הבדלים בין גרסאות בדף "88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "== הרצאה 2 (6/3/12) == <big><big>'''שני כללים פשוטים:'''</big></big> 1)<math>\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx</math>. 2)<math>\int c...")
 
(←‏הרצאה 2 (6/3/12))
שורה 3: שורה 3:
 
<big><big>'''שני כללים פשוטים:'''</big></big>
 
<big><big>'''שני כללים פשוטים:'''</big></big>
  
−
1)<math>\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx</math>.
+
1) <math>\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx</math>.
  
−
2)<math>\int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx</math>. (עבור <math>c</math> קבוע)
+
2) <math>\int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx</math>. (עבור <math>c</math> קבוע)
  
 +
===דוגמאות===
 +
 +
1) <math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx</math>
 +
:<math>\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=\int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx=\int( \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1})dx=\int (1-\frac{1}{x^{2}+1})dx=x-arctgx+c</math>
 +
 +
2) <math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx</math>
 +
:<math>\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx=\int (4x+2)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{(4x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{\sqrt{4x+2}}{2}+c</math>
 +
 +
3) <math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx</math>
 +
:<math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{[(x+4)-4)]^{2}+[(x+4)-4]+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-8(x+4)+16+(x+4)-4+1}{\sqrt{x+4}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-7(x+4)+13}{\sqrt{x+4}}dx=\int [(x+4)^{\frac{3}{2}}-7(x+4)^{\frac{1}{2}}+13(x+4)^{-\frac{1}{2}}]dx=\frac{(x+4)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-7\frac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+13\frac{(x+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c</math>
 +
 +
4)<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx</math>
 +
:<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int \frac{(sinx)^{2}+(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int [\frac{(sinx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}+\frac{(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}]dx=\int [\frac{1}{(cosx)^{2}}+\frac{1}{(sinx)^{2}}]dx=tgx-ctgx+c</math>
 +
 +
:דרך נוספת: <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx= \int \frac{4}{(sin(2x))^{2}}dx=\frac{-4ctg(2x)}{2}+c</math>
 +
 +
:התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c)
  
  

גרסה מ־20:26, 6 במרץ 2012

הרצאה 2 (6/3/12)

שני כללים פשוטים:

1) \int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx.

2) \int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx. (עבור c קבוע)

דוגמאות

1) \int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx

\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=\int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx=\int( \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1})dx=\int (1-\frac{1}{x^{2}+1})dx=x-arctgx+c

2) \int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx

\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx=\int (4x+2)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{(4x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{\sqrt{4x+2}}{2}+c

3) \int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx

\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{[(x+4)-4)]^{2}+[(x+4)-4]+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-8(x+4)+16+(x+4)-4+1}{\sqrt{x+4}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-7(x+4)+13}{\sqrt{x+4}}dx=\int [(x+4)^{\frac{3}{2}}-7(x+4)^{\frac{1}{2}}+13(x+4)^{-\frac{1}{2}}]dx=\frac{(x+4)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-7\frac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+13\frac{(x+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c

4)\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx

\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int \frac{(sinx)^{2}+(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int [\frac{(sinx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}+\frac{(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}]dx=\int [\frac{1}{(cosx)^{2}}+\frac{1}{(sinx)^{2}}]dx=tgx-ctgx+c
דרך נוספת: \int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx= \int \frac{4}{(sin(2x))^{2}}dx=\frac{-4ctg(2x)}{2}+c
התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c)


אינטגרציה בחלקים:

נתחיל בנוסחה הידועה [f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x) , לכן: \int [f(x)g'(x)+f'(x)g(x)]dx=f(x)g(x) לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:

\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx


שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)

נתחיל עם כלל השרשרת: \frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x).

לכן אם F(x) קדומה ל-f(x): \frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x) ומזה נובע: \int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x)).

כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון \int f(g(x))g'(x)dx נסמן y=g(x) ולכן \frac{dy}{dx}=g'(x). פעולה פורמלית: dy=g'(x)dx. כעת נציב את מה שסימנו:

\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את x!!!)

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-133_אינפי_2_תשעב_סמסטר_ב/הרצאה_2_(6/3/12)&oldid=20388