בקצרה: לפעמים נוח לחקור סדרה בחלקים: לפצל אותה לכמה תתי-סדרות, למצוא את הגבול של כל אחת מהן בנפרד, ולהסיק מכך על הסדרה כולה. כמה תתי-סדרות מכסות את הסדרה אם כל מקום בסדרה שייך לפחות לאחת מהן: הכיסוי הוא של מקומות (אינדקסים), לא של ערכים. הטענה המרכזית בנושא: אם מספר סופי של תתי-סדרות מכסות את הסדרה וכולן שואפות לאותו גבול [math]\displaystyle{ L }[/math], גם הסדרה כולה שואפת ל־[math]\displaystyle{ L }[/math]; למשל, אם תת-הסדרה של המקומות הזוגיים ותת-הסדרה של המקומות האי-זוגיים שואפות שתיהן ל־[math]\displaystyle{ L }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math]. הדרישה שמספר תתי-הסדרות יהיה סופי הכרחית: יש סדרה שאפשר לכסות באינסוף תתי-סדרות, שכולן שואפות ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], והיא בכל זאת אינה מתכנסת.
▶ ההרצאה: תתי הסדרות מתכנסות המכסות את כל הסדרה
משמאל: הסדרה [math]\displaystyle{ x_n=1+\frac{(-1)^n}{n} }[/math]. תת-הסדרה במקומות הזוגיים (נקודות ירוקות) ותת-הסדרה במקומות האי-זוגיים (נקודות תכלת) שואפות שתיהן ל־[math]\displaystyle{ L=1 }[/math]. בפס שמתחת לגרף כל שורה מציגה את קבוצת המקומות של אחת מתתי-הסדרות (ריבוע מלא: המקום [math]\displaystyle{ n }[/math] שייך לקבוצה). בכל עמודה יש ריבוע מלא, כלומר תתי-הסדרות מכסות את הסדרה, ולכן [math]\displaystyle{ x_n\to1 }[/math]. מימין: הסדרה מדוגמה 2, [math]\displaystyle{ a_n=5 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ n }[/math] מתחלק ב־[math]\displaystyle{ 2 }[/math] או ב־[math]\displaystyle{ 3 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ a_n=7 }[/math] אחרת. תתי-הסדרות [math]\displaystyle{ a_{2n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{3n} }[/math] קבועות ושוות ל־[math]\displaystyle{ 5 }[/math], אבל הן אינן מכסות את הסדרה: בעמודות [math]\displaystyle{ 1,5,7,11 }[/math] אין ריבוע מלא (ובהמשך הסדרה גם [math]\displaystyle{ 13,17,19,\dots }[/math]), ובמקומות האלה [math]\displaystyle{ a_n=7 }[/math] (העיגולים האדומים). לכן אי אפשר להסיק ש [math]\displaystyle{ a_n\to5 }[/math], ואכן לסדרה אין גבול.
תתי-הסדרות [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{m_n} }[/math]מכסות את [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אם איחוד קבוצות המקומות שלהן הוא [math]\displaystyle{ \mathbb N }[/math]:
[math]\displaystyle{ \displaystyle \{k_n\mid n\in\mathbb N\}\cup\{m_n\mid n\in\mathbb N\}=\mathbb N . }[/math]
יהי [math]\displaystyle{ p\in\mathbb N }[/math] ויהיו נתונות [math]\displaystyle{ p }[/math] תתי-סדרות של [math]\displaystyle{ a_n }[/math]. הן מכסות את [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אם איחוד קבוצות המקומות שלהן הוא [math]\displaystyle{ \mathbb N }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית, ויהיו [math]\displaystyle{ p\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math]. אם ל־[math]\displaystyle{ a_n }[/math] יש [math]\displaystyle{ p }[/math] תתי-סדרות המכסות אותה, וכולן שואפות ל־[math]\displaystyle{ L }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math].
