88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 8

שאלה 1

יהי $f:[0,10] \to \mathbb R$ הפולינום $f(x)=3x^4-56x^3+336x^2-768x+1100$.

א. שרטטו את הגרף של הפולינום בקטע $[0,10]$.

ב. לכל $x \in [0,10]$, חשבו את ההשתנות הטוטאלית $T_0^x[f]$. יש למצוא ביטוי מפורש! (אולי כדאי להציג כפונקציית piecewise). הוסיפו את הגרף של $T_0^x[f]$ לאיור מסעיף א' (ותדאגו שיהיה ניתן להבחין ביניהם).

ג. עבור $n \in \mathbb N$ נגדיר את $P_n |[0,10]$ להיות חלוקה אחידה של הקטע $[0,10]$ ל-$2^n$ קטעים. (למשל $P_1:0<5<10,P_2:0<2.5<5<7.5<10$)

חשבו את $v(f,P_n)$ לדיוק של 3 ספרות אחרי הנקודה העשרונית, לכל $1 \le n \le 6$.

ד. עד כמה קרוב $v(f,P_6)$ להשתנות האמיתית $T_0^{10}[f]$ שמצאתם בסעיף ב'?

ה. תנו חלוקה $P|[0,10]$ בת ארבעה קטעים, ש"תופסת" את כל ההשתנות של $f$. (כלומר $v(f,P)=T_0^{10}[f]$).

הערה: בשאלה הזו מומלץ (וגם כדאי) להעזר במחשב.

שאלה 2

נגדיר את הפונקציות $f,g:[0,1] \to \mathbb R$ ע"י $f(x)=\sqrt{x},g(x)=\begin{cases} x^2 |\sin \frac{1}{x} | & x \neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}$. הוכיחו כי הפונקציות $f,g$ שתיהן רציפות בהחלט בקטע $[0,1]$, ובכל זאת ההרכבה שלהן $f \circ g:[0,1] \to \mathbb R$ איננה רציפה בהחלט.

הדרכה:

א. בשביל להראות ש-$f$ רציפה בהחלט, אפשר להוכיח שהיא מקיימת את נוסחת ניוטון-לייבניץ $f(x)-f(0)=\int_0^x f' \, dm$ ואת זה אפשר להראות עם התכנסות מונוטונית.

ב. כדי להראות ש-$g$ רציפה בהחלט, הוכיחו את הטענה: אם $f \in AC([a,b])$ אזי גם $|f| \in AC([a,b])$.

ג. כדי להראות שההרכבה אינה רציפה בהחלט, אפשר לפנות לכיוון של השתנות חסומה.

שאלה 3

יהי $[a,b] \subset \mathbb R$ קטע סגור וחסום. הוכיחו כי $BV([a,b])$ הוא מרחב וקטורי. (כלומר סגור ביחס לכפל בסקלר וחיבור פונקציות). מה ניתן לומר לגבי כפל בין פונקציות?

שאלה 4

תהי $f$ פונקציה רציפה ב-$[0,1]$ ורציפה בהחלט בקטע $[\varepsilon,1]$ לכל $0 < \varepsilon < 1$.

א. הראו כי ייתכן ש-$f$ אינה רציפה בהחלט בקטע $[0,1]$

ב. הראו כי אם בנוסף $f$ עולה, אז היא רציפה בהחלט ב-$[0,1]$

בהצלחה!