88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 1

שאלה 1

חקור את הפונקציות הבאות:

א. $f(x)=|x|e^{-|x-1|}$

ב. $f(x)=x-2arctan(x)$

שאלה 2

הוכיחו/הפריכו:

א. אם לפונקציה f יש פונקציה קדומה בקטע $[a,b]$ ויש לה פונקציה קדומה בקטע $(b,c]$, אזי יש לה קדומה בקטע $[a,c]$

ב. אם F פונקציה קדומה של הפונקציה f בקטע $[0,1]$, ו-G פונקציה קדומה של f בקטע $(1,2]$ אזי:

$H(x)=\begin{cases}F(x)&x\in [0,1]\\G(x)&x\in (1,2]\end{cases}$ היא קדומה של f בקטע $[0,2]$

שאלה 3

חשבו את הפונקציה $\int{max(x,x^2)dx}$

שאלה 4

מצאו נוסחא רקורסיבית עבור $I_m=\int{x^\alpha ln^m(x)dx}$ כאשר $\alpha\neq 1$

שאלה 5

חשבו את האינטגרלים הבאים:

א. $\int{\frac{x^3+3x^2+5x+7}{x^2+2}dx}$

ב. $\int{(\frac{1-x}{x})^2dx}$

ג. $\int{\frac{e^x}{e^x+\sqrt{e^x}}dx}$

ד. $\int{\frac{dx}{\sqrt{2x-3}}}$

ה. $\int{\frac{dx}{1+e^x}}$

ו. $\int{sin(ln(x))dx}$

ז. $\int{2xarctan(x)dx}$

ח. $\int{sin^6(x)\cdot cos^2(x)dx}$

ט. $\int{\frac{dx}{sin(x)}}$ רמז: הצבה אוניברסאלית

י. $\int{\frac{dx}{\sqrt{3}sin(x)+cosx}}$ רמז: $cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$