בקצרה: לסדרה שאין לה גבול אפשר עדיין לשאול לאן היא מתקרבת: לתתי-סדרות שונות שלה עשויים להיות גבולות שונים, הגבולות החלקיים. לכל סדרה יש גבול חלקי גדול ביותר, הגבול העליון, וגבול חלקי קטן ביותר, הגבול התחתון (אולי אינסופיים), והם מתארים את הטווח שבו הסדרה נעה "באינסוף", בלי להתחשב באיברים בודדים בתחילתה; לכן הם שונים בדרך כלל מהחסם העליון ומהחסם התחתון של קבוצת האיברים. המשפט המרכזי של הנושא: הסדרה שואפת לגבול [math]\displaystyle{ L }[/math], סופי או אינסופי, אם ורק אם גם הגבול העליון וגם הגבול התחתון שלה שווים לו. בפרט, כדי להראות שלסדרה אין גבול, מספיק להראות שהגבול העליון שלה שונה מהגבול התחתון.
▶ ההרצאה: הגדרת גבול עליון וגבול תחתון של סדרה
▶ ההרצאה: הגבול העליון והגבול התחתון הם גבולות חלקיים
▶ ההרצאה: סדרה מתכנסת אם ורק אם הגבול העליון שווה לגבול התחתון
איברי הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\left(1+\frac1n\right)\sin\frac{n\pi}2 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n=1,\dots,32 }[/math]. במקומות [math]\displaystyle{ n=4k-3 }[/math] האיברים הם [math]\displaystyle{ 1+\frac1n }[/math] ושואפים ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]; במקומות הזוגיים הם [math]\displaystyle{ 0 }[/math] (העיגולים החלולים); ובמקומות [math]\displaystyle{ n=4k-1 }[/math] הם [math]\displaystyle{ -\left(1+\frac1n\right) }[/math] ושואפים ל־[math]\displaystyle{ -1 }[/math]. לכן הגבולות החלקיים הם [math]\displaystyle{ -1 }[/math], [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]. הגבול העליון הוא הגדול שבהם, [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\,a_n=1 }[/math], והגבול התחתון הוא הקטן שבהם, [math]\displaystyle{ \underline{\lim}\,a_n=-1 }[/math] (הקווים הירוקים); כל הגבולות החלקיים נמצאים ברצועה הכחולה שביניהם. לעומתם, החסם העליון של קבוצת האיברים הוא [math]\displaystyle{ \sup a_n=a_1=2 }[/math] (מסומן באדום) והחסם התחתון הוא [math]\displaystyle{ \inf a_n=a_3=-\frac43 }[/math] (הקווים המקווקווים): הם נקבעים לפי איברים בודדים בתחילת הסדרה. שימו לב שאינסוף איברים נמצאים מעל הגבול העליון, אבל הם מתקרבים אליו.
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית. אזי ל־[math]\displaystyle{ a_n }[/math] יש גבול חלקי גדול ביותר וגבול חלקי קטן ביותר, כלומר קיימים גבולות חלקיים [math]\displaystyle{ m,M\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] כך שכל גבול חלקי [math]\displaystyle{ L }[/math] של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מקיים [math]\displaystyle{ m\le L\le M }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית. הגבול החלקי הגדול ביותר של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] נקרא הגבול העליון של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] (limsup) ומסומן [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\,a_n }[/math]. הגבול החלקי הקטן ביותר של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] נקרא הגבול התחתון של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] (liminf) ומסומן [math]\displaystyle{ \underline{\lim}\,a_n }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \underline{\lim}\,a_n=\overline{\lim}\,a_n=L }[/math].
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: חסם עליון לעומת גבול עליון
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] הסדרה [math]\displaystyle{ 1.1,\,-1.1,\,1.01,\,-1.01,\,1.001,\dots }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_{2k-1}=1+10^{-k} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2k}=-(1+10^{-k}) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math]. מצאו את החסם העליון ואת החסם התחתון של קבוצת איברי הסדרה, ואת [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\,a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \underline{\lim}\,a_n }[/math]. האם הסדרה מתכנסת?