קיימות סדרה ממשית [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ומספר [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ j\in\mathbb N }[/math] תת-סדרה של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] השואפת ל־[math]\displaystyle{ L }[/math], כך שאיחוד קבוצות המקומות של כל תתי-הסדרות האלה הוא [math]\displaystyle{ \mathbb N }[/math], אבל [math]\displaystyle{ a_n\not\to L }[/math].
בודקים את קבוצות המקומות (האינדקסים), לא את הערכים: האוסף מכסה את [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אם כל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math] הוא מקום של לפחות אחת מתתי-הסדרות.
(א) מכסות: קבוצות המקומות הן [math]\displaystyle{ \{2,4,6,\dots\} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \{1,3,5,\dots\} }[/math], וכל מספר טבעי הוא זוגי או אי-זוגי.
(ב) לא מכסות: [math]\displaystyle{ 2n\ge2 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 3n\ge3 }[/math], ולכן המקום [math]\displaystyle{ 1 }[/math] חסר; וכך גם [math]\displaystyle{ 5,7,11,13,\dots }[/math], כל מספר טבעי שאינו מתחלק ב־[math]\displaystyle{ 2 }[/math] ואינו מתחלק ב־[math]\displaystyle{ 3 }[/math].
(ג) מכסות: יהי [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math], ונחלק אותו ב־[math]\displaystyle{ 3 }[/math] עם שארית: [math]\displaystyle{ m=3q+r }[/math], [math]\displaystyle{ r\in\{0,1,2\} }[/math]. אם [math]\displaystyle{ r=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ m=3q }[/math] (ו־[math]\displaystyle{ q\ge1 }[/math]); אם [math]\displaystyle{ r=1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ m=3(q+1)-2 }[/math]; אם [math]\displaystyle{ r=2 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ m=3(q+1)-1 }[/math]. בשני המקרים האחרונים [math]\displaystyle{ q\ge0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ q+1\in\mathbb N }[/math].
(ד) לא מכסות: לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 3n\ge3 }[/math], [math]\displaystyle{ 3n+1\ge4 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 3n+2\ge5 }[/math], ולכן המקומות [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 2 }[/math] חסרים. (אם שלושתן שואפות ל־[math]\displaystyle{ L }[/math], עדיין [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math]: הן מכסות את הסדרה [math]\displaystyle{ a_3,a_4,a_5,\dots }[/math], ושני האיברים הראשונים אינם משפיעים על הגבול. אבל לפי ההגדרה הן אינן מכסות את [math]\displaystyle{ a_n }[/math].)
(ה) לפי (ג), שלוש תתי-הסדרות מכסות את [math]\displaystyle{ a_n }[/math], ושלושתן שואפות ל־[math]\displaystyle{ -\infty }[/math]. לפי הטענה על תתי-סדרות מכסות (2.10.11, עם [math]\displaystyle{ p=3 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L=-\infty }[/math]) מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\to-\infty }[/math].
מקור: ההגדרה 2.10.10 ו־remark_text שלה ([math]\displaystyle{ a_{2n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{3n} }[/math] אינן מכסות); סרטון 27, הסבר הכיסוי 0:13–0:30 (https://www.youtube.com/watch?v=Y0Jpalk44do&t=13s) והדוגמה של זוגיים ואי-זוגיים 1:36–1:51 (https://www.youtube.com/watch?v=Y0Jpalk44do&t=96s). סעיף (ה): השאלות הפתוחות לתיכוניסטים תשע"ו ת4 ותשע"ז ת5 (W6c: [math]\displaystyle{ a_{3k},a_{3k-1},a_{3k-2}\to-\infty }[/math] גורר [math]\displaystyle{ a_n\to-\infty }[/math]). מאגר 2.10-24.
דוגמה 2: שתי תתי-סדרות שאינן מכסות (בוחן)
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית, ונביט בתתי-הסדרות [math]\displaystyle{ b_k=a_{2k} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c_j=a_{3j} }[/math]. נתון ש [math]\displaystyle{ b_k\to L }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c_j\to M }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ L,M\in\mathbb R }[/math]. (א) הראו ש [math]\displaystyle{ L=M }[/math]. (ב) הוכיחו או הפריכו: הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת.
