<math>lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\left(\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n^{2}-1}\right)\left(\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n^{2}-1}\right)}{\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n^{2}-1}}=lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n}{n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}\right)}=1 </math>
====שאלה====
האם סדרה חייבת להתכנס למספר או לפלוס איסוף או למינוס איסוף?
====תשובה====
לא!
====דוגמאות לסדרות שלא מתכנסות לא למספר ולא לאינסוף ולא למינוס אינסוף====
1) <math>a_{n}=\left(-1\right)^{n} </math>
2) <math>\left(-1\right)^{n}n </math>
====טענה====
תהי <math>a_{n}=s^{n} </math> סדרה הנדסית. אזי <math>lim_{n\rightarrow\infty}s^{n}=\begin{cases}
0 & 0\leq s<1\\
1 & s=1\\
\infty & s>1
\end{cases} </math>
====תרגיל====
חשב את הגבול של <math>a_{n}=\frac{3^{n-1}}{2^{n}} </math>
====פתרון====
<math>lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3^{n-1}}{2^{n}}=lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3^{n}3^{-1}}{2^{n}}=lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{3}{2}\right)^{n}3^{-1}=\infty </math>
השוויון האחרון נכון כי <math>\left(\frac{3}{2}\right)</math> היא סדרה הנדסית בבסיס <math>\frac{3}{2}>1 </math> ולכן לפי טענה קודמת קיבלנו שהגבול הוא אינסופי.