נתבונן בסדרה <math>\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}</math> ברור שהגבול שלה הוא אפס ולכן לפי הלמה הקודמת <math>\frac{1}{\mid\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}\mid}\rightarrow\infty </math> אבל כל אחד מאיברי הסדרה הוא חיובי ולכן ניתן להוריד את ערך המוחלט ונקבל <math>\frac{1}{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}}\rightarrow\infty </math>.
===טענה:===
אם <math>lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=L </math> ואם לכל n <math>a_{n}\geq0 </math> אזי <math>lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{a_{n}}=\sqrt{L} </math>.
===תרגיל===
חשבו את <math>lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{3n^{2}-2}{2n^{2}+n+1}} </math>
===פתרון===
נתבונן בסדרה <math>a_{n}=\frac{3n^{2}-2}{2n^{2}+n+1} </math> ברור שכל איברי הסדרה הם אי שליליים ולכן נוכל להשתמש בטענה הקודמת:
<math>lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^{2}-2}{2n^{2}+n+1}=lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{2}\left(3-\frac{2}{n^{2}}\right)}{n^{2}\left(2+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)}=\frac{3}{2} </math>
ולכן הגבול של הסדרה שלנו הוא פשוט: <math>lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{3n^{2}-2}{2n^{2}+n+1}}=\sqrt{\frac{3}{2}} </math>
===הערה===
אם <math>lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=L </math> וכל איברי הסדרה הם אי שליליים אזי <math>lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[k]{a_{n}}=\sqrt[k]{L} </math>.
===כפל במספר צמוד===
====תרגיל====
חשב את הגבול של <math>a_{n}=\sqrt{n+2}-\sqrt{n} </math>
====פתרון====
מחובר הראשון נוסחה של האיבר הכללי שואף לאינסוף ואילו המחובר השני שואף ומינוס אינסוף ולכן לא מובן כאן מה יכול להיות הגבול, ולכן נכפיל את המונה ואת המכנה במסר צמוד ונחשב את הגבול:
<math>lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}=lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+2-n}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}=lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}=lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n}\cdot\frac{2}{\sqrt{n}}}{\sqrt{n}\left(1+\frac{2}{n}+1\right)}=0 </math>
====תרגיל====
חשב את הגבול של <math>a_{n}=n\left(\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n^{2}-1}\right) </math>
====פתרון====
גם כאן נכפיל ונחלק את הביטוי במספר צמוד ונקבל:
<math>lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\left(\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n^{2}-1}\right)\left(\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n^{2}-1}\right)}{\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n^{2}-1}}=lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n}{n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}\right)}=1 </math>
====שאלה====
האם סדרה חייבת להתכנס למספר או לפלוס איסוף או למינוס איסוף?
====תשובה====
לא!
====דוגמאות לסדרות שלא מתכנסות לא למספר ולא לאינסוף ולא למינוס אינסוף====
1) <math>a_{n}=\left(-1\right)^{n} </math>
2) <math>\left(-1\right)^{n}n </math>
====טענה====
תהי <math>a_{n}=s^{n} </math> סדרה הנדסית. אזי <math>lim_{n\rightarrow\infty}s^{n}=\begin{cases}
0 & 0\leq s<1\\
1 & s=1\\
\infty & s>1
\end{cases} </math>
====תרגיל====
חשב את הגבול של <math>a_{n}=\frac{3^{n-1}}{2^{n}} </math>
====פתרון====
<math>lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3^{n-1}}{2^{n}}=lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3^{n}3^{-1}}{2^{n}}=lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{3}{2}\right)^{n}3^{-1}=\infty </math>
השוויון האחרון נכון כי <math>\left(\frac{3}{2}\right)</math> היא סדרה הנדסית בבסיס <math>\frac{3}{2}>1 </math> ולכן לפי טענה קודמת קיבלנו שהגבול הוא אינסופי.