בקצרה:תת-סדרה מתקבלת מסדרה על ידי מחיקת איברים (אפשר למחוק גם אינסוף איברים) כך שנשארת סדרה אינסופית, והאיברים שנשארו מופיעים באותו הסדר כמו בסדרה המקורית. גבול חלקי של סדרה הוא גבול של אחת מתתי-הסדרות שלה: לסדרה [math]\displaystyle{ 1,0,1,1,0,1,1,1,0,\dots }[/math] אין גבול, ובכל זאת המספרים [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] "מיוחדים" לה, כי אפשר לבחור מתוכה תת-סדרה של אפסים ותת-סדרה של אחדות. המשפט המרכזי של הסעיף אומר שסדרה שואפת לגבול (סופי או אינסופי) אם ורק אם כל תתי-הסדרות שלה שואפות אליו, ומכאן הכלי הנוח ביותר להוכחה שלסדרה אין גבול: מוצאים שתי תתי-סדרות ששואפות לגבולות שונים.
▶ ההרצאה: תתי סדרות וגבולות חלקים
הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n\frac{n}{n+1} }[/math]; הקו האפור הדק מחבר איברים עוקבים, כלומר מראה את הסדר המקורי. הנקודות הירוקות הן האיברים במקומות הזוגיים [math]\displaystyle{ k_n=2n }[/math] (המספרים הירוקים מתחת לציר), והן יוצרות את תת-הסדרה [math]\displaystyle{ a_{2n}=\frac{2n}{2n+1} }[/math], ששואפת ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]. הנקודות התכולות הן האיברים במקומות האי-זוגיים, והן יוצרות את תת-הסדרה [math]\displaystyle{ a_{2n-1}=-\frac{2n-1}{2n} }[/math], ששואפת ל־[math]\displaystyle{ -1 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ -1 }[/math] הם שני גבולות חלקיים שונים של [math]\displaystyle{ a_n }[/math], ולפי מסקנה 2.10.4 לסדרה אין גבול: אילו היה [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math], לפי משפט 2.10.3 שתי תתי-הסדרות היו שואפות ל־[math]\displaystyle{ L }[/math], ולפי יחידות הגבול היה [math]\displaystyle{ L=1 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ L=-1 }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית, ותהי [math]\displaystyle{ k_n }[/math] סדרה של מספרים טבעיים (סדרת מקומות) כך ש [math]\displaystyle{ k_n<k_{n+1} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. הסדרה [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math], שהאיבר ה־[math]\displaystyle{ n }[/math] שלה הוא [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math], נקראת תת-סדרה של [math]\displaystyle{ a_n }[/math].
במילים: תת-סדרה היא הסדרה האינסופית הנותרת לאחר מחיקת איברים מהסדרה המקורית.
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math]. אומרים ש [math]\displaystyle{ L }[/math] הוא גבול חלקי של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אם קיימת תת-סדרה [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math] של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_{k_n}\to L }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] אם ורק אם לכל תת-סדרה [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math] של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_{k_n}\to L }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית, ויהיו [math]\displaystyle{ L_1,L_2\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] גבולות חלקיים של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ L_1\ne L_2 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אינה מתכנסת במובן הרחב, כלומר לא קיים [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math].
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: האפסים והאחדות מפתיחת הסרטון
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] הסדרה [math]\displaystyle{ 1,0,1,1,0,1,1,1,0,1,1,1,1,0,\dots }[/math] (אחד ואחריו אפס, שני אחדות ואחריהן אפס, שלוש אחדות ואחריהן אפס, וכן הלאה). (א) מצאו את סדרת המקומות [math]\displaystyle{ k_n }[/math] של האפסים, והראו ש [math]\displaystyle{ 0 }[/math] הוא גבול חלקי של [math]\displaystyle{ a_n }[/math]. (ב) הראו ש [math]\displaystyle{ 1 }[/math] הוא גבול חלקי של [math]\displaystyle{ a_n }[/math]. (ג) הסיקו שלסדרה אין גבול, לא סופי ולא אינסופי.
