88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 4

1

א

תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע $(0,1]$ המקיימת $\lim_{x\rightarrow 0+}f(x)=\infty$. הוכח כי אורך העקומה של f בקטע הוא אינסוף.

ב

תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע $(0,1]$ שאינה חסומה שם. הוכח כי אורך העקומה של f בקטע הוא אינסוף.

2

חשב אילו מן האינטגרלים הבאים מתכנס

א

$\int_1^\infty e^{-ln^2(x)}dx$

ב

$\int_0^\infty x^2sin(x^4)dx$

ג

$\int_1^\infty\frac{cos(x)}{x}$

ד

$\int_1^\infty\frac{|cos(x)|}{x}$

ה

$\int_1^\infty\frac{cos^2(x)}{x}$

ו

$\int_0^\infty\frac{x-arctan(x)}{x(1+x^2)arctan(x)}dx$

3

חשב לאילו ערכים של הפרמטרים האינטגרלים הבאים מתכנסים

א

$\int_0^\infty\frac{sin^2(x)}{x^\alpha}dx$

ב

$\int_0^1|ln(x)|^\alpha dx$

ג

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}tan^\alpha(x)dx$

4

תהי f פונקציה יורדת כך ש $\int_0^\infty f(x)dx$ מתכנס

א

הוכח כי $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0$

ב

הוכח כי $\lim_{x\rightarrow\infty}xf(x)=0$

5

נתונה f חיובית ורציפה, ונתון כי $\int_0^\infty f(x)dx=\infty$. הוכח כי

$\int_1^\infty\frac{f(x)}{\int_0^x f(t)dt}dx=\infty$