(א) נביט בתת-הסדרה [math]\displaystyle{ a_{6k} }[/math] של [math]\displaystyle{ a_n }[/math]. מצד אחד [math]\displaystyle{ a_{6k}=a_{2\cdot3k}=b_{3k} }[/math], וזו תת-סדרה של [math]\displaystyle{ b_k }[/math] (סדרת המקומות [math]\displaystyle{ 3k }[/math] עולה ממש), ולכן לפי משפט 2.10.3 [math]\displaystyle{ a_{6k}\to L }[/math].
מצד שני [math]\displaystyle{ a_{6k}=a_{3\cdot2k}=c_{2k} }[/math], וזו תת-סדרה של [math]\displaystyle{ c_j }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_{6k}\to M }[/math]. הגבול יחיד, ולכן [math]\displaystyle{ L=M }[/math].
(ב) לא בהכרח, ונפריך בדוגמה נגדית. את הטענה על תתי-סדרות מכסות אי אפשר להפעיל כאן, כי [math]\displaystyle{ a_{2k} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{3j} }[/math] אינן מכסות את [math]\displaystyle{ a_n }[/math]: המקומות [math]\displaystyle{ 1,5,7,11,\dots }[/math] חסרים. נשים ערך אחר בדיוק במקומות החסרים: נגדיר [math]\displaystyle{ a_n=5 }[/math] אם [math]\displaystyle{ n }[/math] מתחלק ב־[math]\displaystyle{ 2 }[/math] או ב־[math]\displaystyle{ 3 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ a_n=7 }[/math] אחרת.
אזי [math]\displaystyle{ b_k=a_{2k}=5 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c_j=a_{3j}=5 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ j\in\mathbb N }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ b_k\to5 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c_j\to5 }[/math].
אבל לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] המספר [math]\displaystyle{ 5^k }[/math] אינו מתחלק ב־[math]\displaystyle{ 2 }[/math] ואינו מתחלק ב־[math]\displaystyle{ 3 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_{5^k}=7 }[/math]. זו תת-סדרה של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] (כי [math]\displaystyle{ 5^k<5^{k+1} }[/math]), והיא שואפת ל־[math]\displaystyle{ 7 }[/math].
ל־[math]\displaystyle{ a_n }[/math] יש שני גבולות חלקיים שונים, [math]\displaystyle{ 5 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 7 }[/math], ולכן לפי מסקנה 2.10.4 היא אינה מתכנסת (אפילו לא במובן הרחב).
מקור: בוחן בקבוצה של ארז, תשע"ז, 26.12.2016 (QuitzCalculus1.pdf), שאלה 4, עם פתרון (QuitzCalculus12016sol.pdf): תת-הסדרה [math]\displaystyle{ a_{6k} }[/math] ויחידות הגבול; הפרכה בערכים 5/7 עם תת-הסדרה [math]\displaystyle{ a_{5^k} }[/math]. אותה שאלה בבוחן התיכוניסטים תשע"ו (10.12.2015), שאלה 3, עם פתרון (W6c, Q10/Q11). מאגר 2.10-21 (◆, ק' 2, בוחן ✓). הקשר לכיסוי: remark_text של 2.10.10.
דוגמה 3: שלוש תתי-סדרות מכסות: כל הגבולות החלקיים
תהי [math]\displaystyle{ a_n=n^{\sin\frac{n\pi}2} }[/math]. (א) מצאו שלוש תתי-סדרות של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] המכסות אותה, וחשבו את הגבול של כל אחת מהן. (ב) האם קיים הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n }[/math]? (ג) הוכיחו שאין ל־[math]\displaystyle{ a_n }[/math] גבולות חלקיים נוספים, ומצאו את [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\,a_n }[/math] ואת [math]\displaystyle{ \underline{\lim}\,a_n }[/math].