(א) נחלק את הסדרה לבלוקים: הבלוק ה־[math]\displaystyle{ j }[/math] הוא [math]\displaystyle{ j }[/math] אחדות ואחריהן אפס, ואורכו [math]\displaystyle{ j+1 }[/math]. האפס ה־[math]\displaystyle{ n }[/math] הוא האיבר האחרון בבלוק ה־[math]\displaystyle{ n }[/math], ולכן המקום שלו הוא [math]\displaystyle{ k_n=2+3+\dots+(n+1) }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{n(n+3)}2 }[/math]. למשל [math]\displaystyle{ k_1=2 }[/math], [math]\displaystyle{ k_2=5 }[/math], [math]\displaystyle{ k_3=9 }[/math], כמו בסרטון: [math]\displaystyle{ a_2,a_5,a_9,\dots }[/math]
כל [math]\displaystyle{ k_n }[/math] הוא מספר טבעי, ו־[math]\displaystyle{ k_{n+1}-k_n=n+2>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math] היא תת-סדרה של [math]\displaystyle{ a_n }[/math]. כל איבריה שווים ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_{k_n}\to0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ 0 }[/math] הוא גבול חלקי. שימו לב: [math]\displaystyle{ 2,5,9,\dots }[/math] היא סדרת המקומות, ותת-הסדרה עצמה היא [math]\displaystyle{ 0,0,0,\dots }[/math].
(ב) בכל בלוק יש לפחות אחד אחד, ולכן לפני כל אפס עומד אחד. נגדיר [math]\displaystyle{ m_n=k_n-1 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ 1,4,8,13,\dots }[/math]. זו סדרה של מספרים טבעיים ([math]\displaystyle{ m_1=1 }[/math]), ו־[math]\displaystyle{ m_{n+1}-m_n=n+2>0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_{m_n} }[/math] היא תת-סדרה של [math]\displaystyle{ a_n }[/math]. כל איבריה שווים ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_{m_n}\to1 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] הוא גבול חלקי.
(ג) [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] הם גבולות חלקיים שונים של [math]\displaystyle{ a_n }[/math], ולכן לפי מסקנה 2.10.4 הסדרה אינה מתכנסת במובן הרחב. במילים של הסרטון: יש בסדרה אינסוף אפסים ואינסוף אחדות, והמרחק ביניהם [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן לכל [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] הסביבה [math]\displaystyle{ \left(L-\frac12,L+\frac12\right) }[/math], שאינה יכולה להכיל גם את [math]\displaystyle{ 0 }[/math] וגם את [math]\displaystyle{ 1 }[/math], משאירה בחוץ אינסוף איברים.
מקור: תמליל 22 (rvdm2_7g-7I): הסדרה והטענה שאין לה גבול 00:00–00:44 (t=0s; "המרחק בין 0 ל-1 הוא 1" 00:30); תת-סדרת האפסים a_2, a_5, a_9 בפתיח 01:02–01:30 (t=62s); "זו לא תת הסדרה, זו סדרת המקומות" 03:18–03:22 (t=198s, בדוגמה של (−1)^n); "אפס ואחד הם גבולות חלקיים" 04:08–04:14 (t=248s); מסקנה 2.10.4 06:18–06:28 (t=378s). מאגר 2.10-01 (◆, הרצאה, ק' 1–2, בוחן ✓). הנוסחאות k_n=n(n+3)/2 ו־m_n=k_n−1 אינן בסרטון (שם רק a_2, a_5, a_9 "וכן הלאה") ונוספו כאן כדי שהתשובה תהיה הוכחה.