החסמים: לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 0<10^{-k}\le\frac1{10} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ -1.1\le a_n\le1.1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. בנוסף [math]\displaystyle{ a_1=1.1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_2=-1.1 }[/math], ולכן החסם העליון של קבוצת האיברים הוא [math]\displaystyle{ 1.1 }[/math] והחסם התחתון הוא [math]\displaystyle{ -1.1 }[/math] (ואף המקסימום והמינימום).
שני גבולות חלקיים: [math]\displaystyle{ 10^{-k}=\left(\frac1{10}\right)^k\to0 }[/math] (מסקנה 2.6.2), ולכן תת-הסדרה במקומות האי-זוגיים מקיימת [math]\displaystyle{ a_{2k-1}\to1 }[/math], ותת-הסדרה במקומות הזוגיים מקיימת [math]\displaystyle{ a_{2k}\to-1 }[/math].
אין גבולות חלקיים אחרים: יהי [math]\displaystyle{ L }[/math] גבול חלקי, ותהי [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math] תת-סדרה כך ש [math]\displaystyle{ a_{k_n}\to L }[/math]. בין המקומות [math]\displaystyle{ k_n }[/math] יש אינסוף מקומות אי-זוגיים או אינסוף מקומות זוגיים. אם יש אינסוף אי-זוגיים, האיברים שבהם הם תת-סדרה של [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math] וגם תת-סדרה של [math]\displaystyle{ a_{2k-1} }[/math], ולכן לפי משפט 2.10.3 הם שואפים גם ל־[math]\displaystyle{ L }[/math] וגם ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ומיחידות הגבול [math]\displaystyle{ L=1 }[/math]. אם יש אינסוף זוגיים, מקבלים באותה דרך [math]\displaystyle{ L=-1 }[/math].
התשובה: קבוצת הגבולות החלקיים היא [math]\displaystyle{ \{-1,1\} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\,a_n=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \underline{\lim}\,a_n=-1 }[/math]. הם שונים, ולכן לפי משפט 2.10.9 הסדרה אינה מתכנסת, אפילו לא במובן הרחב.
הלקח: החסם העליון הוא [math]\displaystyle{ 1.1 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\,a_n=1 }[/math]. החסם העליון נקבע כאן לפי איבר בודד, [math]\displaystyle{ a_1 }[/math], ואילו הגבול העליון מתאר את התנהגות הסדרה באינסוף. שימו לב גם שכל האיברים במקומות האי-זוגיים גדולים מ־[math]\displaystyle{ \overline{\lim}\,a_n }[/math].
מקור: תמליל 24 (n71Zy87PbEE) 00:45–01:48 (https://www.youtube.com/watch?v=n71Zy87PbEE&t=45s): "כבר למדנו על חסם עליון וחסם תחתון, זה לא מספיק?", הסדרה 1.1, −1.1, 1.01, −1.01, ..., החסם העליון 1.1 (01:05) והגבולות 1 ו־−1 (01:29); לוח 10.11.20 (R1-X26, הגרסה 1+1/2, −1−1/2, 1+1/3, ...); מאגר 2.10-05 (◆, ק' 2, בוחן ✓). הטיעון "אין גבולות חלקיים אחרים" (תת-תת-סדרה ויחידות הגבול) כמו במערך התרגול תשע"ב, סדרות/תתי סדרות (התרגיל (−1)^n(5−4/2^n)) ובתרגול 5 של לואי ומני עמ' 5.
דוגמה 2: גבול עליון שאינו איבר של הסדרה
נביט בסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math]: [math]\displaystyle{ \frac12,\frac23,\ \frac12,\frac23,\frac34, }[/math][math]\displaystyle{ \frac12,\frac23,\frac34,\frac45,\ \dots }[/math], הבנויה מקטעים: לכל [math]\displaystyle{ j\in\mathbb N }[/math], הקטע ה־[math]\displaystyle{ j }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac12,\frac23,\dots,\frac{j+1}{j+2} }[/math]. מצאו את [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\,a_n }[/math] ואת [math]\displaystyle{ \underline{\lim}\,a_n }[/math].
כל איבר של הסדרה הוא מהצורה [math]\displaystyle{ \frac m{m+1}=1-\frac1{m+1} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \frac12\le a_n<1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math].
