סדרות וגבולות - תרגילים עם פתרונות (אינפי 1)
הופריכו = הוכיחו או הפריכו: קבעו אם הטענה נכונה, ואז הוכיחו אותה או תנו דוגמה נגדית. מספרי התרגילים הם כמו בקובץ ה-PDF של האוסף.
חומר עיוני: הגדרת הגבול של סדרה · משפט הסנדוויץ' · סדרות מונוטוניות · אי-שוויון הממוצעים · כלל ה-e · חשבון אינפיניטיסימלי 1/פרק 2 - סדרות
תרגיל 1: בניית סדרה ששואפת לאפס
הופריכו: קיימת סדרה [math]\displaystyle{ {a}_{n} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ {a}_{n}\to 0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}^{2}}\to 0 }[/math].
הוכחה: נגדיר סדרה [math]\displaystyle{ {a}_{1}=1 }[/math], [math]\displaystyle{ {a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}^{2}}{n} }[/math].
ברור ש [math]\displaystyle{ \frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}^{2}}=\frac{1}{n}\to 0 }[/math] נותר להוכיח כי [math]\displaystyle{ {a}_{n}\to 0 }[/math].
קל להוכיח באינדוקציה כי לכל n מתקיים כי [math]\displaystyle{ {0\le a}_{n}\le 1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ |{a}_{n+1}|=\frac{{a}_{n}^{2}}{n}\le \frac{1}{n}\to 0 }[/math] ולפי חצי סנדוויץ' על הרצפה מתקיים כי [math]\displaystyle{ {a}_{n+1}\to 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ {a}_{n}\to 0 }[/math].
תרגיל 2: בניית סדרה ששואפת לאפס
הופריכו: קיימת סדרה [math]\displaystyle{ {a}_{n} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ {a}_{n}\to 0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \frac{{a}_{n}^{2}}{{a}_{n+1}}\to 0 }[/math].
הוכחה: הסדרה [math]\displaystyle{ {a}_{n}=\frac{1}{n} }[/math] שואפת לאפס ומתקיים כי
- [math]\displaystyle{ \frac{{a}_{n}^{2}}{{a}_{n+1}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{\frac{1}{{n}^{2}}}{\frac{1}{n+1}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{n+1}{{n}^{2}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{1}{n}+\frac{1}{{n}^{2}}\to 0 }[/math]
תרגיל 3: גבול ומנת איברים עוקבים
תהי סדרה [math]\displaystyle{ {a}_{n} }[/math] המקיימת כי [math]\displaystyle{ \left( {a}_{n+1}^{2}-{a}_{n}^{2} \right)\to 0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}\to 1 }[/math], הופריכו: [math]\displaystyle{ {a}_{n} }[/math] מתכנסת לגבול סופי.
הפרכה: נביט בסדרה [math]\displaystyle{ {a}_{n}=\ln (n) }[/math] ששואפת לאינסוף.
- [math]\displaystyle{ {a}_{n+1}^{2}-{a}_{n}^{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left( {a}_{n+1}-{a}_{n} \right)\left( {a}_{n+1}+{a}_{n} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left( \ln {\left( n+1 \right)}-\ln {\left( n \right)} \right)\left( \ln {\left( n+1 \right)}+\ln {\left( n \right)} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\ln {\left( \frac{n+1}{n} \right)}\ln {\left( \left( n+1 \right)n \right)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\ln {\left( {\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{\ln {\left( {n}^{2}+n \right)}} \right)} }[/math]
כעת נחשב את הגבול בתוך הלוג לפי כלל הe:
- [math]\displaystyle{ {\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{\ln {\left( {n}^{2}+n \right)}}\to {e}^{\lim {\left( \ln {\left( {n}^{2}+n \right)}\left( 1+\frac{1}{n}-1 \right) \right)}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ ={e}^{0} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =1 }[/math]
כיוון ש
- [math]\displaystyle{ \ln {\left( {n}^{2}+n \right)}\left( 1+\frac{1}{n}-1 \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{\ln {\left( n \right)}+\ln {\left( n+1 \right)}}{n}\to 0 }[/math]
ולכן
- [math]\displaystyle{ {a}_{n+1}^{2}-{a}_{n}^{2}\to \ln {\left( 1 \right)}=0 }[/math]
כעת
- [math]\displaystyle{ \frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{\ln {\left( n+1 \right)}}{\ln {\left( n \right)}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{\ln {\left( n\left( 1+\frac{1}{n} \right) \right)}}{\ln {\left( n \right)}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{\ln {\left( n \right)}+\ln {\left( 1+\frac{1}{n} \right)}}{\ln {\left( n \right)}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =1+\frac{\ln {\left( 1+\frac{1}{n} \right)}}{\ln {\left( n \right)}}\to 1 }[/math]
תרגיל 4: אי-שוויון רקורסיבי והתכנסות
תהי סדרה [math]\displaystyle{ {a}_{n}>0 }[/math] המקיימת לכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] כי [math]\displaystyle{ {a}_{n}^{2}\le {a}_{n}-{a}_{n+1} }[/math], הופריכו: הסדרה מתכנסת לגבול סופי.
