88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)

הרצאה 2 (6/3/12)

שני כללים פשוטים:

1)$\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$.

2)$\int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx$. (עבור $c$ קבוע)

אינטגרציה בחלקים:

נתחיל בנוסחה הידועה $[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$ , לכן: $\int [f(x)g'(x)+f'(x)g(x)]dx=f(x)g(x)$ לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:

$\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$

שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)

נתחיל עם כלל השרשרת: $\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$.

לכן אם $F(x)$ קדומה ל-$f(x)$: $\frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x)$ ומזה נובע: $\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))$.

כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון $\int f(g(x))g'(x)dx$ נסמן $y=g(x)$ ולכן $\frac{dy}{dx}=g'(x)$. פעולה פורמלית: $dy=g'(x)dx$. כעת נציב את מה שסימנו:

$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C$ (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את $x$!!!)