[math]\displaystyle{ 1 }[/math] הוא גבול חלקי, אף שאינו מופיע בסדרה אפילו פעם אחת. כמו בסרטון, נבחר את המופע הראשון של כל ערך: [math]\displaystyle{ \frac12,\frac23,\frac34,\frac45,\dots }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ m\ge2 }[/math] המופע הראשון של [math]\displaystyle{ \frac m{m+1} }[/math] הוא האיבר האחרון בקטע ה־[math]\displaystyle{ (m-1) }[/math], ולכן המקומות עולים ממש ([math]\displaystyle{ 1,2,5,9,14,\dots }[/math]) וזו תת-סדרה. האיבר ה־[math]\displaystyle{ m }[/math] שלה הוא [math]\displaystyle{ \frac m{m+1}=1-\frac1{m+1}\to1 }[/math].
אין גבול חלקי גדול מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]: תהי [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math] תת-סדרה ויהי [math]\displaystyle{ L }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_{k_n}\to L }[/math]. אם [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math], אזי [math]\displaystyle{ L\le1 }[/math] לפי מעבר לגבול באי-שוויון חלש (טענה 2.1.18), כי [math]\displaystyle{ a_{k_n}<1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]. [math]\displaystyle{ L=\infty }[/math] אינו אפשרי, כי אף איבר אינו גדול מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\,a_n=1 }[/math].
הגבול התחתון: [math]\displaystyle{ \frac12 }[/math] מופיע בכל קטע, כלומר אינסוף פעמים, ולכן הסדרה הקבועה [math]\displaystyle{ \frac12 }[/math] היא תת-סדרה, ו־[math]\displaystyle{ \frac12 }[/math] גבול חלקי. כיוון ש [math]\displaystyle{ a_n\ge\frac12 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], כל גבול חלקי [math]\displaystyle{ L }[/math] מקיים [math]\displaystyle{ L\ge\frac12 }[/math] (טענה 2.1.18 עבור [math]\displaystyle{ -a_{k_n}\le-\frac12 }[/math]; ו־[math]\displaystyle{ L=-\infty }[/math] אינו אפשרי, כי אף איבר אינו קטן מ־[math]\displaystyle{ \frac12 }[/math]). לכן [math]\displaystyle{ \underline{\lim}\,a_n=\frac12 }[/math].
הקשר למשפט 2.10.7: כל [math]\displaystyle{ \frac m{m+1} }[/math] מופיע בכל קטע מהקטע ה־[math]\displaystyle{ m }[/math] ואילך, ולכן גם הוא גבול חלקי. החסם העליון של הגבולות החלקיים האלה הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math], והוא עצמו גבול חלקי: הגבול העליון הוא הגבול החלקי הגדול ביותר, לא רק חסם עליון של הגבולות החלקיים. שימו לב גם ש [math]\displaystyle{ a_n<1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], אבל [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\,a_n=1 }[/math]: אי-שוויון חזק אינו עובר לגבול.
מקור: תמליל 25 (zF_5NdFJbAg) 00:31–02:56 (https://www.youtube.com/watch?v=zF_5NdFJbAg&t=31s): הסדרה 1/2, 2/3, 1/2, 2/3, 3/4, ... (00:36–00:56), "האם אחד בעצמו גם הוא גבול חלקי של הסדרה?" (01:53), "הרי אחד לא חוזר על עצמו פה אינסוף פעמים" (02:01) ותת-הסדרה של המופע הראשון של כל איבר (02:10); מאגר 2.10-01 (◆, ק' 1–2, בוחן ✓). בסרטון אין נימוק לכך שאין גבול חלקי גדול מ־1 ואין חישוב של הגבול התחתון; שניהם נוספו כאן.
דוגמה 3: שאלת מבחן: פיצול לזוגיים ולאי-זוגיים
(מועד ב' תשע"ה, תיכוניסטים, שאלה 4ב) לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ a_n=\left(1+\frac{(-1)^{n+1}}n\right)^{n^{(-1)^n}} }[/math]. מצאו את הגבול העליון ואת הגבול התחתון של הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math].