הוכחה:
- [math]\displaystyle{ {a}_{n+1}-{a}_{n}\le-{a}_{n}^{2}\le 0 }[/math]
לכן מדובר בסדרה מונוטונית יורדת, וכיוון שהיא חיובית היא חסומה מלרע ע"י אפס ולכן מתכנסת למספר סופי.
תרגיל 5: אי-שוויון רקורסיבי וקצב ההתכנסות
תהי סדרה [math]\displaystyle{ {a}_{n}>0 }[/math] המקיימת לכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] כי [math]\displaystyle{ {a}_{n}^{2}\le {a}_{n}-{a}_{n+1} }[/math], הופריכו: לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ {a}_{n}<\frac{1}{n} }[/math], וכן [math]\displaystyle{ {a}_{n}\to 0 }[/math].
הוכחה: נוכיח באינדוקציה.
ראשית, עבור [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] צ"ל כי [math]\displaystyle{ {a}_{1}<1 }[/math]
נב"ש (נניח בשלילה) כי [math]\displaystyle{ {a}_{1}\ge 1 }[/math]. נעביר אגף בנתון [math]\displaystyle{ {a}_{1}^{2}\le {a}_{1}-{a}_{2} }[/math] ונקבל:
- [math]\displaystyle{ {a}_{1}^{2}-{a}_{1}\le-{a}_{2} }[/math]
אבל
- [math]\displaystyle{ {a}_{1}^{2}-{a}_{1}={a}_{1}\left( {a}_{1}-1 \right)\ge 0>-{a}_{2} }[/math]
בסתירה.
בהנתן [math]\displaystyle{ n }[/math] עבורו [math]\displaystyle{ {a}_{n}<\frac{1}{n} }[/math] נוכיח כי [math]\displaystyle{ {a}_{n+1}<\frac{1}{n+1} }[/math]
מהנתון ע"י העברת אגפים נקבל כי
- [math]\displaystyle{ {a}_{n+1}\le {a}_{n}-{a}_{n}^{2} }[/math]
המקסימום של של הפרבולה הבוכה [math]\displaystyle{ x-{x}^{2} }[/math] הוא בקודקוד [math]\displaystyle{ x=\frac{1}{2} }[/math] והוא שווה ל[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{2}}=\frac{1}{4} }[/math].
