88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 2

שאלה 1

א

תהי פונקציה f כך שיש לה פונקציה קדומה F בקטע $[a,b]$. הוכח/הפרך: f אינטגרבילית בקטע.

ב

תהי $A\subseteq [0,1]$ כך ש $|A|=\aleph_0$. תהיי

$f(x)=\begin{cases}0 & x\notin A\\1 & x\in A\end{cases}$

הוכח שf אינה אינטגרבילית בקטע $[0,1]$ או הבא דוגמא לקבוצה A עבורה f כן אינטגרבילית בקטע.

ג

תהי f פונקציה אי שלילית בקטע $[a,b]$ כך ש $\int_a^b{f(x)dx}=0$. הוכח/הפרך: $f\equiv 0$ בקטע

ד

תהי f פונקציה רציפה אי שלילית בקטע $[a,b]$ כך ש $\int_a^b{f(x)dx}=0$. הוכח/הפרך: $f\equiv 0$ בקטע

ה

תהי f פונקציה רציפה כך שלכל פונקציה רציפה g מתקיים $\int_a^b{f(x)g(x)dx}=0$ הוכח/הפרך: $f\equiv 0$ בקטע

שאלה 2

א

הוכיחו כי קיים גבול לסדרה

$a_n=\sum_{k=1}^{2^n}sin\Big(\frac{k}{2^{2n}}\Big)cos\Big(\frac{k}{2^{2n}}\Big)cos\Big(\frac{k}{2^{2n-1}}\Big)\cdots cos\Big(\frac{k}{2^{n+1}}\Big)$

ב

חשבו את גבול הסדרה

$b_n=\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^nke^{\frac{k^2}{n^2}}$

שאלה 3

חשבו את האינטגרלים הבאים:

א

$\int_{-1}^{1}\sqrt{(1-x^2)^3}dx$

ב

$\int_0^{ln2}\sqrt{e^x-1}dx$

ג

$\frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)}f(t)dt$ כאשר f פונקציה רציפה כלשהי והפונקציות h,g גזירות.

שאלה 4

תהי f פונקציה רציפה בקטע $[a,b]$. הוכיח כי קיימת נקודה c בקטע הפתוח $(a,b)$ עבורה מתקיים

$f(c)(b-a)=\int_a^bf(x)dx$

שאלה 5

תהי f גזירה ברציפות. הוכח כי

$\lim_{c\rightarrow\infty}\int_a^bf(x)sin(cx)dx=0$