דוגמה 2: אינסוף גבולות חלקיים, וגם [math]\displaystyle{ 0 }[/math] שאינו איבר
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] הסדרה [math]\displaystyle{ 1;\ 1,\tfrac12;\ 1,\tfrac12,\tfrac13; }[/math] [math]\displaystyle{ 1,\tfrac12,\tfrac13,\tfrac14;\ \dots }[/math] שבה הבלוק ה־[math]\displaystyle{ j }[/math] הוא [math]\displaystyle{ 1,\frac12,\dots,\frac1j }[/math] (הנקודה-פסיק מפרידה בין הבלוקים). הוכיחו שכל אחד מהמספרים [math]\displaystyle{ 1,\frac12,\frac13,\dots }[/math] הוא גבול חלקי של [math]\displaystyle{ a_n }[/math], וגם [math]\displaystyle{ 0 }[/math], אף ש [math]\displaystyle{ 0 }[/math] אינו איבר בסדרה. האם לסדרה יש גבול?
הבלוק ה־[math]\displaystyle{ j }[/math] הוא [math]\displaystyle{ 1,\frac12,\dots,\frac1j }[/math], ואורכו [math]\displaystyle{ j }[/math]. לפניו יש [math]\displaystyle{ 1+2+\dots+(j-1)=\frac{(j-1)j}2 }[/math] איברים, ולכן לכל [math]\displaystyle{ m\le j }[/math] המספר [math]\displaystyle{ \frac1m }[/math] נמצא בבלוק ה־[math]\displaystyle{ j }[/math] במקום [math]\displaystyle{ \frac{(j-1)j}2+m }[/math].
[math]\displaystyle{ \frac1m }[/math] הוא גבול חלקי. יהי [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math]. ניקח את [math]\displaystyle{ \frac1m }[/math] מכל בלוק שמכיל אותו, כלומר מהבלוקים [math]\displaystyle{ j=m,m+1,m+2,\dots }[/math]: לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] יהי [math]\displaystyle{ k_n }[/math] המקום של [math]\displaystyle{ \frac1m }[/math] בבלוק ה־[math]\displaystyle{ (m+n-1) }[/math], [math]\displaystyle{ k_n=\frac{(m+n-2)(m+n-1)}2+m }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ k_{n+1}-k_n=m+n-1\ge1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math] היא תת-סדרה, ו־[math]\displaystyle{ a_{k_n}=\frac1m }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_{k_n}\to\frac1m }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ m=2 }[/math] זו תת-סדרת החצאים מהסרטון, [math]\displaystyle{ \frac12,\frac12,\frac12,\dots }[/math].
[math]\displaystyle{ 0 }[/math] הוא גבול חלקי. ניקח את האיבר האחרון בכל בלוק, שהוא ההופעה הראשונה של כל אחד מהמספרים [math]\displaystyle{ 1,\frac12,\frac13,\dots }[/math]: [math]\displaystyle{ p_n=\frac{n(n+1)}2 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ 1,3,6,10,\dots }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ p_{n+1}-p_n=n+1>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{p_n}=\frac1n\to0 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ 0 }[/math] הוא גבול חלקי, אף ש [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]: גבול חלקי אינו חייב להיות איבר בסדרה, ובוודאי אינו חייב להופיע בה אינסוף פעמים.
אין גבול.[math]\displaystyle{ 1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] הם גבולות חלקיים שונים, ולכן לפי מסקנה 2.10.4 לסדרה אין גבול, לא סופי ולא אינסופי.
מקור: תמליל 22 (rvdm2_7g-7I) 04:24–05:52 (t=264s): "האם יכולים להיות אינסוף גבולות חלקיים לסדרה אחת?", תת-סדרת האחדות (04:52–05:02) ותת-סדרת החצאים (05:04–05:12), "יש לה אינסוף גבולות חלקיים" (05:20), "מרגיש לי שפספסנו מישהו" ותת-סדרת ההופעות הראשונות 1, ½, ⅓, ... ששואפת ל־0, "אפילו שאפס אינו איבר ממש של הסדרה הוא כן גבול חלקי שלה" (05:24–05:52); השאלה "האם לסדרה הזו יש גבול?" (05:56) ותשובתה (06:18–06:28). מערך התרגול תשע"ב, סדרות/תתי סדרות ("לסדרה הבאה, אינסוף גבולות חלקיים", בלי פתרון); מאגר 2.10-01 (◆); remark_text של 2.10.2 ("מופיע אינסוף פעמים" מספיק ולא הכרחי).