לכן עבור [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] מקבלים כי [math]\displaystyle{ {a}_{2}\le \frac{1}{4}<\frac{1}{2} }[/math]
עבור [math]\displaystyle{ n\ge 2 }[/math] המקסימום של הפרבולה הבוכה [math]\displaystyle{ x-{x}^{2} }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ \left[ 0,\frac{1}{n} \right] }[/math] הוא בנקודה [math]\displaystyle{ x=\frac{1}{n} }[/math]
(הרי קודקוד הפרבולה ב[math]\displaystyle{ x=\frac{1}{2} }[/math] והיא חותכת את הציר ב[math]\displaystyle{ x=0,1 }[/math])
לכן כיוון ש [math]\displaystyle{ 0<{a}_{n}<\frac{1}{n} }[/math] נובע כי
- [math]\displaystyle{ {a}_{n}-{a}_{n}^{2}<\frac{1}{n}-\frac{1}{{n}^{2}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{n-1}{{n}^{2}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)}{{n}^{2}\left( n+1 \right)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{{n}^{2}-1}{{n}^{2}\left( n+1 \right)}<\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}\left( n+1 \right)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{1}{n+1} }[/math]
תרגיל 6: משפט הסנדוויץ'
תהיינה שלוש סדרות המקיימות לכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] כי [math]\displaystyle{ {a}_{n}\le {b}_{n}\le {c}_{n} }[/math], כך ש [math]\displaystyle{ {c}_{n}-{a}_{n}\to 0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ {b}_{n}\to L }[/math], הופריכו: [math]\displaystyle{ {a}_{n},{c}_{n}\to L }[/math].
הוכחה: ראשית נחסיר [math]\displaystyle{ {a}_{n} }[/math] משלושת אגפי אי השיוויון ונקבל כי
- [math]\displaystyle{ 0\le {b}_{n}-{a}_{n}\le {c}_{n}-{a}_{n} }[/math]
ולכן לפי כלל הסנדוויץ' נקבל כי
- [math]\displaystyle{ {b}_{n}-{a}_{n}\to 0 }[/math]
ולכן גם
- [math]\displaystyle{ {b}_{n}-{c}_{n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left( {b}_{n}-{a}_{n} \right)+\left( {a}_{n}-{c}_{n} \right)\to 0 }[/math]
לכן
- [math]\displaystyle{ {a}_{n}-L={a}_{n}-{b}_{n}+{b}_{n}-L\to 0 }[/math]
ומכאן [math]\displaystyle{ {a}_{n}\to L }[/math] ובאופן דומה אפשר להראות כי [math]\displaystyle{ {c}_{n}\to L }[/math].
תרגיל 7: סדרה רקורסיבית: התכנסות וגבול
תהי סדרה כך ש [math]\displaystyle{ {a}_{1}=2 }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ {a}_{n+1}=\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}+4} }[/math], הוכיחו כי הסדרה מתכנסת וחשבו את גבולה.
פתרון –
ראשית נחקור מה ניתן לומר אם נניח שהסדרה מתכנסת. זה יעזור לנו להחליט מה אנחנו מעוניינים להוכיח, ולאחר מכן נעשה זאת.
אם הסדרה מתכנסת, נסמן [math]\displaystyle{ {a}_{n}\to L }[/math] ולכן כמובן [math]\displaystyle{ {a}_{n+1}\to L }[/math] ונחשב את הגבול של שני צידי נוסחאת הנסיגה:
- [math]\displaystyle{ \lim {{a}_{n+1}}=\lim {\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}+4}} }[/math]
ונקבל כי
- [math]\displaystyle{ L=\frac{2L-1}{L+4} }[/math]
- [math]\displaystyle{ {L}^{2}+4L=2L-1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ {\left( L+1 \right)}^{2}=0 }[/math]
כלומר עד כה הוכחנו בלבד שאם יש גבול, אזי הוא [math]\displaystyle{ L=-1 }[/math].
כעת נבדוק האם הסדרה מונוטונית וחסומה, אם כן זה יוכיח שיש לה גבול סופי, ולפי מה שראינו עד עכשיו אנו נדע מהו.
- [math]\displaystyle{ {a}_{n+1}-{a}_{n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}+4}-{a}_{n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{2{a}_{n}-1-{a}_{n}^{2}-4{a}_{n}}{{a}_{n}+4} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =-\frac{{\left( {a}_{n}+1 \right)}^{2}}{{a}_{n}+4} }[/math]
אם לכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ {a}_{n}>-1 }[/math], נובע כי [math]\displaystyle{ {a}_{n}+4>3 }[/math] ולכן ההפרש שלילי והסדרה מונוטונית יורדת.
נוכיח זאת באינדוקציה.