פיצול לפי זוגיות: יהי [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math]. במקום האי-זוגי [math]\displaystyle{ n=2k-1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (-1)^{n+1}=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ (-1)^n=-1 }[/math], ובמקום הזוגי [math]\displaystyle{ n=2k }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (-1)^{n+1}=-1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ (-1)^n=1 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ a_{2k-1}=\left(1+\frac1{2k-1}\right)^{\frac1{2k-1}} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2k}=\left(1-\frac1{2k}\right)^{2k} }[/math].
המקומות האי-זוגיים: [math]\displaystyle{ 1+\frac1{2k-1}\to1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac1{2k-1}\to0 }[/math] (תתי-סדרות של [math]\displaystyle{ 1+\frac1n }[/math] ושל [math]\displaystyle{ \frac1n }[/math], משפט 2.10.3). הבסיס חיובי, ולכן לפי טענה 2.8.1(ג) (בסיס השואף ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] בחזקת מעריך השואף לגבול ממשי) מתקיים [math]\displaystyle{ a_{2k-1}\to1 }[/math].
המקומות הזוגיים (בלי כלל ה־[math]\displaystyle{ e }[/math], שבא רק בסעיף 2.11): לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 1-\frac1{2k}=\frac{2k-1}{2k}=\frac1{1+\frac1{2k-1}} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_{2k}=\frac1{\left(1+\frac1{2k-1}\right)^{2k-1}\cdot\left(1+\frac1{2k-1}\right)} }[/math].
הסדרה [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1{2k-1}\right)^{2k-1} }[/math] היא תת-הסדרה של [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n }[/math] במקומות [math]\displaystyle{ 2k-1 }[/math], ולכן לפי משפט 2.9.5 ומשפט 2.10.3 היא שואפת ל־[math]\displaystyle{ e }[/math]; וגם [math]\displaystyle{ 1+\frac1{2k-1}\to1 }[/math]. המכנה שואף ל־[math]\displaystyle{ e\cdot1=e\ne0 }[/math], ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות (משפט 2.4.2) [math]\displaystyle{ a_{2k}\to\frac1e }[/math]. זה אותו חישוב כמו בדוגמה השנייה בדף "הגדרת המספר e", שם עבור [math]\displaystyle{ \left(1-\frac1n\right)^n }[/math].
שני גבולות חלקיים: מכאן ש [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac1e }[/math] הם גבולות חלקיים של [math]\displaystyle{ a_n }[/math]. לפי משפט 2.9.5 [math]\displaystyle{ e>2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \frac1e<\frac12<1 }[/math].
אין גבולות חלקיים אחרים (כמו בדוגמה הראשונה): יהי [math]\displaystyle{ L }[/math] גבול חלקי, ותהי [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math] תת-סדרה כך ש [math]\displaystyle{ a_{k_n}\to L }[/math]. בין המקומות [math]\displaystyle{ k_n }[/math] יש אינסוף מקומות אי-זוגיים או אינסוף מקומות זוגיים. אם יש אינסוף אי-זוגיים, האיברים שבהם הם תת-סדרה של [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math] וגם של [math]\displaystyle{ a_{2k-1} }[/math], ולכן לפי משפט 2.10.3 הם שואפים גם ל־[math]\displaystyle{ L }[/math] וגם ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ומיחידות הגבול (משפט 2.1.11) [math]\displaystyle{ L=1 }[/math]. אם יש אינסוף זוגיים, מקבלים באותה דרך [math]\displaystyle{ L=\frac1e }[/math].
הכללה (בדף הבא, "תת-סדרות המכסות את הסדרה"): תתי-הסדרות [math]\displaystyle{ a_{2k-1} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2k} }[/math] מכסות את [math]\displaystyle{ a_n }[/math] (הגדרה 2.10.10), ואותו טיעון מראה שאם מספר סופי של תתי-סדרות מכסות סדרה ולכל אחת מהן יש גבול, אזי הגבולות שלהן הם כל הגבולות החלקיים של הסדרה. בהצעת הפתרון למבחן הטענה הזאת, לשתי תתי-סדרות, מוכחת כ"טענת עזר".
התשובה: קבוצת הגבולות החלקיים היא [math]\displaystyle{ \left\{\frac1e,1\right\} }[/math], ולכן לפי הגדרה 2.10.8 [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\,a_n=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \underline{\lim}\,a_n=\frac1e }[/math]. הם שונים, ולכן לפי משפט 2.10.9 הסדרה אינה מתכנסת, גם לא במובן הרחב.