(א) יהי [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \sin\frac{2k\pi}2=\sin k\pi=0 }[/math]; [math]\displaystyle{ \frac{(4k-3)\pi}2=2(k-1)\pi+\frac\pi2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \sin\frac{(4k-3)\pi}2=1 }[/math]; [math]\displaystyle{ \frac{(4k-1)\pi}2=2(k-1)\pi+\frac{3\pi}2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \sin\frac{(4k-1)\pi}2=-1 }[/math].
מכאן [math]\displaystyle{ a_{2k}=(2k)^0=1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_{2k}\to1 }[/math]; [math]\displaystyle{ a_{4k-3}=4k-3\to\infty }[/math]; ו־[math]\displaystyle{ a_{4k-1}=\frac1{4k-1}\to0 }[/math].
שלוש תתי-הסדרות מכסות את [math]\displaystyle{ a_n }[/math]: כל [math]\displaystyle{ m }[/math] זוגי הוא מהצורה [math]\displaystyle{ 2k }[/math], וכל [math]\displaystyle{ m }[/math] אי-זוגי נותן שארית [math]\displaystyle{ 1 }[/math] או [math]\displaystyle{ 3 }[/math] בחלוקה ב־[math]\displaystyle{ 4 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ m=4k-3 }[/math] או [math]\displaystyle{ m=4k-1 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math].
(ב) [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \infty }[/math] הם שני גבולות חלקיים שונים, ולכן לפי מסקנה 2.10.4 הגבול אינו קיים (אפילו לא במובן הרחב).
(ג) יהי [math]\displaystyle{ K }[/math] גבול חלקי של [math]\displaystyle{ a_n }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ a_{p_n} }[/math] תת-סדרה כך ש [math]\displaystyle{ a_{p_n}\to K }[/math]. יש אינסוף מקומות [math]\displaystyle{ p_n }[/math], וכל אחד מהם שייך לאחת משלוש קבוצות המקומות [math]\displaystyle{ \{2k\} }[/math], [math]\displaystyle{ \{4k-3\} }[/math], [math]\displaystyle{ \{4k-1\} }[/math]; לכן אחת הקבוצות מכילה אינסוף מהם (שובך היונים).
נניח שאינסוף מהמקומות [math]\displaystyle{ p_n }[/math] הם מהצורה [math]\displaystyle{ 4k-3 }[/math]. האיברים במקומות האלה הם תת-סדרה של [math]\displaystyle{ a_{p_n} }[/math], ולכן הם שואפים ל־[math]\displaystyle{ K }[/math], והם גם תת-סדרה של [math]\displaystyle{ a_{4k-3} }[/math], ולכן הם שואפים ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math]. מיחידות הגבול [math]\displaystyle{ K=\infty }[/math]. אם אינסוף מהמקומות הם מהצורה [math]\displaystyle{ 2k }[/math], אותו נימוק נותן [math]\displaystyle{ K=1 }[/math], ואם מהצורה [math]\displaystyle{ 4k-1 }[/math], הוא נותן [math]\displaystyle{ K=0 }[/math].
לכן קבוצת הגבולות החלקיים היא בדיוק [math]\displaystyle{ \{0,1,\infty\} }[/math], ומכאן [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\,a_n=\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \underline{\lim}\,a_n=0 }[/math] (הגבול החלקי הגדול ביותר והקטן ביותר).
זה בדיוק הרעיון של הוכחת הטענה: כשכל תתי-הסדרות המכסות שואפות ל־[math]\displaystyle{ L }[/math], אותו נימוק מראה ש [math]\displaystyle{ L }[/math] הוא הגבול החלקי היחיד. הגבול העליון והגבול התחתון הם גבולות חלקיים (משפט 2.10.7), ולכן [math]\displaystyle{ \underline{\lim}\,a_n=\overline{\lim}\,a_n=L }[/math], ולפי משפט 2.10.9 [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math].
