הבדלים בין גרסאות בדף "88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 1"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(שאלה 2)
(שאלה 2)
שורה 5: שורה 5:
 
== שאלה 2 ==
 
== שאלה 2 ==
 
הוכיחו כי כל קבוצה קומפקטית ב <math>\mathbb{R}</math> הינה מדידה לבג.
 
הוכיחו כי כל קבוצה קומפקטית ב <math>\mathbb{R}</math> הינה מדידה לבג.
 +
 +
הערה: אתם רשאים להשתמש בעובדה (שעוד לא למדתם) שאיחוד בן מניה של קבוצות מדידות הינו מדיד.
  
 
== שאלה 3 ==
 
== שאלה 3 ==

גרסה מ־12:10, 21 באוקטובר 2013

שאלה 1

לכל קבוצה E \subseteq \mathbb{R} ומספרים a,b \in \mathbb{R} מגדירים aE+b:=\{ a x+b:x \in E \} (ז"א ש-aE+b היא תמונת E תחת הפונקציה הלינארית x \mapsto ax+b).

הוכיחו: m^*(aE+b)=|a| m^*(E)

שאלה 2

הוכיחו כי כל קבוצה קומפקטית ב \mathbb{R} הינה מדידה לבג.

הערה: אתם רשאים להשתמש בעובדה (שעוד לא למדתם) שאיחוד בן מניה של קבוצות מדידות הינו מדיד.

שאלה 3

הגדרה: נאמר שקבוצה G \subseteq \mathbb{R} היא מטיפוס G_\delta אם ניתן להציג אותה כחיתוך בן-מנייה של קבוצות פתוחות.


תהי E \subseteq \mathbb{R} הוכיחו שקיימת קבוצה G \in G_\delta המקיימת E \subseteq G וכן m^*(G)=m^*(E)

הדרכה: עקבו אחרי השלבים הבאים:

א. הוכיחו שלכל קבוצה E \subseteq \mathbb{R} ולכל \varepsilon>0 קיימת קבוצה פתוחה O, המקיימת E \subseteq O וכן m^*(O) \leq m^*(E)+\varepsilon

ב. בנו סדרה של קבוצות פתוחות מתאימות ע"פ א' וחיתכו אותן.


בהצלחה!