שינויים
הגהה, שיפוץ קודים מתמטיים
(אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות, פרופ' [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%91%D7%A0%D7%95_%D7%90%D7%A8%D7%91%D7%9C בנו ארבל].)
כאשר משמאל מופיע הממוצע ההרמוני, במרכז הממוצע ההנדסי (גאומטרי) ומימין הממוצע החשבוני (אלגברי).
שיוויון מתקיים אם ורק אם כל המספרים שווים <math>a_1=...\cdots=a_n</math>.
===טענת עזר===
ראשית, נוכיח את הטענה הבאה:
:יהיו <math>x_1,...\ldots,x_n</math> ממשיים חיוביים המקיימים <math>x_1\cdots x_n=1</math>.:אזי <math>x_1+...\cdots+x_n\geq ge n</math>, ושיוויון מתקיים אם ורק אם כולם שווים 1.
עבור n=1 הטענה טריוויאלית.
יהי n עבורו הטענה נכונה, ונוכיח אותה עבור n+1.
יהיו <math>x_1<...<\le\cdots\le x_{n+1}</math> ממשיים חיוביים המקיימים <math>x_1\cdots x_{n+1}=1</math>.
כיוון שש־<math>x_1</math> הינו הוא המספר הקטן ביותר, ואילו <math>x_{n+1}</math> הינו הוא המספר הגדול ביותר נובע כי <math>x_1\leq 1le1</math> ואילו <math>x_{n+1}\geq 1ge1</math>.
נסמן <math>x_1\cdot x_{n+1}=y_n</math>, אזי <math>x_2\cdots x_n\cdot y_n = 1</math>, ולפי הנחת האינדוקציה מתקיים כי <math>x_2+...\cdots+x_n+y_n\geq ge n</math> ושיוויון ושוויון אם"ם כולם שווים 1.
לכן אם נוכיח <math>x_1+...\cdots+x_{n+1}-1\geq ge x_2+...\cdots+x_n+x_1\cdot x_{n+1} +1</math>, נקבל <math>x_1+...\cdots+x_{n+1}-1\geq ge n+1</math>.
כעת נוכיח את אי השיוויון אי־השוויון הרצוי:<math>x_1+...\cdots+x_{n+1}-1\geq ge x_2+...\cdots+x_n+x_1\cdot x_{n+1} +1</math>.
זה נכון אם"ם
:<math>x_1+x_{n+1}-1\geq ge x_1\cdot x_{n+1}+1</math>זה שקול לאי השיוויוןלאי־שוויון:<math>(x_1-1)(x_{n+1}-1)\leq 0le0</math> הוא נכון כיוון ש<math>x_1\leq 1le1</math> ואילו <math>x_{n+1}\geq 1ge1</math>.
כעת שיוויון שוויון <math>x_1+...\cdots+x_{n+1}=n+1</math> גורר כי <math>x_1+...\cdots+x_{n+1}-1= x_2+...\cdots+x_n+x_1\cdot x_{n+1}+1=n+1</math> ולכן <math>(x_1-1)(x_{n+1}-1)= 0</math>.
לכן <math>x_1=x_{n+1}=1</math> וביחד עם הנחת האינדוקציה נקבל כי או <math>x_2=...=x_nx_1=1</math>.
אם <math>x_{n+1}=1</math> כיוון שהוא הגדול מבין המספרים ומכפלתם היא 1, נובע כי <math>x_1=\cdots=x_n=1</math>. באופן דומה אם <math>x_1=1</math> גם כל המספרים שווים 1.
===הוכחת אי שיוויון אי־שיוויון הממוצעים===
נגדיר <math>x_i=\frac{a_i}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}</math> ונבחין כי:
:<math>x_1\cdots x_n = \frac{a_1}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}\cdots \frac{a_n}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}=1</math>
לכן לפי טענת העזר נקבל כי:
:<math>x_1+...\cdots+x_n = \frac{a_1+...\cdots+a_n}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}\geq ge n</math>
ולכן <math>\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\leq le\frac{a_1+...\cdots+a_n}{n}</math> ושיוויון ושוויון אם"ם <math>x_1=...\cdots=x_n=1</math>.
כלומר שיוויון שוויון אם"ם <math>a_1=...\cdots=a_n=\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>
כעת נציב את המספרים <math>\frac{1}{a_1},...\ldots,\frac{1}{a_n}</math> ונקבל כי:
:<math>\sqrt[n]{\frac{1}{a_1}\cdots \frac{1}{a_n}}\leq le\frac{\frac{1}{a_1}+...\cdots+\frac{1}{a_n}}{n}</math>
כלומר
:<math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}\cdots \frac{1}{a_n}}\leq le\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>
=שימושים=
יהיו מלבן וריבוע בעלי שטח זהה, אזי היקף המלבן גדול מהיקף הריבוע.