עבור [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ {a}_{1}=2>-1 }[/math]
בהנתן [math]\displaystyle{ n }[/math] עבורו [math]\displaystyle{ {a}_{n}>-1 }[/math] מתקיים כי
- [math]\displaystyle{ {a}_{n}+4>3 }[/math]
- [math]\displaystyle{ {a}_{n+1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}+4} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{2{a}_{n}+8-8-1}{{a}_{n}+4} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =2-\frac{9}{{a}_{n}+4}>2-\frac{9}{3} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =-1 }[/math]
הוכחנו ש[math]\displaystyle{ {a}_{n}>-1 }[/math] מכאן נובע באופן ישיר שהיא חסומה מלרע, ובאופן עדיף שהיא מונוטונית יורדת לפי החישובים לעיל. לכן הסדרה מונוטונית וחסומה ומתכנסת לגבול סופי. הראנו שאם היא מתכנסת לגבול סופי הגבול הוא מינוס אחד.
לכן סה"כ [math]\displaystyle{ {a}_{n}\to-1 }[/math]
תרגיל 8: סדרות הממוצע החשבוני-הנדסי
יהיו [math]\displaystyle{ {a}_{1},{b}_{1}>0 }[/math] ונגדיר זוג סדרות ע"י [math]\displaystyle{ {a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ {b}_{n+1}=\sqrt{{a}_{n}{b}_{n}} }[/math]. הוכיחו כי שתי הסדרות מתכנסות לגבול סופי. בנוסף, הופריכו: [math]\displaystyle{ \lim {{a}_{n}}=\lim {b}_{n} }[/math].
בנוסף, הופריכו: [math]\displaystyle{ \lim {{a}_{n}}=\lim {b}_{n} }[/math].
הוכחה:
ראשית קל להוכיח כי איברי שתי הסדרות חיוביים. כעת לפי אי שיוויון הממוצעים לכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] מתקיים:
- [math]\displaystyle{ {b}_{n+1}\le {a}_{n+1} }[/math]
הרי הממוצע הגאומטרי תמיד קטן או שווה לאלגברי.
מכאן ניתן להסיק כי לכל [math]\displaystyle{ n\ge 2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ {b}_{n}\le {a}_{n} }[/math] ולכן
- [math]\displaystyle{ {b}_{n+1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\sqrt{{a}_{n}{b}_{n}}\ge \sqrt{{b}_{n}{b}_{n}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\sqrt{{b}_{n}^{2}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ ={b}_{n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ {a}_{n+1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{2}\le \frac{{a}_{n}+{a}_{n}}{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{2{a}_{n}}{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ ={a}_{n} }[/math]
כלומר החל מהאיבר השני [math]\displaystyle{ {b}_{n} }[/math] עולה, ו[math]\displaystyle{ {a}_{n} }[/math] יורדת.
סה"כ לכל [math]\displaystyle{ n\ge 2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ {b}_{2}\le {b}_{n}\le {a}_{n}\le {a}_{2} }[/math]
לכן שתי הסדרות מונוטונית וחסומות ולכן מתכנסות לגבול סופי.
מעבר לכך נסמן כי [math]\displaystyle{ {a}_{n}\to L }[/math] וכן [math]\displaystyle{ {b}_{n}\to M }[/math] על ידי השאפת שני צידי נוסחאת הנסיגה [math]\displaystyle{ {a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{2} }[/math] נקבל
- [math]\displaystyle{ L=\frac{L+M}{2} }[/math]
וע"י פישוט נוכיח כי [math]\displaystyle{ L=M }[/math] ולמעשה שתי הסדרות מתכנסות לאותו גבול.
תרגילים בנושאים נוספים
- תתי סדרות, גבול עליון וסדרות קושי (7 תרגילים)
- גבולות ורציפות של פונקציות (16 תרגילים)
- משפט ערך הביניים ומשפט ויירשטראס (15 תרגילים)
- נגזרת (10 תרגילים)
- משפט רול ולגראנז' ומונוטוניות (6 תרגילים)
- קמירות וקעירות (9 תרגילים)
- כל תרגילי ההכנה למבחן · קובץ ה-PDF של האוסף · מבחנים ובחנים עם פתרונות · דף הקורס