שימו לב: במקומות האי-זוגיים הבסיס גדול מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] והמעריך חיובי, ולכן [math]\displaystyle{ a_{2k-1}>1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] (למשל [math]\displaystyle{ a_1=2 }[/math]): אינסוף איברים גדולים מהגבול העליון, כמו בדוגמה הראשונה.
מקור: מבחן מועד ב' תשע"ה (תיכוניסטים), שאלה 4ב: "מצא את הגבול העליון והגבול התחתון של הסידרה" (נוסח השאלה בראש עמ' 5 בקובץ תיקון_תשעה_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf בוויקי, ובעמ' 5–6 הצעת פתרון של סטודנטים, בכותרת הקובץ "הצעת פתרון | יונתן סמידוברסקי": טענת עזר על שתי תתי-סדרות מכסות, ואז [math]\displaystyle{ a_{2n}\to e^{-1} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2n-1}\to1 }[/math]); מאגר 2.10-49 (E75B ש4ב, W5c, ק' 3); טיוטת "מבחנים לפי נושא", סעיף 2.10 (limsup ו-liminf). בהצעת הפתרון הגבול בזוגיים, [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1{-2n}\right)^{2n}\to e^{-1} }[/math], נכתב בלי נימוק (כנראה לפי כלל ה־[math]\displaystyle{ e }[/math], סעיף 2.11); כאן הוא מחושב מהגדרת [math]\displaystyle{ e }[/math] (משפט 2.9.5) ומאריתמטיקה של גבולות, והטיעון "אין גבולות חלקיים אחרים" כמו בדוגמה 1. ההערה על האיברים שמעל הגבול העליון נוספה כאן.
דוגמה 4: רק מספר סופי של איברים מ־[math]\displaystyle{ \overline{\lim}\,a_n+\varepsilon }[/math] ומעלה
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\,a_n=L }[/math]. (א) הוכיחו שלכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n<L+\varepsilon }[/math]. (ב) האם בהכרח קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\le L }[/math]?
(א) יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math], ונניח בשלילה שלכל [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n>K }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\ge L+\varepsilon }[/math]. אזי יש אינסוף מקומות שבהם [math]\displaystyle{ a_n\ge L+\varepsilon }[/math], והאיברים במקומות האלה, לפי הסדר, הם תת-סדרה [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math] שכל איבריה גדולים מ־[math]\displaystyle{ L+\varepsilon }[/math] או שווים לו.
אילו [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math] הייתה מתכנסת, הגבול שלה היה גדול מ־[math]\displaystyle{ L }[/math]. אבל אולי היא אינה מתכנסת, ולכן, כמו בהוכחה בסרטון, ניקח לפי טענה 2.10.5 תת-סדרה מונוטונית [math]\displaystyle{ b_n }[/math] שלה. גם [math]\displaystyle{ b_n }[/math] היא תת-סדרה של [math]\displaystyle{ a_n }[/math], ו־[math]\displaystyle{ b_n\ge L+\varepsilon }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math].
אם [math]\displaystyle{ b_n }[/math] חסומה, לפי משפט 2.9.2 קיים [math]\displaystyle{ M\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ b_n\to M }[/math], ולפי מעבר לגבול באי-שוויון חלש (טענה 2.1.18 עבור [math]\displaystyle{ -b_n\le-(L+\varepsilon) }[/math]) [math]\displaystyle{ M\ge L+\varepsilon }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ M>L }[/math].
אם [math]\displaystyle{ b_n }[/math] אינה חסומה, לפי משפט 2.9.2 [math]\displaystyle{ b_n\to\infty }[/math] או [math]\displaystyle{ b_n\to-\infty }[/math]. היא חסומה מלרע על ידי [math]\displaystyle{ L+\varepsilon }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ b_n\not\to-\infty }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ b_n\to\infty }[/math].
בשני המקרים מצאנו גבול חלקי של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ([math]\displaystyle{ M }[/math] או [math]\displaystyle{ \infty }[/math]) הגדול ממש מ־[math]\displaystyle{ L }[/math], בסתירה לכך ש [math]\displaystyle{ L }[/math] הוא הגבול החלקי הגדול ביותר. לכן קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n<L+\varepsilon }[/math].
