88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 7

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־17:12, 20 בדצמבר 2012 מאת Michael (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "== שאלה 1 == השאלה הזו לוקחת אותנו קצת אחורה בחומר, אבל היא חשובה מאוד. תהי <math>E \subseteq \mathbb R</math>...")

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שאלה 1

השאלה הזו לוקחת אותנו קצת אחורה בחומר, אבל היא חשובה מאוד.

תהי E \subseteq \mathbb R. הוכיחו כי התנאים הבאים שקולים:

(1) E מדידה לבג.

(2) לכל \varepsilon>0 קיימת קבוצה O \supseteq E, פתוחה ב-\mathbb R, עבורה m^* \left( O \setminus E \right) < \varepsilon

(3) לכל \varepsilon>0 קיימת קבוצה S \subseteq E, סגורה ב-\mathbb R, עבורה m^* \left( E \setminus S \right) < \varepsilon

(4) קיימת קבוצה G \in G_\delta, כך ש-G \supseteq E, וגם m^*(G \setminus E)=0

(5) קיימת קבוצה F \in F_\sigma, כך ש-F \subseteq E וגם m^*(E \setminus F)=0

הדרכה:

א. הניחו תחילה כי m^* (E)<\infty, והוכיחו (1) \implies (2)

ב. ע"פ א' הראו כי לכל קבוצה E מתקיים (1) \implies (2) \implies (4) \implies (1) (אפילו אם m^*(E)=\infty).

בשביל להראות (4) \implies (1) כדאי לזכור שקבוצות מטיפוס G_\delta הן מדידות לבג (וגם כמובן קבוצות עם מידת לבג חיצונית 0).

ג. ע"פ ב' הראו כי לכל קבוצה E מתקיים (1) \implies (3) \implies (5) \implies (1).

בשביל הגרירה (5) \implies (1) כדאי לזכור שקבוצות מטיפוס F_\sigma מדידות לבג (ושוב, כמובן שגם קבוצות עם מידת לבג חיצונית 0).

שאלה 2

א. בתרגול הראינו שאם I=[a,b] קטע סגור וחסום, אזי מרחב הפונקציות הרציפות בו בהחלט, \text{AC} \left( \left[ a,b \right] \right) , סגור ביחס לכפל בסקלר, חיבור פונקציות וכפל פונקציות.

מה ניתן לומר על המרחב \text{AC} \left( I \right) אם I קטע לא חסום? הוכיחו את דבריכם!

ב. יהי I \subseteq \mathbb R קטע כלשהו, f:I \to \mathbb R ממחלקה C^1 (I) (גזירה ברציפות בקטע). האם f \in \text{AC} (I)?

ג. הוכיחו ע"י שלילת ההגדרה (ורק ע"י שלילת ההגדרה!) כי פונקציות קנטור אינה רציפה בהחלט בקטע [0,1].

רמז: אם בוחרים את הקטעים \{ (a_k,b_k) \} בחכמה, זה פשוט.


שאלה 3

כזכור אם f פונקציה ממשית, ומוגדרת בסביבת הנקודה x, הנגזרת הסימטרית שלה שם מוגדרת ע"י f'_{\text{sym}}(x):=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} (אם הגבול קיים כמובן).

א. הוכיחו כי אם f גזירה בנקודה כלשהי x \in \mathbb{R}, אזי הנגזרת הסימטרית קיימת בנקודה זו, ומתקיים f'_\text{sym}(x)=f'(x).

ב. תנו דוגמא למצב שבו f לא גזירה בנקודה כלשהי x - ובכל זאת קיימת f'_\text{sym}(x).

בהצלחה!

זוהי עוד לא גרסה סופית של השאלות!