תהי סדרה [math]\displaystyle{ \{x_n\}_{n=1}^\infty }[/math] . נגדיר 2 סדרות חדשות: [math]\displaystyle{ L_n=\sup \{x_k : k\geq n\} , l_n = \inf \{x_k : k \geq n\} }[/math] . ברור ש- [math]\displaystyle{ l_n\leq L_n }[/math].
תזכורת: [math]\displaystyle{ A\subseteq B\subseteq \mathbb{R} \Rightarrow \inf B\leq \inf A \leq \sup A \leq \sup B }[/math]
מהתזכורת הזאת נשים לב ש- [math]\displaystyle{ L_n }[/math] מונו’ (מונוטונית) יורדת ו- [math]\displaystyle{ L_n }[/math] מונו’ עולה. זאת משום ש- [math]\displaystyle{ \{x_k : k\geq n\} \subseteq \{x_k : k\geq n+1 \} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ l_n\leq l_{n+1}\leq L_{n+1} \leq L_n }[/math]
הגדרה
הגבול העליון של [math]\displaystyle{ x_n }[/math], שמסומן באופן הבא: [math]\displaystyle{ \overline{\lim}_{n\to\infty} x_n }[/math] מוגדר להיות [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} L_n }[/math] . באותו אופן, הגבול התחתון הוא [math]\displaystyle{ \underline{\lim}_{n\to\infty} x_n =\lim_{n\to \infty} l_n }[/math].
משפט
תהי סדרה חסומה [math]\displaystyle{ x_n }[/math] אזי
הגבול העליון והתחתון זהים אם ורק אם הסדרה [math]\displaystyle{ x_n }[/math] מתכנסת (ואז תתכנס לגבול העליון/תחתון)
הוכחה.
נראה ש- [math]\displaystyle{ l_n\leq x_n \leq L_n }[/math] אבל הקצוות מתכנסים לאותו מספר [math]\displaystyle{ L }[/math] ולכן, ממשפט הסנדוויץ’, [math]\displaystyle{ x_n\to L }[/math]
יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] . אנו יודעים ש- [math]\displaystyle{ \exists N \forall n>N : x_n\in (L-\varepsilon,L+\varepsilon) }[/math] ואז לפי ההגדרה [math]\displaystyle{ \forall n>N : L-\varepsilon<x_n<L+\varepsilon }[/math] . לכן גם
\begin{displaymjx}\forall n>N : L-\varepsilon\leq l_n\leq L_n \leq L+\varepsilon\end{displaymjx}
ובעצם קיבלנו ש- [math]\displaystyle{ \exists N \forall n>N : |L_n -L|,|l_n -L|<\varepsilon }[/math]
∎
