88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 5

1.

קבע תחום התכנסות ותחום התכנסות במ"ש של הפונקציות הבאות

א.

$f_n(x)=\frac{x}{n}ln\Big(\frac{x}{n}\Big)$ כאשר $x\in(0,1)$

ב.

$f_n(x)=\frac{1}{n}sin\Big(e^nx\Big)$ כאשר $x\in(-\infty,\infty)$

ג.

$f_n(x)=nsin\Big(\frac{x}{n}\Big)$ כאשר $x\in(-\infty,\infty)$

ד.

$f_n(x)=x\cdot arctan(nx)$ כאשר $x\in(0,\infty)$

2.

(ממבחן)

תהי סדרת פונקציות $f_n:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$. נתון כי $f_n\rightrightarrows f$ (במ"ש) בקטע $[0,1]$ וכי f חסומה בקטע. הוכיחו כי:

$\sup_{[0,1]}f_n(x)\rightarrow \sup_{[0,1]}f(x)$

3.

(ממבחן)

תהי $f_n$ סדרת פונקציות המוגדרת בקטע $[0,1]$ על ידי הנוסחא הרקורסיבית $f_{n+1}(x)=\sqrt{xf_n(x)}$ ותנאי ההתחלה $f_1(x)\equiv 1$. הראו כי בקטע סדרת הפונקציות מתכנסת לפונקצית הגבול $f(x)=x$

אם למדתם את משפט דיני, הוכיחו כי התכנסות זו הינה במ"ש

4.

מצאו תחומי התכנסות והתכנסות במ"ש של הטורים הבאים:

א.

$\sum_{n=2}^\infty ln\Big(1+\frac{x^2}{nln^2n}\Big)$ בתחום $(-a,a)$

ב.

$\sum_{n=1}^\infty \frac{x^2}{e^{nx}}$ בתחום $[0,\infty)$

ג.

$\sum_{n=1}^\infty \frac{x}{(1+x^2)^n}$ בתחום $[0,\infty)$

ד.

$\sum_{n=1}^\infty 3^nsin\frac{1}{4^nx}$ בתחום $(0,\infty)$