מקור: מבחן מועד ב' תשע"ב (מתמטיקה), שאלה 2ב, עם פתרון בוויקי (הדף "מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב": המעריכים חוזרים במחזור על 0, 1, −1, ולכן 0, 1 ו־∞ גבולות חלקיים שונים); מאגר 2.10-06 (B-B ש2ב, W5b Q015). סעיף (ג) הורחב לפי שיטת ההוכחה בסרטון 27, 1:23–2:42 (https://www.youtube.com/watch?v=Y0Jpalk44do&t=83s), ולפי התרגיל "כל הגבולות החלקיים של [math]\displaystyle{ (-1)^n\left(5-\frac4{2^n}\right) }[/math]" במערך התרגול תשע"ב (סדרות/תתי סדרות) ובתרגול 5 של לואי ומני עמ' 5; אותה טענת עזר מוכחת גם בהצעת הפתרון למועד ב' תשע"ה (תיכוניסטים), שאלה 4ב (W5c).
דוגמה 4: למה דרוש מספר סופי של תתי-סדרות
נביט בסדרה [math]\displaystyle{ 1,\frac12,\ 1,\frac12,\frac13, }[/math][math]\displaystyle{ 1,\frac12,\frac13,\frac14,\ \dots }[/math], כלומר לכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math] הבלוק ה־[math]\displaystyle{ m }[/math] בסדרה הוא [math]\displaystyle{ 1,\frac12,\dots,\frac1{m+1} }[/math]. (א) הוכיחו שלסדרה אין גבול. (ב) מצאו אינסוף תתי-סדרות שלה, המכסות אותה, שכולן שואפות ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]. (ג) מדוע אין כאן סתירה לטענה על תתי-סדרות מכסות?
(א) המספר [math]\displaystyle{ 1 }[/math] מופיע בכל בלוק, ולכן אינסוף פעמים; תת-הסדרה של כל האחדות קבועה, ולכן [math]\displaystyle{ 1 }[/math] גבול חלקי. גם [math]\displaystyle{ \frac12 }[/math] מופיע בכל בלוק, ולכן גם הוא גבול חלקי. לסדרה שני גבולות חלקיים שונים, ולכן לפי מסקנה 2.10.4 אין לה גבול.
(ב) כל מספר [math]\displaystyle{ \frac1m }[/math] מופיע בסדרה אינסוף פעמים (בכל בלוק שמספרו לפחות [math]\displaystyle{ m-1 }[/math]). לכל [math]\displaystyle{ j\in\mathbb N }[/math] נגדיר את תת-הסדרה ה־[math]\displaystyle{ j }[/math]: המופע ה־[math]\displaystyle{ j }[/math] של [math]\displaystyle{ 1 }[/math], אחריו המופע ה־[math]\displaystyle{ j }[/math] של [math]\displaystyle{ \frac12 }[/math], אחריו המופע ה־[math]\displaystyle{ j }[/math] של [math]\displaystyle{ \frac13 }[/math], וכן הלאה.
זו אכן תת-סדרה: כל בלוק שמכיל את [math]\displaystyle{ \frac1{m+1} }[/math] מכיל לפניו גם את [math]\displaystyle{ \frac1m }[/math], ולכן עד המופע ה־[math]\displaystyle{ j }[/math] של [math]\displaystyle{ \frac1{m+1} }[/math] כבר הופיע [math]\displaystyle{ \frac1m }[/math] לפחות [math]\displaystyle{ j }[/math] פעמים; כלומר המקומות עולים ממש. האיבר ה־[math]\displaystyle{ m }[/math] שלה הוא [math]\displaystyle{ \frac1m }[/math], ולכן היא שואפת ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]. למשל, תת-הסדרה הראשונה נמצאת במקומות [math]\displaystyle{ 1,2,5,9,14,\dots }[/math], והשנייה במקומות [math]\displaystyle{ 3,4,8,13,19,\dots }[/math].