נסמן את שטח הצורות בsב־s, ואת צלעות המלבן ב<math>a\neq ne b</math>.
אזי היקף המלבן הינו הוא <math>2(a+b)</math> ואילו היקף הריבוע הינו הוא <math>4\sqrt{s}</math>. לפי אי שיוויון הממוצעים נקבל כי:
לפי אי־שוויון הממוצעים נקבל כי:
:<math>2(a+b)=4\frac{a+b}{2}>4\sqrt{ab}=4\sqrt{s}</math>
====הכללה למקרה ה־n־ממדי====
סכום הצלעות (פאות מממד 1) של תיבה תלת־ממדית היא <math>4(a+b+c)</math> ומתקיים כי
:<math>4(a+b+c)=12\cdot\frac{a+b+c}{3}>12\sqrt[3]{abc}</math>
ואילו <math>12\sqrt[3]{abc}</math> הוא סכום הצלעות של הקוביה התלת־ממדית בעלת אותו השטח כמו התיבה.
כעת עבור תיבה n־ממדית, סכום הצלעות הוא <math>2^{n-1}(a_1+\cdots+a_n)</math>,
אכן, צלע היא המעבר בציר i מ־0 ל־<math>a_i</math> כאשר כל שאר הצירים קבועים באחד הקצוות שלהם.
:<math>2^{n-1}(a_1+\cdots+a_n)=n2^{n-1}\cdot\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}>n2^{n-1}\cdot\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>
אורך הצלע של הקוביה ה־n־מימדית בעלת שטח זהה לתיבה הוא <math>\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>, וכמות הצלעות הינה <math>n2^{n-1}</math>.
לכן שוב קיבלנו שסכום הצלעות התיבה גדול מסכום צלעות הקוביה.
===היקפי ריבוע ומשולש בעלי שטח זהה===
נביט בבניית העזר הבאה:
[[קובץ:AM-GM-trangle-square.png|1500px1000px]]
(נבנה באמצעות [https://www.geogebra.org/graphing גאוגברה].)
שטח המשולש זהה לשטח המלבן ושניהם שווים לל־<math>\frac{h\cdot a}{2}</math>.
היקף המשולש הינו הוא <math>a+b+c</math> והיקף המלבן <math>2(h+\frac{a}{2})=2h+a</math>, שהוא כאמור גדול מהיקף הריבוע (או שווה לו במקרה ש<math>h=\frac{a}{2}</math>).
כעת צלעות המשלוש גדולות או שווה לגובה, ולפחות אחת מהן גדולה ממש (במקרה שמדובר במשולש ישר זוית, הגובה שווה לאחת הצלעות).
:<math>a+b+c>h+h+a = 2h+a</math>
===המחשה גאומטריתלשלושת הממוצעים עבור 2 מספרים===
נביט בשרטוט הבא:
[[קובץ:AM-GM-geometric.png|1500px1000px]]
(נבנה באמצעות [https://www.geogebra.org/graphing גאוגברה].)
ולכן <math>CF=\frac{CD^2}{CO}=\frac{ab}{\frac{a+b}{2}}=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}</math> הרי הוא הממוצע ההרמוני.
===משולש שווה צלעות===
יהי משולש בעל צלעות באורך a,b,c.
הוכיחו כי המשולש שווה צלעות אם ורק אם <math>\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} =3</math>.
ראשית, <math>\sqrt[3]{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}}\leq \frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}{3}</math> ושיוויון אם"ם כולם שווים.
לכן <math>\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3</math> ושיוויון רק אם <math>\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}=1</math>, כלומר <math>a=b=c</math>
==כלל המנה==
נסמן <math>M=|a_1-L|+...+|a_{n_1}-L|</math>.
אזי <math>\left|\frac{a_1+...+a_n}{n}-L\right| = \left|\frac{(a_1-L)+...+(a_n-L)}{n}\right|\leq \frac{M+(n-n1n_1)\frac{\varepsilon}{2}}{n}\leq\frac{M+n\frac{\varepsilon}{2}}{n}</math>
נבחר <math>n_2>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_2</math> מתקיים כי <math>\frac{M}{n}<\frac{\varepsilon}{2}</math>.
וביחד נקבל כי לכל <math>n>n_2</math> מתקיים <math>\frac{a_1+...+a_n}{n}>M</math>
===הממוצע ההרמוני===
נוכיח כי הסדרה <math>a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> מונוטונית עולה ממש.
