אינפי 1/אריתמטיקה של גבולות של פונקציות

📄 דף מעודכן על הנושא: גבול פונקציה: הגדרות ומשפטים מהקורס, סרטון, דוגמאות פתורות ותרגול.

תהיינה [math]\displaystyle{ f,g }[/math] פונקציות.

משפט

אם \begin{displaymjx}\lim_{x\to a} f(x)=0 ,\ \exists M \exists \delta \forall x:0<|x-a|<\delta\Rightarrow |g(x)|<M\end{displaymjx} אז [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a} f(x) g(x) = 0 }[/math] (מכפלה של פונקציה חסומה בסביבת נקודה בפונקציה ששואפת ל-0 בנק’ זו היא פונקציה ששואפת ל-0)

הוכחה.

נשתמש בעקרון היינה: נניח [math]\displaystyle{ x_n\to a }[/math] ונראה כי [math]\displaystyle{ f(x_n)\to 0 }[/math] וקיימת סביבה של [math]\displaystyle{ a }[/math] בה [math]\displaystyle{ g(x_n) }[/math] חסומה ולכן [math]\displaystyle{ f(x_n) g(x_n) \to 0 }[/math]

∎

משפט

נניח ש- [math]\displaystyle{ f(x) \to l_1 , g(x) \to l_2 }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ l_1,l_2 \in \mathbb{R} }[/math] ) אזי:

1. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = l_1+l_2 }[/math]

2. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a} (f(x) g(x)) = l_1 l_2 }[/math]

3. אם [math]\displaystyle{ c }[/math] קבוע אז [math]\displaystyle{ c\cdot f(x) \to cl_1 }[/math]

4. אם [math]\displaystyle{ l_1>0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{l_1} }[/math]

הוכחה.

שוב נשתמש בעקרון היינה, נגדיר [math]\displaystyle{ x_n \to a , x_n \neq a }[/math] ונשתמש באריתמטיקת גבולות של סדרות: \begin{displaymjx}\lim_{x\to a} f(x)+g(x) = \lim_{n\to \infty} f(x_n)+g(x_n) =\lim_{n\to \infty} f(x_n)+\lim_{n\to \infty}g(x_n)=l_1+l_2\end{displaymjx} השאר מוכחים באופן דומה.

∎