תתי סדרות, גבול עליון וסדרות קושי - תרגילים עם פתרונות (אינפי 1)
הופריכו = הוכיחו או הפריכו: קבעו אם הטענה נכונה, ואז הוכיחו אותה או תנו דוגמה נגדית. מספרי התרגילים הם כמו בקובץ ה-PDF של האוסף.
חומר עיוני: תת-סדרות וגבולות חלקיים · גבול עליון וגבול תחתון · סדרות קושי · משפט בולצאנו-ויירשטראס
תרגיל 65: גבול חד-צדדי וחסימות הנגזרת
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה וחסומה ב[math]\displaystyle{ \left( a,b \right] }[/math], גזירה ב[math]\displaystyle{ (a,b) }[/math], כך שהגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {a}^{+}}{f(x)} }[/math]אינו קיים, הופריכו: [math]\displaystyle{ f' }[/math] אינה חסומה ב[math]\displaystyle{ (a,b) }[/math].
הוכחה: כיוון שהגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {a}^{+}}{f(x)} }[/math]לא קיים, ישנן שתי סדרות [math]\displaystyle{ a<{a}_{n},{b}_{n}\to a }[/math] כך ש
- [math]\displaystyle{ \lim {f\left( {a}_{n} \right)}\ne \lim {f\left( {b}_{n} \right)} }[/math]
ניקח גבולות חלקיים שונים [math]\displaystyle{ K\ne M }[/math]
- [math]\displaystyle{ f\left( {a}_{{k}_{n}} \right)\to K }[/math]
- [math]\displaystyle{ f\left( {b}_{{m}_{n}} \right)\to M }[/math]
וכיוון שהפונקציה חסומה בקטע הגבולות הם סופיים [math]\displaystyle{ M,K\in \mathbb{R} }[/math].
ברור שהחל משלב מסויים [math]\displaystyle{ {a}_{{k}_{n}}\ne {b}_{{m}_{n}} }[/math] אחרת הגבולות היו שווים.
נביט בקטעים הסגורים שבין [math]\displaystyle{ {a}_{{k}_{n}},{b}_{{m}_{n}} }[/math] בהם מתקיימים תנאי משפט לגראנז' כיוון שהפונקציה רציפה ב[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] וגזירה ב[math]\displaystyle{ (a,b) }[/math].
נפעיל את משפט לגראנז' על כל קטע ונקבל סדרת נקודות:
- [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( {c}_{n} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{f\left( {a}_{{k}_{n}} \right)-f\left( {b}_{{m}_{n}} \right)}{{a}_{{k}_{n}}-{b}_{{m}_{n}}} }[/math]
כעת
- [math]\displaystyle{ \left| {f}^{'}\left( {c}_{n} \right) \right| }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left| \frac{f\left( {a}_{{k}_{n}} \right)-f\left( {b}_{{m}_{n}} \right)}{{a}_{{k}_{n}}-{b}_{{m}_{n}}} \right| }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left\{ \frac{\left| K-M \right|}{{0}^{+}} \right\}\to \infty }[/math]
ואכן הוכחנו שהנגזרת אינה חסומה.
תרגיל 66: גבול עליון ותחתון: סדרה כמעט עולה
תהי סדרה חסומה [math]\displaystyle{ {a}_{n} }[/math] המקיימת לכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] כי [math]\displaystyle{ {a}_{n+1}\ge {a}_{n}-\frac{1}{{2}^{n}} }[/math], הופריכו: [math]\displaystyle{ {a}_{n} }[/math] מתכנסת לגבול סופי.
הוכחה: איל וולך הציע פתרון יפה שאציג כאן, לאחריו מופיע הפתרון המקורי שחיברתי בעצמי (ארוך ומתיש).
הפתרון היפה של איל וולך:
נגדיר סדרת עזר [math]\displaystyle{ {b}_{n}={a}_{n}-\frac{1}{{2}^{n-1}} }[/math]. כיוון ש[math]\displaystyle{ {a}_{n} }[/math] חסומה, וכיוון ש [math]\displaystyle{ 0<\frac{1}{{2}^{n-1}}\le 1 }[/math] גם [math]\displaystyle{ {b}_{n} }[/math] חסומה.