הן מכסות את הסדרה: כל איבר בה הוא מופע כלשהו, נאמר ה־[math]\displaystyle{ j }[/math], של מספר [math]\displaystyle{ \frac1m }[/math], ולכן מקומו שייך לתת-הסדרה ה־[math]\displaystyle{ j }[/math].
(ג) הטענה דורשת מספר סופי[math]\displaystyle{ p }[/math] של תתי-סדרות. בהוכחה השתמשנו בעובדה הבאה: לתת-סדרה השואפת לגבול חלקי יש אינסוף איברים משותפים עם אחת המכסות (שובך היונים). כאן זה נכשל: תת-הסדרה של האחדות, השואפת ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], פוגשת כל אחת מתתי-הסדרות שבנינו באיבר אחד בלבד.
דוגמה פשוטה עוד יותר: עבור [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ j\in\mathbb N }[/math], תת-הסדרה [math]\displaystyle{ a_{2j-1},a_{2j},a_{2j+2},\dots }[/math] (האיבר במקום [math]\displaystyle{ 2j-1 }[/math] ואחריו כל המקומות הזוגיים) שואפת ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]. תתי-הסדרות האלה מכסות את [math]\displaystyle{ a_n }[/math], אבל [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתבדרת.
מקור: סרטון 27 (Y0Jpalk44do): השאלה על אינסוף תתי-סדרות 3:26 (https://www.youtube.com/watch?v=Y0Jpalk44do&t=206s); הסדרה ומדוע אין לה גבול 3:41–4:08; המופע הראשון והמופע השני של כל מספר, וכיסוי באינסוף תתי-סדרות השואפות ל־0, 4:19–4:57 (https://www.youtube.com/watch?v=Y0Jpalk44do&t=259s). remark_text של 2.10.11 ("כל מופע j שואף ל־0, אבל לסדרה גבולות חלקיים 1 ו־1/2"). שובך היונים: proofat_text וסרטון 27 1:23–1:51. מאגר 2.10-24 (V27 03:41; שם גם האוסף האינסופי של תתי-סדרות מכסות ל־[math]\displaystyle{ (-1)^n }[/math]).
טעויות נפוצות
לבלבל כיסוי מקומות עם כיסוי ערכים: עבור [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math], תתי-הסדרות [math]\displaystyle{ a_1,a_2,a_4,a_6,\dots }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2n} }[/math] מקבלות יחד את שני הערכים [math]\displaystyle{ \pm1 }[/math] ושתיהן שואפות ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], אבל הן אינן מכסות את המקומות [math]\displaystyle{ 3,5,7,\dots }[/math], ו־[math]\displaystyle{ (-1)^n }[/math] אינה מתכנסת.
לחשוב ש [math]\displaystyle{ a_{2n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{3n} }[/math] מכסות את הסדרה ("כל מספר זוגי או מתחלק ב־3"): המקומות [math]\displaystyle{ 1,5,7,11,\dots }[/math] חסרים, ואכן ייתכן ש [math]\displaystyle{ a_{2n}\to5 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{3n}\to5 }[/math] אבל [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אינה מתכנסת (דוגמה 2).
לשכוח שהמקומות בסדרה מתחילים ב־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]: [math]\displaystyle{ a_{3n} }[/math], [math]\displaystyle{ a_{3n+1} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{3n+2} }[/math] אינן מכסות את [math]\displaystyle{ a_n }[/math], כי המקומות [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 2 }[/math] חסרים; האוסף המכסה הוא [math]\displaystyle{ a_{3n} }[/math], [math]\displaystyle{ a_{3n-1} }[/math], [math]\displaystyle{ a_{3n-2} }[/math].
להפעיל את הטענה על אינסוף תתי-סדרות: גם אם הן מכסות את הסדרה וכולן שואפות ל־[math]\displaystyle{ L }[/math], הסדרה לא בהכרח שואפת ל־[math]\displaystyle{ L }[/math] (דוגמה 4). הטענה נכונה רק למספר סופי [math]\displaystyle{ p }[/math] של תתי-סדרות.
