== 1 ==
לצורכי נוחיות נסמן <math>l(x):=\sqrt{(f'(x))^{2}+1}</math>,
מכיוון שהפונקציה <math>f(x)</math> גזירה ברציפות, אזי <math>l(x)</math> מוגדרת ורציפה בקטע הפתוח <math>(0,1]</math>.
'''א'''
אנו רוצים להוכיח שאורך העקומה <math>f</math> הינו אינסופי <math>\Leftarrow</math> עלינו להראות כי: <math>\int_{0}^{1}l(x)dx=\infty</math>.
לפי הנתון: <math>f'(x)</math> מוגדרת ורציפה בקטע <math>(0,1]</math>, ועל כן היא אינטגרבילית בו.
<math>\int_{0}^{1}f'(x)dx=\lim_{a \to 0^{+}}\int_{a}^{1}f'(x)dx=\lim_{a \to 0^{+}}(f(1)-f(a))=-\infty</math>
מכיוון שהפונקציה אינה מתכנסת, אזי היא גם לא מתכנסת בהחלט ולכן בהכרח: <math>\int_{0}^{1}|f'(x)|dx=\infty</math>
נבחין כי מתקיים - <math>l(x)=\sqrt{(f'(x))^{2}+1}\geq \sqrt{(f'(x))^{2}}=|f'(x)|\geq 0</math>
ולכן, לפי מבחן ההשוואה הראשון: <math>\int_{0}^{1}l(x)dx=\infty</math>.
'''ב'''
במקרה זה עלינו לנקוט גישה קצת שונה.
נניח בשלילה שהאורך העקומה הינו סופי, כלומר קיים <math>M \in \mathbb{R}</math>, כך שמתקיים: <math>\int_{0}^{1}l(x)dx=M</math>.
<math>f</math> אינה חסומה <math>\Leftarrow</math> קיים <math>y \in (0,1]</math> כך שמתקיים: <math>|f(y)-f(1)|>M</math>.
מכיוון ש<math>l(x)</math> חיובית ממש לכל אורכה, אזי לכל <math>a,b \in (0,1]</math> מתקיים: <math>\int_{a}^{b}l(x)dx>0</math>.
(זה לא ממש שיא הפורמליות) ועל כן:
<math>\int_{0}^{1}l(x)dx>\int_{y}^{1}l(x)dx\geq \int_{y}^{1}|f'(x)|dx\geq |\int_{y}^{1}f'(x)dx|=|f(1)-f(y)|>M</math>
סתירה.
== 2 ==