נוסף על כך, נשים לב כי
- [math]\displaystyle{ {b}_{n+1}-{b}_{n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left( {a}_{n+1}-\frac{1}{{2}^{n}} \right)-\left( {a}_{n}-\frac{1}{{2}^{n-1}} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ ={a}_{n+1}-{a}_{n}-\frac{1}{{2}^{n}}+\frac{1}{{2}^{n-1}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ ={a}_{n+1}-{a}_{n}+\frac{-1+2}{{2}^{n}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ ={a}_{n+1}-\left( {a}_{n}-\frac{1}{{2}^{n} } \right)\ge 0 }[/math]
כאשר המעבר האחרון נכון לפי הנתון.
מכאן הסדרה [math]\displaystyle{ {b}_{n} }[/math] מונוטונית עולה, וראינו שהיא חסומה, ולכן היא מתכנסת לגבול סופי.
לבסוף
- [math]\displaystyle{ {a}_{n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ ={a}_{n}-\frac{1}{{2}^{n-1}}+\frac{1}{{2}^{n-1}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ ={b}_{n}+\frac{1}{{2}^{n-1}} }[/math]
וכיוון ש [math]\displaystyle{ \frac{1}{{2}^{n-1}}\to 0 }[/math] נובע כי גם [math]\displaystyle{ {a}_{n} }[/math] מתכנסת לאותו גבול כמו [math]\displaystyle{ {b}_{n} }[/math].
הפתרון הארוך והמתיש שלי:
כיוון שהסדרה חסומה יש לה גבול עליון וגבול תחתון סופיים. נב"ש שהם שונים.
יהיו [math]\displaystyle{ m>n }[/math] אזי
- [math]\displaystyle{ {a}_{m}-{a}_{n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ ={a}_{m}-{a}_{m-1}+{a}_{m-1}+\ldots+{a}_{n+1}-{a}_{n}\ge-\frac{1}{{2}^{m-1}}-\frac{1}{{2}^{m-2}}-\ldots-\frac{1}{{2}^{n}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =-\frac{1}{{2}^{n}}\left( \frac{1}{{2}^{m-1-n}}+\ldots+1 \right) }[/math]
כעת סכום סדרה הנדסית חיובית סופית קטן מסכום הסדרה האינסופית:
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{{2}^{m-1-n}}+\ldots+1<\sum_{k=0}^{\infty}{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{k}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{1}{1-\frac{1}{2}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =2 }[/math]
לכן
- [math]\displaystyle{ {a}_{m}-{a}_{n}>-\frac{2}{{2}^{n}}=-\frac{1}{{2}^{n-1}} }[/math]
נסמן
- [math]\displaystyle{ \varepsilon=\overline{\lim}{{a}_{n}}-\underline{\lim}{{a}_{n}}>0 }[/math]
כעת כיוון ש [math]\displaystyle{ \frac{1}{{2}^{n-1}}\to 0 }[/math] קיים מקום [math]\displaystyle{ {K}_{1} }[/math] אחריו לכל [math]\displaystyle{ n>{K}_{1} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ \frac{1}{{2}^{n-1}}<\frac{\varepsilon}{3} }[/math]
ולכן לכל [math]\displaystyle{ m>n>K_1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ {a}_{m}-{a}_{n}>-\frac{\varepsilon}{3} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ {a}_{n}-{a}_{m}<\frac{\varepsilon}{3} }[/math].
יש תת סדרה השואפת לגבול העליון, ולכן קיים [math]\displaystyle{ {K}_{2} }[/math] אחריו איברי תת סדרה גדולים מ[math]\displaystyle{ \overline{\lim}{{a}_{n}}-\frac{\varepsilon}{3} }[/math]
באופן דומה יש תת סדרה השואפת לגבול התחתון ולכן קיים [math]\displaystyle{ {K}_{3} }[/math] אחריו איברי תת הסדרה קטנים [math]\displaystyle{ \underline{\lim}{{a}_{n}}+\frac{\varepsilon}{3} }[/math]
נסמן [math]\displaystyle{ K=\max \{{K}_{1},{K}_{2},{K}_{3}\} }[/math] ניקח איבר [math]\displaystyle{ {a}_{n} }[/math] מתת הסדרה השואפת לגבול העליון, כך ש [math]\displaystyle{ n>K }[/math].
ניקח איבר [math]\displaystyle{ {a}_{m} }[/math] מתת הסדרה השואפת לגבול התחתון כך ש [math]\displaystyle{ m>n }[/math].