דוגמה 3: האם קיים [math]\displaystyle{ \lim(-1)^n\frac{n+\sqrt n}{2n-7\sqrt n} }[/math]?
נגדיר את הסדרות [math]\displaystyle{ b_n=\frac{n+\sqrt n}{2n-7\sqrt n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n=(-1)^nb_n }[/math]. (א) הוכיחו ש [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מתכנסת, וחשבו את גבולה. (ב) מצאו שני גבולות חלקיים שונים של [math]\displaystyle{ a_n }[/math], וקבעו אם הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n }[/math] קיים. (ג) הסיקו ש [math]\displaystyle{ \frac17 }[/math] אינו הגבול של [math]\displaystyle{ a_n }[/math], בלי לבחור [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math].
(א) המכנה אינו מתאפס: [math]\displaystyle{ 2n=7\sqrt n }[/math] רק כאשר [math]\displaystyle{ 2\sqrt n=7 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ n=\frac{49}4 }[/math], שאינו טבעי. נחלק את המונה ואת המכנה ב־[math]\displaystyle{ n }[/math]: [math]\displaystyle{ b_n=\frac{1+\frac1{\sqrt n}}{2-\frac7{\sqrt n}} }[/math]. לפי טענה 2.8.1(ה) (עם הבסיס [math]\displaystyle{ \frac1n>0 }[/math], [math]\displaystyle{ \frac1n\to0 }[/math], והמעריך הקבוע [math]\displaystyle{ \frac12>0 }[/math]) מתקיים [math]\displaystyle{ \frac1{\sqrt n}\to0 }[/math], ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות (משפט 2.4.2) [math]\displaystyle{ b_n\to\frac{1+0}{2-0} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ b_n\to\frac12 }[/math].
(ב) המקומות [math]\displaystyle{ 2n }[/math] והמקומות [math]\displaystyle{ 2n-1 }[/math] הם סדרות עולות ממש של מספרים טבעיים, ולכן [math]\displaystyle{ b_{2n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_{2n-1} }[/math] הן תתי-סדרות של [math]\displaystyle{ b_n }[/math], ולפי (א) ומשפט 2.10.3 שתיהן שואפות ל־[math]\displaystyle{ \frac12 }[/math]. מכיוון ש [math]\displaystyle{ (-1)^{2n}=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ (-1)^{2n-1}=-1 }[/math], לפי אריתמטיקה של גבולות [math]\displaystyle{ a_{2n}=b_{2n}\to\frac12 }[/math], [math]\displaystyle{ a_{2n-1}=-b_{2n-1}\to-\frac12 }[/math].
גם [math]\displaystyle{ a_{2n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2n-1} }[/math] הן תתי-סדרות של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] (באותם מקומות), ולכן לפי הגדרה 2.10.2 [math]\displaystyle{ \frac12 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ -\frac12 }[/math] הם גבולות חלקיים של [math]\displaystyle{ a_n }[/math], והם שונים. לפי מסקנה 2.10.4 הסדרה אינה מתכנסת במובן הרחב: הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n }[/math] אינו קיים, לא סופי ולא אינסופי.
(ג) לפי (ב) אין [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ a_n\not\to\frac17 }[/math]. בלוח התרגול הוכיחו זאת לפי שלילת הגבול, עם [math]\displaystyle{ \varepsilon=\frac17 }[/math] ואיברים במקומות אי-זוגיים; עם תתי-סדרות לא צריך לחפש [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math], ומקבלים מיד שאף מספר אינו הגבול.
