88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 3

1

א

חשב את אורך העקום של הפונקציה $f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ בקטע $[a,b]$

ב

תהי f גזירה ברציפות על כל הממשיים. הוכח שלכל M>0 קיים קטע $[a,b]$ כך שאורך העקומה של הפונקציה בקטע זה גדול מ-M.

2

תהי f רציפה ב$[a,b]$ הוכח כי

$\lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\int_a^b|f(x)|^ndx\Big]^{\frac{1}{n}}=\max_{x\in [a,b]}|f(x)|$

3

תהי f רציפה. לכל אפסילון גדול מאפס נגדיר את הפונקציה

$g_\epsilon(x)=\frac{1}{2\epsilon}\int_{-\epsilon}^{\epsilon}f(x+t)dt$

א

הוכח כי $g_\epsilon(x)$ גזירה

ב

הוכח כי לכל x מתקיים $\lim_{\epsilon\rightarrow 0^+}g_\epsilon(x)=f(x)$

4

הוכח כי למשוואה $\int_0^xe^{-t^2}dt=x$ יש פתרון אחד ויחיד. מהו?

5

נניח f פונקציה רציפה, אי שלילית כך שלכל שתי נקודות בקטע $x,y\in [0,2]$ ולכל $t\in [0,1]$ מתקיים

$f\Big(tx+(1-t)y\Big)\geq tf(x)+(1-t)f(y)$

נניח בנוסף כי $f(1)=1$ הוכח כי

$\int_0^2f(t)dt\geq 1$