סה"כ
- [math]\displaystyle{ \overline{\lim}{{a}_{n}}-\frac{\varepsilon}{3}<{a}_{n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ {a}_{m}<\underline{\lim}{{a}_{n}}+\frac{\varepsilon}{3} }[/math]
ולכן
- [math]\displaystyle{ {a}_{n}-{a}_{m}>\overline{\lim}{{a}_{n}}-\frac{\varepsilon}{3}-\left( \underline{\lim}{{a}_{n}}+\frac{\varepsilon}{3} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\overline{\lim}{{a}_{n}}-\underline{\lim}{{a}_{n}}-\frac{2\varepsilon}{3} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\varepsilon-\frac{2\varepsilon}{3} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{\varepsilon}{3} }[/math]
בסתירה לכך ש
- [math]\displaystyle{ {a}_{n}-{a}_{m}<\frac{\varepsilon}{3} }[/math]
תרגיל 67: העתקה מכווצת וסדרת קושי
יהי [math]\displaystyle{ 0<K<1 }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] המקיימת לכל [math]\displaystyle{ {x}_{1},{x}_{2}\in \mathbb{R} }[/math] כי [math]\displaystyle{ \left| f\left( {x}_{1} \right)-f\left( {x}_{2} \right) \right|\le K|{x}_{1}-{x}_{2}| }[/math].
תהי סדרה המקיימת [math]\displaystyle{ {a}_{n+1}=f\left( {a}_{n} \right) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math]. הוכיחו כי הסדרה מתכנסת [math]\displaystyle{ {a}_{n}\to c\in \mathbb{R} }[/math] וכן כי [math]\displaystyle{ f\left( c \right)=c }[/math].
הוכחה: נראה כי מדובר בסדרת קושי ולכן היא מתכנסת.
- [math]\displaystyle{ \left| {a}_{3}-{a}_{2} \right| }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left| f\left( {a}_{2} \right)-f\left( {a}_{1} \right) \right|\le K|{a}_{2}-{a}_{1}| }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left| {a}_{4}-{a}_{3} \right| }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left| f\left( {a}_{3} \right)-f\left( {a}_{2} \right) \right|\le K\left| {a}_{3}-{a}_{2} \right|\le {K}^{2}|{a}_{2}-{a}_{1}| }[/math]
ניתן להוכיח באינדוקציה כי לכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] מתקיים כי
- [math]\displaystyle{ \left| {a}_{n+1}-{a}_{n} \right|\le {K}^{n-1}|{a}_{2}-{a}_{1}| }[/math]
כעת, יהיו [math]\displaystyle{ m>n }[/math] מתקיים כי
- [math]\displaystyle{ \left| {a}_{m}-{a}_{n} \right| }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left| {a}_{m}-{a}_{m-1}+{a}_{m-1}+\ldots+{a}_{n+1}-{a}_{n} \right|\le \left| {a}_{m}-{a}_{m-1} \right|+\ldots+\left| {a}_{n+1}-{a}_{n} \right|\le }[/math]
- [math]\displaystyle{ \le {K}^{m-2}\left| {a}_{2}-{a}_{1} \right|+\ldots+{K}^{n-1}\left| {a}_{2}-{a}_{1} \right| }[/math]
- [math]\displaystyle{ ={K}^{n-1}\left| {a}_{2}-{a}_{1} \right|\left( {K}^{m-n-1}+\ldots+1 \right) }[/math]
כעת סכום סדרה הנדסית חיובית סופית קטן מסכום הסדרה האינסופי
- [math]\displaystyle{ {K}^{m-n-1}+\ldots+1<\sum_{k=0}^{\infty}{{K}^{k}}=\frac{1}{1-K} }[/math]
הטור ההנדסי מתכנס הרי [math]\displaystyle{ 0<K<1 }[/math]. לכן סה"כ
- [math]\displaystyle{ \left| {a}_{m}-{a}_{n} \right|\le \frac{{K}^{n-1}}{1-K}\left| {a}_{2}-{a}_{1} \right|\to 0 }[/math]
הגבול שואף לאפס, שוב כיוון ש [math]\displaystyle{ 0<K<1 }[/math].