מקור: לוח התרגול 5.11.20, אינפי 1 מדמ"ח תשפ"א (R1-X13, ¶42–56, פתרון מלא): שאלת שיעורי הבית (ש"ב 3 מדמ"ח, שאלה 3, "ספציפית ביקשו") הייתה להוכיח לפי ההגדרה ש־(n+√n)/(2n−7√n) אינה מתכנסת ל־1/7; בלוח נוסף הגורם (−1)^n, והוכח עם ε=1/7 ש־1/7 אינו הגבול, ובציור שבלוח מסומנים −1/2, 0, 1/7, 1/2. מאגר 2.1-23 (ק' 3, ✓; "הגבולות החלקיים ±1/2"; גם שעת מחלקה תשפ"ה, R10, ו־ש"ב 3 תש"ף, W6a). זו אינה שאלת מבחן: הניסוח "האם הגבול קיים?" בשני גבולות חלקיים הוא בסגנון שאלת המבחן מועד ב' תשע"ב ש2ב שבטיוטת "מבחנים לפי נושא" §2.10 (מאגר 2.10-06), והפתרון דרך תתי-סדרות של b_n נכתב כאן.
דוגמה 4: הוכיחו או הפריכו: מה נובע מ־[math]\displaystyle{ (-1)^na_n\to b }[/math]?
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית, ויהי [math]\displaystyle{ b\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ (-1)^na_n\to b }[/math]. הוכיחו או הפריכו: (א) [math]\displaystyle{ b }[/math] ו־[math]\displaystyle{ -b }[/math] הם גבולות חלקיים של [math]\displaystyle{ a_n }[/math]. (ב) [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת. (ג) אם קיים [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to a }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a=b=0 }[/math].
נסמן [math]\displaystyle{ c_n=(-1)^na_n }[/math]. המקומות [math]\displaystyle{ 2n }[/math] והמקומות [math]\displaystyle{ 2n-1 }[/math] הם סדרות עולות ממש של מספרים טבעיים, ולכן [math]\displaystyle{ c_{2n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c_{2n-1} }[/math] הן תתי-סדרות של [math]\displaystyle{ c_n }[/math], ולפי משפט 2.10.3 שתיהן שואפות ל־[math]\displaystyle{ b }[/math].
(א) נכון. לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (-1)^{2n}=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ (-1)^{2n-1}=-1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_{2n}=c_{2n}\to b }[/math], [math]\displaystyle{ a_{2n-1}=-c_{2n-1}\to-b }[/math] (אריתמטיקה של גבולות, משפט 2.4.2). גם [math]\displaystyle{ a_{2n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2n-1} }[/math] הן תתי-סדרות של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] (באותם מקומות), ולכן לפי הגדרה 2.10.2 [math]\displaystyle{ b }[/math] ו־[math]\displaystyle{ -b }[/math] הם גבולות חלקיים של [math]\displaystyle{ a_n }[/math].
(ב) לא נכון. ניקח את הסדרה שבאיור, [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n\frac n{n+1} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ (-1)^na_n=\frac n{n+1} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac1{1+\frac1n}\to1 }[/math] (משפט 2.4.2), ולפי (א) [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ -1 }[/math] הם גבולות חלקיים שונים של [math]\displaystyle{ a_n }[/math]. לכן לפי מסקנה 2.10.4 היא אינה מתכנסת.
(ג) נכון. נניח ש [math]\displaystyle{ a_n\to a }[/math]. לפי משפט 2.10.3 גם תתי-הסדרות [math]\displaystyle{ a_{2n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2n-1} }[/math] של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] שואפות ל־[math]\displaystyle{ a }[/math]. לפי (א) [math]\displaystyle{ a_{2n}\to b }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2n-1}\to-b }[/math], ולכן לפי יחידות הגבול (משפט 2.1.11) [math]\displaystyle{ a=b }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a=-b }[/math]. מכאן [math]\displaystyle{ b=-b }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ b=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a=b=0 }[/math].