(ב) לא. הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=1+\frac1n }[/math] מתכנסת ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן לפי משפט 2.10.9 [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\,a_n=1 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ a_n>1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. מעל הגבול העליון עשויים להיות אינסוף איברים; לפי (א), לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] רק מספר סופי מהם גדולים מ־[math]\displaystyle{ L+\varepsilon }[/math] או שווים לו.
מקור: תמליל 26 (j4C_2yvKpN0) 02:31–04:36 (https://www.youtube.com/watch?v=j4C_2yvKpN0&t=151s): אותו טיעון בהוכחת הכיוון השני של משפט 2.10.9 (אינסוף איברים "גדולים או שווים ל־L ועוד אפסילון", תת-סדרה מונוטונית שלהם, ושני מקרים: חסומה או לא חסומה); remark של משפט 2.10.7 ("טעות: להניח שאיברי הסדרה קטנים מ־limsup"); מאגר 2.10-48 (◆, לוחות החממה 7.12.20 ו־P2 ש"ב6; שם הגרסה: אם limsup a_n = L > 0, אזי החל ממקום מסוים a_n < 3L/2).
טעויות נפוצות
להניח שכל איברי הסדרה קטנים מהגבול העליון או שווים לו: לסדרה [math]\displaystyle{ 1+\frac1n }[/math] הגבול העליון הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math] וכל האיברים גדולים ממנו. מה שנכון (כשהגבול העליון סופי) הוא שלכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] רק מספר סופי של איברים גדולים מ־[math]\displaystyle{ \overline{\lim}\,a_n+\varepsilon }[/math] או שווים לו (הדוגמה הרביעית בדף).
לבלבל בין הגבול העליון לבין החסם העליון של קבוצת איברי הסדרה: לסדרה [math]\displaystyle{ 1.1,-1.1,1.01,-1.01,\dots }[/math] החסם העליון הוא [math]\displaystyle{ 1.1 }[/math] והגבול העליון הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math] (בסרטון, 00:51). החסם העליון יכול להיקבע לפי איבר בודד בתחילת הסדרה, ואילו הגבול העליון מתאר את התנהגותה באינסוף.
למצוא גבול חלקי אחד ולהכריז שהוא הגבול העליון: צריך להראות גם שכל גבול חלקי קטן ממנו או שווה לו, למשל בעזרת חסם על האיברים, או בחלוקה של המקומות לכמה תתי-סדרות מתכנסות ובטיעון של תת-תת-סדרה (הדוגמה הראשונה בדף). ל־[math]\displaystyle{ (-1)^n }[/math] המספר [math]\displaystyle{ -1 }[/math] הוא גבול חלקי, אבל הגבול העליון הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math].
לחשוב שגבול חלקי, ובפרט הגבול העליון, חייב להופיע בסדרה אינסוף פעמים: בסדרה [math]\displaystyle{ \frac12,\frac23,\frac12,\frac23,\frac34,\dots }[/math] המספר [math]\displaystyle{ 1 }[/math] אינו מופיע כלל, ובכל זאת הוא גבול חלקי, ואף הגבול העליון (בסרטון, 01:58).
לשכוח ש־[math]\displaystyle{ \pm\infty }[/math] יכולים להיות גבולות חלקיים: לסדרה [math]\displaystyle{ 1,0,3,0,5,0,\dots }[/math] יש גבול חלקי סופי יחיד, [math]\displaystyle{ 0 }[/math], ובכל זאת היא אינה מתכנסת, כי [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\,a_n=\infty }[/math] ואילו [math]\displaystyle{ \underline{\lim}\,a_n=0 }[/math]. לכן "סדרה מתכנסת אם ורק אם יש לה גבול חלקי סופי יחיד" נכון לסדרה חסומה, ולא בלי חסימות. מה שנכון לכל סדרה (משפטים 2.10.7 ו־2.10.9): [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ L }[/math] הוא הגבול החלקי היחיד שלה, כשסופרים גם את [math]\displaystyle{ \pm\infty }[/math].