לכן קיים מקום [math]\displaystyle{ N }[/math] אחריו לכל [math]\displaystyle{ n>N }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ \frac{{K}^{n-1}}{1-K}\left| {a}_{2}-{a}_{1} \right|<\varepsilon }[/math]
ובפרט לכל [math]\displaystyle{ m>n>N }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ \left| {a}_{m}-{a}_{n} \right|<\varepsilon }[/math]
כלומר הוכחנו כי [math]\displaystyle{ {a}_{n} }[/math] היא סדרת קושי, ולכן מתכנסת לגבול סופי שנסמנו [math]\displaystyle{ c\in \mathbb{R} }[/math]
כעת נשאיף את שני צידי נוסחת הנסיגה
- [math]\displaystyle{ c=\lim {{a}_{n+1}}=\lim {f\left( {a}_{n} \right)} }[/math]
נביט בהפרש
- [math]\displaystyle{ \left| f\left( c \right)-f\left( {a}_{n} \right) \right|\le K\left| c-{a}_{n} \right|\to 0 }[/math]
ולכן
- [math]\displaystyle{ f\left( c \right)-f\left( {a}_{n} \right)\to 0 }[/math]
מצד שני
- [math]\displaystyle{ f\left( c \right)-f\left( {a}_{n} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =f\left( c \right)-{a}_{n+1}\to f\left( c \right)-c }[/math]
לפי יחידות הגבול נובע כי
- [math]\displaystyle{ f\left( c \right)-c=0 }[/math]
כפי שרצינו.
תרגיל 68: סדרה שאינה סדרת קושי
תהי סדרה [math]\displaystyle{ {a}_{n} }[/math] כך שקיימים [math]\displaystyle{ \varepsilon >0 }[/math] ו[math]\displaystyle{ K\in \mathbb{N} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ m>n>K }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ \left| {a}_{m}-{a}_{n} \right|\ge \varepsilon }[/math], הופריכו: [math]\displaystyle{ |{a}_{n}|\to \infty }[/math].
הוכחה: כיוון ש[math]\displaystyle{ \left| {a}_{n} \right|\ge 0 }[/math] הגבולות החלקיים שלה אינם שליליים, ובוודאי [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] אינו גבול חלקי.
לכן אם [math]\displaystyle{ |{a}_{n}|\not\to \infty }[/math] אזי יש לה גבול חלקי סופי, נב"ש שזה המצב.
תהי תת סדרה המתכנסת לגבול סופי
- [math]\displaystyle{ {a}_{{k}_{n}}\to L\in \mathbb{R} }[/math]
קיים מקום [math]\displaystyle{ N }[/math] שאחריו לכל [math]\displaystyle{ n>N }[/math] מתקיים כי
- [math]\displaystyle{ \left| {a}_{{k}_{n}}-L \right|<\frac{\varepsilon}{2} }[/math]
ניקח [math]\displaystyle{ n>\max \{N,K\} }[/math] ולכן
- [math]\displaystyle{ \left| {a}_{{k}_{n}}-L \right|<\frac{\varepsilon}{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left| {a}_{{k}_{n+1}}-L \right|<\frac{\varepsilon}{2} }[/math]
וכיוון ש [math]\displaystyle{ {a}_{{k}_{n}},{a}_{{k}_{n+1}}\in \left( L-\frac{\varepsilon}{2},L+\frac{\varepsilon}{2} \right) }[/math]. נובע כי
- [math]\displaystyle{ \left| {a}_{{k}_{n+1}}-{a}_{{k}_{n}} \right|<\varepsilon }[/math]
בסתירה לנתון, הרי [math]\displaystyle{ {k}_{n+1}>{k}_{n}>n>K }[/math].
תרגיל 69: סדרה רקורסיבית ותתי סדרות
תהי סדרה כך ש[math]\displaystyle{ {a}_{1}=0 }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ {a}_{n+1}=\frac{2}{1+{a}_{n}} }[/math]. הוכיחו כי הסדרה מתכנסת וחשבו את גבולה.
פתרון –
מבט זריז באיברי הסדרה הראשונים [math]\displaystyle{ 0,2,\frac{2}{3},\frac{6}{5},\frac{10}{11}, \ldots }[/math] מעלה את הרעיון לחלק את הסדרה לשתי תתי סדרות מונוטוניות.
ראשית, נביע איבר בסדרה בעזרת הקודם-קודם לו.