לסיכום, [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת אם ורק אם [math]\displaystyle{ b=0 }[/math]: אם [math]\displaystyle{ b\ne0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ b\ne-b }[/math] ולפי (א) ומסקנה 2.10.4 אין גבול; אם [math]\displaystyle{ b=0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ c_n\to0 }[/math], ולכן לפי מסקנה 2.2.2 [math]\displaystyle{ |c_n|\to0 }[/math]; מכיוון ש [math]\displaystyle{ |a_n|=|c_n| }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], גם [math]\displaystyle{ |a_n|\to0 }[/math], ושוב לפי מסקנה 2.2.2 [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math].
מקור: סעיף (ג) הוא שאלה 1 במבחן 88-132 תשס"ז מועד א' (1.2.07, לורנס זלצמן): "a_n→a ו־(−1)^n a_n→b. הוכח ש־a=b=0" (מאגר המבחנים של הפקולטה, G4-Z07A-1, כתב יד, בלי פתרון רשמי; פתרונות של סטודנטים בדף השיחה של 88-132 סמסטר א' תשעא, ארכיון 15, 24–28.1.2011, לפי G6 A15); אותה טענה היא ש"ב 5 שאלה 2, אינפי 1 תיכוניסטים תשפ"א (הגשה 26.11.2020), עם פתרון כתוב בוויקי (W6a), ונפתרה על הלוח של ארז, מדמ"ח תשפ"א, 17.12.20 שורות 86–90 ו־20.12.20 שורות 19–25 (R2-E53: "בעזרת a_{2n}"). מאגר 2.10-22 (◆, ק' 2, בוחן ✓). סעיפים (א) ו־(ב) והסיכום נוספו כאן כדי שתהיה שאלת "הוכיחו או הפריכו" בסגנון בוחן; זו אינה שאלת בוחן מקורית. ההפרכה ב־(ב) משתמשת בסדרה שבאיור.
טעויות נפוצות
לבלבל בין סדרת המקומות [math]\displaystyle{ k_n }[/math] לתת-הסדרה [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math]: עבור [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ k_n=2n }[/math], הסדרה [math]\displaystyle{ 2,4,6,\dots }[/math] היא סדרת המקומות, ותת-הסדרה היא [math]\displaystyle{ a_{2n}=1,1,1,\dots }[/math] (בסרטון, 3:18: "זו לא תת הסדרה, זו סדרת המקומות").
לשנות את סדר האיברים או לחזור על איבר: סדרת המקומות חייבת להיות עולה ממש, ולכן אי אפשר לקחת את [math]\displaystyle{ a_{10} }[/math] ואחריו את [math]\displaystyle{ a_5 }[/math], וגם לא [math]\displaystyle{ a_{10},a_{10},a_{10},\dots }[/math], אחרת כל איבר של כל סדרה היה גבול חלקי (בסרטון, 2:16–2:42); למשל [math]\displaystyle{ 1 }[/math] אינו גבול חלקי של [math]\displaystyle{ 1,0,0,0,\dots }[/math].
"[math]\displaystyle{ L }[/math] הוא גבול חלקי אם ורק אם הוא מופיע בסדרה אינסוף פעמים": מופע אינסופי מספיק אבל אינו הכרחי, כי [math]\displaystyle{ 0 }[/math] הוא גבול חלקי של [math]\displaystyle{ 1;\ 1,\tfrac12;\ 1,\tfrac12,\tfrac13;\ \dots }[/math] אף שאינו מופיע בה כלל (דוגמה 2), וגם הגבול של סדרה מתכנסת הוא גבול חלקי שלה (עם [math]\displaystyle{ k_n=n }[/math]).
"קיימת תת-סדרה ששואפת ל־[math]\displaystyle{ L }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math]": עבור [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_{2n}\to1 }[/math], ובכל זאת לסדרה אין גבול; משפט 2.10.3 דורש שכל תתי-הסדרות ישאפו ל־[math]\displaystyle{ L }[/math]; מנגד, כדי להראות שאין גבול מספיקות שתי תתי-סדרות עם גבולות שונים (מסקנה 2.10.4).
