שינויים
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים|חזרה לטורים]]
==טורים חיוביים==
טור חיובי הינו הנו טור שכל איבריו אבריו אי -שליליים. נשים לב שכיוון שסדרת הסכומים החלקיים מוגדרת על -ידי נוסחאת נוסחת הנסיגה <math>S_{N+1}=S_N+a_{N+1}</math>, רואים באופן מיידי כי היא מונוטונית עולה: ::<math>S_{N+1}-S_N=a_{N+1}\geq 0ge0</math>
על כן טורים חיוביים מתכנסים או שואפים לאינסוף.
למטה נראה מבחנים שונים להתכנסות טורים חיוביים. תבחנו את עצמכם באמצעות [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|הדוגמאות האלו]].
===מבחן ההשוואה הראשון===
יהיו <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum sum_{n=1}^\infty b_n</math> טורים חיוביים כך ש - <math>\forall n:a_n\geq ge b_n</math>
אבל <math>\forall n:a_n\ge b_n</math> , ולכן
:<math>\displaystyle B_N=\sum_{k=1}^N b_k=b_1+\cdots+b_N\le a_1+\cdots+a_N=\sum_{k=1}^N a_k=A_N\le M</math>
כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> חסומה, ולכן הטור מתכנס.
החלק השני של המשפט הוא פשוט הפוך על הפוך של החלק הראשון, לפי לוגיקה בפסוקים::אם <math>L=0a\to b\equiv\bar b\to\bar a</math>:.
===מבחן ההשוואה הגבולי===יהיו <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n</math> טורים חיוביים כך ש- <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{a_n}=L</math>::אם <math>L=0</math>::אם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אזי גם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס
===מבחן דלאמבר/המנה===
יהי <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי אזי:. ::אם <math>\limsup \fraclimits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} <1</math> הטור מתכנס
===מבחן השורש של קושי===
יהי <math>\sum a_n</math> טור חיובי אזי. : אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1</math> הטור מתכנס
:אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1</math> לא ניתן לדעת
::(הטורים <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)
שימו לב שבשני המבחנים הקודמים '''לא מספיק להוכיח כי'''
:<math>\forall n:\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1</math> או <math>\forall n:\sqrt[n]{a_n}<1</math>
לעומת זאת, אם המנה לעיל גדולה מ-1, סימן שהסדרה מונוטונית עולה ולכן לא שואפת ל-0 ולכן הטור מתבדר. באופן דומה אם השורש ה- <math>n</math> גדול מ-1 אזי אברי הסדרה גדולים מ-1 ולכן הסדרה אינה שואפת ל-0 והטור אינו מתכנס.
כלומר, אנו זורקים את כל האברים מהטור פרט לאלה הנמצאים במקומות שהם חזקה של 2. את האברים הנותרים אנו כופלים בחזקה המתאימה של 2.
===מבחן ראבה===
יהי <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי אזי: . :: אם <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}n\left(1-\fracdfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)>1 </math> הטור מתכנס.:: אם <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}n\left(1-\fracdfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)<1 </math> הטור מתבדר.:: אם <math>\lim_lim\limits_{n\rightarrowto\infty}n\left(1-\fracdfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)=1 </math> לא ניתן לדעת. ===מבחן העיבוי===תהי <math>a_n</math> סדרה '''חיובית, מונוטונית ושואפת לאפס'''. אזי: ::הטור <math>\sum a_n</math> מתכנס אם"ם הטור <math>\sum 2^na_{2^n}</math> מתכנס (הם חברים) כלומר, אנו זורקים את כל האיברים מהטור פרט לאלה הנמצאים במקומות שהם חזקה של שתים. את האיברים הנותרים אנו כופלים בחזקה המתאימה של 2.
===מבחן לוגריתמי===
יהי <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור המקיים לכל חיובי.:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}>1</math> הטור מתכנס:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n>0)}{\ln(n)}<1</math>. אזיהטור מתבדר:אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}=1</math> לא ניתן לדעת
הערה: שימו לב כי אם <math>-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}>1</math> אז לא בהכרח מתקיים <math>\lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}>1</math> ; יש סדרות שכל אבריהן גדולים מ-1, אך מתכנסות ל-1.
:<font sizemath>\displaystyle\sum_{n=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.''' 1}^\infty2^n\frac1{2^n\ln(2^n)}</fontmath>
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\ln(2^n)}=\frac1{n\ln(2)}</math>
אבל זה סה"כ קבוע כפול הטור ההרמוני, וידוע כי הטור ההרמוני מתבדר.
לכן סה"כ הטור '''מתבדר'''.
;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא.</font>
קבע האם הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\ln^2(n)}</math> מתכנס.
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^n\frac1{2^n\ln^2(2^n)}</math>
בדומה לתרגיל הקודם, אנו מקבלים:
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\ln^2(2^n)}=\frac1{n^2\ln^2(2)}</math>
ולכן סה"כ הטור '''מתכנס'''.
;<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.''' </font> קבע עבור אילו ערכים של אלפא הטור <math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}^\infty\frac1{n^\alpha}</math> מתכנס. '''פתרון.'''
;פתרון.
הסדרה מקיימת את תנאי מבחן העיבוי, על כן נפעיל אותו. הטור שאנו חוקרים חבר של הטור:
זה טור הנדסי ולכן מתכנס אם"ם <math>\frac{1}dfrac1{2^{\alpha-1}}<1</math> וזה נכון אם"ם <math>\alpha-1>0</math> כלומר <math>\alpha>1</math>.