לכל [math]\displaystyle{ n>1 }[/math] מתקיים כי:
- [math]\displaystyle{ {a}_{n+1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{2}{1+{a}_{n}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{2}{1+\frac{2}{1+{a}_{n-1}}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{2}{\left( \frac{1+{a}_{n-1}+2}{1+{a}_{n-1}} \right)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{2+2{a}_{n-1}}{3+{a}_{n-1}} }[/math]
כעת נבחן את ההפרש בין איבר לאיבר הקודם קודם לו:
- [math]\displaystyle{ {a}_{n+1}-{a}_{n-1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{2+2{a}_{n-1}}{3+{a}_{n-1}}-{a}_{n-1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{2+2{a}_{n-1}-3{a}_{n-1}-{a}_{n-1}^{2}}{3+{a}_{n-1}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{-{a}_{n-1}^{2}-{a}_{n-1}+2}{3+{a}_{n-1}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{-\left( {a}_{n-1}+2 \right)\left( {a}_{n-1}-1 \right)}{3+{a}_{n-1}} }[/math]
קל להוכיח באינדוקציה כי איברי הסדרה אי שליליים, ולכן איבר גדול מהקודם קודם לו אם ורק אם הוא קטן מ1, וקטן מהקודם קודם לו אם ורק אם הוא גדול מ1.
נוכיח כי לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ {a}_{2n-1}<1 }[/math] ולכן מדובר בתת סדרה מונוטונית עולה (וחסומה מלעיל ע"י 1) ולכן מתכנסת לגבול סופי (שנחשב בהמשך).
כמו כן נוכיח כי לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ {a}_{2n}>1 }[/math] ולכן מדובר בתת סדרה מונוטונית יורדת (וחסומה מלרע ע"י 1) ולכן מתכנסת גם היא לגבול סופי (שנחשב בהמשך).
נעזר באינדוקציה:
- [math]\displaystyle{ {a}_{1}=0<1 }[/math]
יהי [math]\displaystyle{ n }[/math] עבורו [math]\displaystyle{ {a}_{2n-1}<1 }[/math] נוכיח כי [math]\displaystyle{ {a}_{2n+1}<1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ {a}_{2n+1}=\frac{2+2{a}_{2n-1}}{3+{a}_{2n-1}} }[/math]
נפתור את אי השיוויון
- [math]\displaystyle{ \frac{2+2{a}_{2n-1}}{3+{a}_{2n-1}}<1 }[/math]
נכפול במכנה החיובי
- [math]\displaystyle{ 2+2{a}_{2n-1}<3+{a}_{2n-1} }[/math]
זה נכון אם ורק אם
- [math]\displaystyle{ {a}_{2n-1}<1 }[/math]
וזו בדיוק הנחת האינדוקציה.
באופן דומה ניתן להוכיח באינדוקציה כי [math]\displaystyle{ {a}_{2n}>1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math].
כעת שתי תתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות לגבולות סופיים.
נסמן [math]\displaystyle{ {a}_{2n+1}\to L }[/math] חשב את גבול שני צידי נוסחאת הנסיגה
- [math]\displaystyle{ {a}_{2n+1}=\frac{2+2{a}_{2n-1}}{3+{a}_{2n-1}} }[/math]
ונקבל כי
- [math]\displaystyle{ L=\frac{2+2L}{3+L} }[/math]
(כיוון שהסדרה אי שלילית הגבול אינו שלילי ואין סכנה של חלוקה באפס)
- [math]\displaystyle{ 3L+{L}^{2}=2+2L }[/math]
- [math]\displaystyle{ {L}^{2}+L-2=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left( L+2 \right)\left( L-1 \right)=0 }[/math]
כאמור, הגבול אינו שלילי ולכן בהכרח [math]\displaystyle{ L=1 }[/math].
באופן דומה לחלוטין נובע כי [math]\displaystyle{ {a}_{2n}\to 1 }[/math]
לכן הן תת הסדרה במקומות האי-זוגיים והן תת הסדרה במקומות הזוגיים שואפות ל1. כיוון שמדובר במספר סופי של תתי סדרות המכילות את כל איברי הסדרה ושואפות לאותו גבול נובע כי זה גבול הסדרה.
כלומר הוכחנו ש [math]\displaystyle{ {a}_{n}\to 1 }[/math].