לטעון בהוכחה שתת-סדרה [math]\displaystyle{ a_{p_n} }[/math] היא תת-סדרה של אחת המכסות: נכון רק שיש לה אינסוף איברים משותפים עם אחת מהן, ומהאיברים המשותפים בונים תת-סדרה של שתיהן. למשל, [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math] עצמה אינה תת-סדרה של [math]\displaystyle{ a_{2n} }[/math] או של [math]\displaystyle{ a_{2n-1} }[/math].
לתרגול
מועד ב' תשע"ב (מתמטיקה) · שאלה 2ב: האם קיים הגבול של [math]\displaystyle{ n^{\sin\frac{n\pi}2} }[/math] (כמו דוגמה 3), כולל פתרון. קושי 1–2.
מועד ב' תשע"ה (תיכוניסטים) · שאלה 4ב: הגבול העליון והתחתון של [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{(-1)^{n+1}}n\right)^{n^{(-1)^n}} }[/math] דרך תתי-הסדרות של הזוגיים והאי-זוגיים; בהצעת הפתרון מוכח שתתי-סדרות מכסות קובעות את כל הגבולות החלקיים. גם שאלה 2 שם עוסקת בתת-תת-סדרות. (הקובץ כולל את השאלות והצעת פתרון.) קושי 3.
מועד ב' תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה 4א: אם לכל תת-סדרה של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] יש תת-סדרה המתכנסת ל־[math]\displaystyle{ L }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] (תת-תת-סדרות, כמו בהוכחת הטענה) (פתרון). קושי 2–3.
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הסדרות.
מערך תרגול: תתי-סדרות · התרגיל "מצא את כל הגבולות החלקיים של [math]\displaystyle{ (-1)^n\left(5-\frac4{2^n}\right) }[/math]", עם פתרון בשיטה של דוגמה 3 (זוגיים ואי-זוגיים, ותת-תת-סדרה).
תרגול 5 של לואי ומני · עמ' 5: אם [math]\displaystyle{ a_{2k}\to L }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2k+1}\to M }[/math], אזי [math]\displaystyle{ L }[/math] ו־[math]\displaystyle{ M }[/math] הם הגבולות החלקיים היחידים, עם הוכחה ומסקנות (מתוך חשבון אינפיניטיסימלי 1 - מערך תרגול).
![משמאל: הסדרה [math]\displaystyle{ x_n=1+\frac{(-1)^n}{n} }[/math]. תת-הסדרה במקומות הזוגיים (נקודות ירוקות) ותת-הסדרה במקומות האי-זוגיים (נקודות תכלת) שואפות שתיהן ל־[math]\displaystyle{ L=1 }[/math]. בפס שמתחת לגרף כל שורה מציגה את קבוצת המקומות של אחת מתתי-הסדרות (ריבוע מלא: המקום [math]\displaystyle{ n }[/math] שייך לקבוצה). בכל עמודה יש ריבוע מלא, כלומר תתי-הסדרות מכסות את הסדרה, ולכן [math]\displaystyle{ x_n\to1 }[/math]. מימין: הסדרה מדוגמה 2, [math]\displaystyle{ a_n=5 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ n }[/math] מתחלק ב־[math]\displaystyle{ 2 }[/math] או ב־[math]\displaystyle{ 3 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ a_n=7 }[/math] אחרת. תתי-הסדרות [math]\displaystyle{ a_{2n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{3n} }[/math] קבועות ושוות ל־[math]\displaystyle{ 5 }[/math], אבל הן אינן מכסות את הסדרה: בעמודות [math]\displaystyle{ 1,5,7,11 }[/math] אין ריבוע מלא (ובהמשך הסדרה גם [math]\displaystyle{ 13,17,19,\dots }[/math]), ובמקומות האלה [math]\displaystyle{ a_n=7 }[/math] (העיגולים האדומים). לכן אי אפשר להסיק ש [math]\displaystyle{ a_n\to5 }[/math], ואכן לסדרה אין גבול.](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c2-19.png)