נחשב (סתם ככה בלי תירוצים נוספים) ממוצע הנדסי וחשבוני בין n+1 המספרים החיוביים הבאים (כי מותר, אז למה לא). :<math>\leftx_1=(1+\frac{1}{n}\right)^n,x_2= \left(1+\frac{1}{n}\right)\cdots \left,...,x_n=(1+\frac{1}{n}\right)\cdot ,x_{n+1}=1</math> לפי אי שיוויון הממוצעים (שהוא נכון תמיד, גם למספרים שבחרנו ככה באופן חסר אחריות), כיוון שלא מדובר במספרים שווים, הממוצע ההנדסי קטן ממש מהממוצע החשבוני:
:<math>\sqrt[n+1]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}<\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)+...+\left(1+\frac{1}{n}\right)+1}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}</math>
נוכיח כי הסדרה <math>b_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math> מונוטונית יורדת ממש.
באופן דומה, נשווה בין הממוצע ההרמוני לממוצע ההנדסי של n+2 המספרים הבאים:
:<math>x_1=(1+\frac{1}{n}),x_2=(1+\frac{1}{n}),...,x_{n+1}=(1+\frac{1}{n}),x_{n+2}=1</math>
ונקבל:
:<math>\sqrt[n+2]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}}> \frac{n+2}{\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)} + ...+\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}+1 }</math>
למשל עבור n=1 מקבלים כי <math>2<e<4</math>.
==אי שיוויון ברנולי==
לכן, <math>a^n = \frac{1}{\left(\frac{1}{a}\right)^n}\to \frac{1}{\infty}=0</math>
==אי שיוויון קושי-שוורץ==
===עבור <math>\mathbb{R}^n</math>===
לכל <math>a_1,...,a_n,b_1,...,b_n\in\mathbb{R}</math> מתקיים
:<math>|a_1b_1+...+a_nb_n|\leq \sqrt{a_1^2+...+a_n^2}\sqrt{b_1^2+...+b_n^2}</math>
קל לראות שמספיק להוכיח את הטענה למספרים אי שליליים, וכך נעשה.
ראשית, אם נציב את <math>x^2,y^2</math> באי שיוויון הממוצעים נקבל <math>xy\leq \frac{x^2+y^2}{2}</math>.
לכן,
:<math>\sum_{k=1}^n x_ky_k\leq \frac{\sum_{k=1}^nx_k^2 + \sum_{k=1}^ny_k^2}{2}</math>
כעת נציב <math>x_k=\frac{a_k}{\sqrt{a_1^2+...+a_n^2}}</math> ו<math>y_k=\frac{b_k}{\sqrt{b_1^2+...+b_n^2}}</math> לכל k ונקבל
:<math>\frac{\sum_{k=1}^n a_kb_k}{\sqrt{a_1^2+...+a_n^2}\sqrt{b_1^2+...+b_n^2}}\leq 1</math>
וזהו בדיוק אי שיוויון קושי שוורץ.
===עבור מכפלה פנימית ממשית===
האם אותה הוכחה מתרגמת עבור מכפלה פנימית '''ממשית''' כללית?
ובכן,
:<math>\langle v-w,v-w \rangle\geq 0</math>
ולכן
:<math>\langle v,w \rangle \leq \frac{\langle v,v \rangle + \langle w,w \rangle}{2}</math>
שזה אנלוגי לאי שיוויון הממוצעים.
נציב את הנרמול של הוקטורים, ונקבל:
:<math>\langle \frac{v}{||v||},\frac{w}{||w||} \rangle \leq 1</math>
ולכן <math>\langle v,w\rangle \leq ||v||\cdot ||w||</math>
ע"י הצבה של <math>-v</math>, נקבל
:<math>-\langle v,w\rangle \leq ||v||\cdot ||w||</math>
וביחד סה"כ קיבלנו את אי שיוויון קושי-שוורץ:
:<math>|\langle v,w\rangle| \leq ||v||\cdot ||w||</math>
===עבור מכפלה פנימית מרוכבת===
נתחיל מאי השיוויון
:<math>\langle v-w,v-w \rangle\geq 0</math>
אך הפעם נקבל
:<math>Re(\langle v,w \rangle) \leq \frac{\langle v,v \rangle + \langle w,w \rangle}{2}</math>
על ידי הצבת הוקטורים המנורמלים נקבל את אי השיוויון החלש יותר:
:<math>Re(\langle v,w \rangle)\leq ||v||\cdot ||w||</math>
נשים לב כי
:<math>Re(\langle v,\langle v,w \rangle w \rangle) = Re(\overline{\langle v,w \rangle}\langle v,w \rangle) = |\langle v,w \rangle|^2</math>
כיוון שהערך המוחלט הוא מספר ממשי.
לכן,
:<math>|\langle v,w \rangle|^2=Re(\langle v,\langle v,w \rangle w \rangle) \leq ||v||\cdot ||\langle v,w \rangle w|| = ||v||\cdot ||w|| \cdot |\langle v,w \rangle|</math>
ושוב קיבלנו את אי שיוויון קושי שוורץ, כפי שרצינו.
=ביבליוגרפיה=
*אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות, בנו ארבל.
*The Cauchy-Schwarz Master Class, J. Michael Steele.