תרגיל 70: סנדוויץ' עם גבול עליון ותחתון
תהיינה שלוש סדרות כך שלכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ {a}_{n}\le {b}_{n}\le {c}_{n} }[/math]. עוד נניח כי [math]\displaystyle{ \liminf {a}_{n}=\limsup {c}_{n}=L }[/math].
הופריכו: [math]\displaystyle{ {b}_{n}\to L }[/math].
הוכחה: יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon >0 }[/math]
כיוון ש [math]\displaystyle{ \underline{\lim}{{a}_{n}}=L }[/math] קיים מקום [math]\displaystyle{ {K}_{1} }[/math] שאחריו לכל [math]\displaystyle{ n>{K}_{1} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ {a}_{n}>L-\varepsilon }[/math]
(אחרת היו אינסוף איברי סדרה שקטנים מ[math]\displaystyle{ L-\varepsilon }[/math] ומתוכם היה מתקבל גבול חלקי שקטן מהגבול התחתון בסתירה).
באופן דומה, כיוון ש [math]\displaystyle{ \overline{\lim}{{c}_{n}}=L }[/math] קיים מקום [math]\displaystyle{ {K}_{2} }[/math] שאחריו לכל [math]\displaystyle{ n>{K}_{2} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ {c}_{n}<L+\varepsilon }[/math]
נבחר [math]\displaystyle{ K=\max {\left\{ {K}_{1},{K}_{2} \right\}} }[/math] ואחריו לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים כי
- [math]\displaystyle{ L-\varepsilon <{a}_{n}\le {b}_{n}\le {c}_{n}<L+\varepsilon }[/math]
ולכן הוכחנו כי [math]\displaystyle{ {b}_{n}\to L }[/math] לפי ההגדרה.
תרגיל 71: חסימות של פונקציה רציפה עם גבולות באינסוף
תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] רציפה בכל הממשיים, כך שהגבולות [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}{f(x)} }[/math], [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \left( -\infty \right)}{f(x)} }[/math]קיימים וסופיים. הופריכו: [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה.
הוכחה:
נב"ש שהפונקציה אינה חסומה מלעיל (הוכחה עבור חסם מלרע דומה).
לכן לכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] קיימת נקודה [math]\displaystyle{ {x}_{n}\in \mathbb{R} }[/math] כך ש
- [math]\displaystyle{ f\left( {x}_{n} \right)>n }[/math]
לכן לפי חצי סנדוויץ' מתקיים כי
- [math]\displaystyle{ \lim {f({x}_{n})}=\infty }[/math]
ניקח תת סדרה של [math]\displaystyle{ {x}_{n} }[/math] המתכנסת במובן הרחב לגבול סופי או אינסוף
- [math]\displaystyle{ {x}_{{k}_{n}}\to L }[/math]
אם [math]\displaystyle{ L\in \mathbb{R} }[/math] סופי אזי כיוון שהפונקציה רציפה ב[math]\displaystyle{ x=L }[/math] מתקיים כי
- [math]\displaystyle{ f\left( {x}_{{k}_{n}} \right)\to f\left( L \right) }[/math]
בסתירה לכך ש
- [math]\displaystyle{ f\left( {x}_{{k}_{n}} \right)\to \infty }[/math]
כמו כן, אם [math]\displaystyle{ L=\infty }[/math]
כיוון שנתון שהגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}{f(x)} }[/math] קיים וסופי, [math]\displaystyle{ f\left( {x}_{{k}_{n}} \right) }[/math] שואפת אליו ולא לאינסוף בסתירה.
כמובן שאם [math]\displaystyle{ L=-\infty }[/math] אנחנו מקבלים סתירה באופן דומה, הרי גם שם הגבול סופי.
Yeet.
תרגילים בנושאים נוספים
- סדרות וגבולות (8 תרגילים)
- גבולות ורציפות של פונקציות (16 תרגילים)
- משפט ערך הביניים ומשפט ויירשטראס (15 תרגילים)
- נגזרת (10 תרגילים)
- משפט רול ולגראנז' ומונוטוניות (6 תרגילים)
- קמירות וקעירות (9 תרגילים)
- כל תרגילי ההכנה למבחן · קובץ ה-PDF של האוסף · מבחנים ובחנים עם פתרונות · דף הקורס