לתרגול
תרגיל 66 מתרגילי ההכנה למבחן · סדרה חסומה עם [math]\displaystyle{ a_{n+1}\ge a_n-\frac1{2^n} }[/math]: האם היא מתכנסת? (עם פתרון מלא)
תרגיל 70 מתרגילי ההכנה למבחן · סנדוויץ' עם [math]\displaystyle{ \liminf }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \limsup }[/math] (עם פתרון מלא)
מועד ב' תשע"ב (מתמטיקה) · שאלה 2ב: האם קיים [math]\displaystyle{ \lim n^{\sin\frac{n\pi}2} }[/math], עם פתרון (פתרון מלא, כולל הגבול העליון והתחתון, בדף הבא, "תת-סדרות המכסות את הסדרה")
מועד ב' תשע"ה (תיכוניסטים) · שאלה 4ב: הגבול העליון והתחתון של [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{(-1)^{n+1}}n\right)^{n^{(-1)^n}} }[/math] (הדוגמה השלישית בדף); שאלה 2: קריטריון תתי-הסדרות. השאלות והצעת פתרון של לירן ויונתן
מועד ב' תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה 4א: אם לכל תת-סדרה יש תת-סדרה השואפת ל־[math]\displaystyle{ L }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] (פתרון)
מועד א' תשפ"ה (מתמטיקה, בועז צבאן) · חלק נכון/לא נכון, סעיף ג: האם יש סדרה שקבוצת הגבולות החלקיים שלה היא [math]\displaystyle{ [-e^\pi,\pi^e] }[/math] (פתרון)
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הסדרות
מערך תרגול: גבול עליון וגבול תחתון · שלושה תרגילים עם פתרון: אם [math]\displaystyle{ a_n\le b_n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\,a_n\le\overline{\lim}\,b_n }[/math] (אבל לא בהכרח [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\,a_n\le\underline{\lim}\,b_n }[/math]); קבוצת הגבולות החלקיים כאשר [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|\to0 }[/math]; חסמים ל־[math]\displaystyle{ \overline{\lim}(a_n+b_n) }[/math]. בתחילת הדף הגבול העליון מוגדר אחרת, דרך החסמים העליונים של הזנבות, והמשפט בסעיף הזה מראה שמתקבל הגבול החלקי הגדול ביותר, כמו בקורס
תרגול 5 (לואי ומני) · עמ' 4–6: כל הגבולות החלקיים, הגבול העליון והגבול התחתון של [math]\displaystyle{ \frac{5^n+(-5)^n}{4^n} }[/math], והטענה שאם [math]\displaystyle{ a_{2k}\to L }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2k+1}\to M }[/math], אלה הגבולות החלקיים היחידים; עם פתרונות
![איברי הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\left(1+\frac1n\right)\sin\frac{n\pi}2 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n=1,\dots,32 }[/math]. במקומות [math]\displaystyle{ n=4k-3 }[/math] האיברים הם [math]\displaystyle{ 1+\frac1n }[/math] ושואפים ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]; במקומות הזוגיים הם [math]\displaystyle{ 0 }[/math] (העיגולים החלולים); ובמקומות [math]\displaystyle{ n=4k-1 }[/math] הם [math]\displaystyle{ -\left(1+\frac1n\right) }[/math] ושואפים ל־[math]\displaystyle{ -1 }[/math]. לכן הגבולות החלקיים הם [math]\displaystyle{ -1 }[/math], [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]. הגבול העליון הוא הגדול שבהם, [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\,a_n=1 }[/math], והגבול התחתון הוא הקטן שבהם, [math]\displaystyle{ \underline{\lim}\,a_n=-1 }[/math] (הקווים הירוקים); כל הגבולות החלקיים נמצאים ברצועה הכחולה שביניהם. לעומתם, החסם העליון של קבוצת האיברים הוא [math]\displaystyle{ \sup a_n=a_1=2 }[/math] (מסומן באדום) והחסם התחתון הוא [math]\displaystyle{ \inf a_n=a_3=-\frac43 }[/math] (הקווים המקווקווים): הם נקבעים לפי איברים בודדים בתחילת הסדרה. שימו לב שאינסוף איברים נמצאים מעל הגבול העליון, אבל הם מתקרבים אליו.](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c2-18.png)