"[math]\displaystyle{ a_{2n}\to L }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a_{3n}\to L }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math]": שגוי, כי תתי-הסדרות האלה אינן כוללות את המקומות [math]\displaystyle{ 1,5,7,11,\dots }[/math], ושם הסדרה יכולה להתנהג אחרת; הסקה כזו נכונה כשמספר סופי של תתי-סדרות מכסה את כל המקומות, למשל הזוגיים והאי-זוגיים (זה הנושא של הדף על תתי-סדרות המכסות את הסדרה, ושם גם דוגמה נגדית מלאה).
לתרגול
תרגיל 69 מתרגילי ההכנה למבחן · סדרת נסיגה [math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{2}{1+a_n} }[/math]: תתי הסדרות הזוגית והאי־זוגית (עם פתרון מלא)
מועד ב' תשע"ב (מתמטיקה) · שאלה 2ב: האם קיים [math]\displaystyle{ \lim n^{\sin\frac{n\pi}2} }[/math], עם פתרון; תרגיל טוב אחרי דוגמה 3. קושי 1–2.
מועד ב' תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה 4א: אם לכל תת-סדרה יש תת-סדרה ששואפת ל־[math]\displaystyle{ L }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] (פתרון). קושי 3.
מועד ב' תשע"ז (תיכוניסטים) · שאלה 2: אם [math]\displaystyle{ a_na_{n+1}\to1 }[/math], אזי לכל גבול חלקי [math]\displaystyle{ a\ne0 }[/math] גם [math]\displaystyle{ \frac1a }[/math] הוא גבול חלקי (השאלות והצעת פתרון של לירן ויונתן). קושי 3.
מועד א' תשפ"ו (מתמטיקה, בועז צבאן) · שאלה 1א: לסדרה ששואפת ל־[math]\displaystyle{ a }[/math] מימין ([math]\displaystyle{ a_n\to a^+ }[/math]) יש תת-סדרה יורדת ממש; בניית סדרת מקומות, עם פתרון. קושי 2–3.
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הסדרות.
מערך תרגול: תתי-סדרות · ההגדרות, המשפט והמסקנה, ותרגיל עם פתרון: כל הגבולות החלקיים של [math]\displaystyle{ (-1)^n\left(5-\frac4{2^n}\right) }[/math] (הם [math]\displaystyle{ 5 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ -5 }[/math]).
תרגול 5 (לואי ומני) · עמ' 4–5: תת-סדרה וגבול חלקי, הגבולות החלקיים של [math]\displaystyle{ \frac{5^n+(-5)^n}{4^n} }[/math], והטענה שאם [math]\displaystyle{ a_{2k}\to L }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2k+1}\to M }[/math] אזי אין לסדרה גבולות חלקיים אחרים; עם פתרונות.
![הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n\frac{n}{n+1} }[/math]; הקו האפור הדק מחבר איברים עוקבים, כלומר מראה את הסדר המקורי. הנקודות הירוקות הן האיברים במקומות הזוגיים [math]\displaystyle{ k_n=2n }[/math] (המספרים הירוקים מתחת לציר), והן יוצרות את תת-הסדרה [math]\displaystyle{ a_{2n}=\frac{2n}{2n+1} }[/math], ששואפת ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]. הנקודות התכולות הן האיברים במקומות האי-זוגיים, והן יוצרות את תת-הסדרה [math]\displaystyle{ a_{2n-1}=-\frac{2n-1}{2n} }[/math], ששואפת ל־[math]\displaystyle{ -1 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ -1 }[/math] הם שני גבולות חלקיים שונים של [math]\displaystyle{ a_n }[/math], ולפי מסקנה 2.10.4 לסדרה אין גבול: אילו היה [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math], לפי משפט 2.10.3 שתי תתי-הסדרות היו שואפות ל־[math]\displaystyle{ L }[/math], ולפי יחידות הגבול היה [math]\displaystyle{ L=1 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ L=-1 }[/math].](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c2-16.png)