>
:<math>\int e^{x}sinxdx=e^{x}(-cosx)-\int e^{x}(-cosx)dx</math>
::קיבלנו: <math>\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)+\int e^{x}(-cosx)dx</math>
::נעביר אגף ונקבל: <math>2\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)</math>
::ולכן התשובה הסופית היא: <math>\int e^{x}cosxdx=\frac{e^{x}}{2}(sinx+cosx)+c</math>
6) <math>\int \frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{x^{5}}}</math>
: נבחר <math>f(x)=(lnx)^{2}</math> ו <math>g'(x)=x^{-\frac{5}{2}}</math>
: <math>\int \frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{x^{5}}}=\frac{(lnx)^{2}\cdot x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}-\int \frac{2lnx}{x}\cdot \frac{x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}</math>
::נעשה שוב אינטגרציה לפי חלקים לאינטגרל האחרון. נבחר:
<big><big>'''שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)'''</big></big>
<math>\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C</math> (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את <math>x</math>!!!)
'''למקרה שיש טעות או שחסר חומר, תוכלו לפנות אליי דרך פייסבוק (שם המשתמש: Nimrod Sherer), את הדוגמאות העלתה נטע צדוק.
'''