בקצרה: הגבול של סדרה הוא המספר שאיברי הסדרה מתייצבים סביבו ככל שמתקדמים בה. לא מספיק שהסדרה "מתקרבת" למספר (הסדרה [math]\displaystyle{ 1,\frac12,\frac13,\dots }[/math] מתקרבת גם ל־[math]\displaystyle{ -1 }[/math]): הדרישה היא שלכל רמת דיוק [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] שנבחר, קטנה ככל שתהיה, קיים מקום בסדרה שאחריו כל האיברים קרובים לגבול עד כדי אותה רמת דיוק, כלומר מחוץ לכל סביבה של הגבול נשאר רק מספר סופי של איברים. זו ההגדרה שעליה נשענים משפטי הסדרות בפרק, ובבחנים מבקשים לצטט אותה במדויק ולהוכיח גבולות לפיה.
▶ ההרצאה: הגדרת הגבול של סדרה
איברי הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=1+\frac{\cos n}{n} }[/math] (נקודות) והגבול [math]\displaystyle{ L=1 }[/math] (הקו הירוק). הרצועה הכחולה היא הסביבה [math]\displaystyle{ (L-\varepsilon,L+\varepsilon) }[/math] ברדיוס [math]\displaystyle{ \varepsilon=0.13 }[/math]. מחוץ לרצועה נמצאים רק חמישה איברים, [math]\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,a_4,a_6 }[/math] (בסדרה כולה, לא רק בעשרים האיברים המצוירים: לכל [math]\displaystyle{ n\ge8 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-1|=\frac{|\cos n|}{n}\le\frac1n<0.13 }[/math]), ואף אחד מהם אינו אחרי המקום [math]\displaystyle{ K=6 }[/math]; לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math], כלומר החל מ־[math]\displaystyle{ n=7 }[/math], האיברים (הנקודות המלאות) בתוך הרצועה. שימו לב: [math]\displaystyle{ a_5 }[/math] כבר בתוך הרצועה, אבל [math]\displaystyle{ a_6 }[/math] לא, ולכן [math]\displaystyle{ K }[/math] חייב להיות לפחות [math]\displaystyle{ 6 }[/math] (הנקודות החלולות הן האיברים עד המקום [math]\displaystyle{ K }[/math] ועד בכלל). לסביבה קטנה יותר עשוי להידרש [math]\displaystyle{ K }[/math] גדול יותר.
סדרה ממשית (בקיצור סדרה) היא פונקציה [math]\displaystyle{ a:\mathbb N\to\mathbb R }[/math], המתאימה לכל מספר טבעי [math]\displaystyle{ n }[/math] (מקום, אינדקס) מספר ממשי [math]\displaystyle{ a(n) }[/math] (איבר).
סימון: [math]\displaystyle{ a_n=a(n) }[/math] הוא האיבר במקום ה־[math]\displaystyle{ n }[/math], וגם את הסדרה עצמה מסמנים [math]\displaystyle{ a_n }[/math].
שימו לב: אלא אם נאמר במפורש אחרת, כל סדרה בקורס היא אינסופית.
מותר שסדרה לא תהיה מוגדרת במספר סופי של מקומות.
הערה
אפשר להגדיר סדרה בנוסחה מפורשת או בנוסחת נסיגה. למשל, הסדרה [math]\displaystyle{ 1,2,4,8,\dots }[/math] נתונה בנוסחה המפורשת [math]\displaystyle{ a_n=2^{n-1} }[/math], וגם בנוסחת הנסיגה [math]\displaystyle{ a_1=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{n+1}=2a_n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math]. אומרים ש [math]\displaystyle{ L }[/math] הוא הגבול של [math]\displaystyle{ a_n }[/math], ומסמנים [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=L }[/math] (בקיצור [math]\displaystyle{ \lim a_n=L }[/math]) או [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math], אם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-L|<\varepsilon }[/math]:
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ L }[/math] אינו הגבול של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] (מסמנים [math]\displaystyle{ a_n\not\to L }[/math]) אם ורק אם קיים [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n>K }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ |a_n-L|\ge\varepsilon }[/math]:
במילים: קיימת סביבה של [math]\displaystyle{ L }[/math], כך שלא נכון שהחל ממקום מסוים כל איברי הסדרה נמצאים בה; כלומר, קיימת סביבה של [math]\displaystyle{ L }[/math] שיש אינסוף איברים מהסדרה מחוץ לה.
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: הסדרה [math]\displaystyle{ \frac1n }[/math] שואפת לאפס
הוכיחו לפי ההגדרה כי [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac1n=0 }[/math]. בנוסף, עבור [math]\displaystyle{ \varepsilon=\frac1{100} }[/math] מצאו מקום [math]\displaystyle{ K }[/math] שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה [math]\displaystyle{ \left(-\frac1{100},\frac1{100}\right) }[/math].
טיוטה (לא חלק מההוכחה): המרחק מהגבול הוא [math]\displaystyle{ \left|\frac1n-0\right|=\frac1n }[/math], ורוצים [math]\displaystyle{ \frac1n<\varepsilon }[/math]. כלל האצבע הוא לבודד את [math]\displaystyle{ n }[/math]: [math]\displaystyle{ \frac1n<\varepsilon\iff n>\frac1\varepsilon }[/math].
הוכחה. יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. לפי תכונת ארכימדס קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ K>\frac1\varepsilon }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ n>K }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ n>\frac1\varepsilon }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \left|\frac1n-0\right|=\frac1n<\varepsilon }[/math]. מצאנו לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] מקום [math]\displaystyle{ K }[/math] מתאים, ולכן [math]\displaystyle{ \frac1n\to0 }[/math].
עבור [math]\displaystyle{ \varepsilon=\frac1{100} }[/math]: [math]\displaystyle{ \frac1\varepsilon=100 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ K=100 }[/math] מתאים: לכל [math]\displaystyle{ n>100 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac1n<\frac1{100} }[/math]. גם כל [math]\displaystyle{ K }[/math] גדול יותר מתאים; צריך למצוא מקום שעובד, לא בהכרח את הקטן ביותר.
מקור: תמליל 08 (mMVBYUDmSA0) 08:23–08:43 (t=503s): "האם הסדרה 1, 1/2, 1/3 קרובה לאפס עד כדי 1/1000? ... החל משלב מסוים"; מחברת ההרצאות תשע"ז עמ' 10 (G1 E13: 1/n→0 לפי ההגדרה) ועמ' 11 (G1-22: "צריך למצוא N שעובד ולא דווקא את הכי טוב"); לוח תשפ"ד ל4 ע18–19 (R5-2.4: כלל האצבע "לבודד את n", ארכימדס); מאגר 2.1-03 (◆, ק' 1, בוחן ✓)
דוגמה 2: [math]\displaystyle{ \frac{n^2-1}{n^2}\to1 }[/math] ומציאת [math]\displaystyle{ K }[/math]
הוכיחו לפי ההגדרה כי [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{n^2-1}{n^2}=1 }[/math]. שאלת ביניים: מהו [math]\displaystyle{ K }[/math] מתאים עבור [math]\displaystyle{ \varepsilon=\frac1{100} }[/math]?
שאלת הביניים: עבור [math]\displaystyle{ \varepsilon=\frac1{100} }[/math] מתקבל [math]\displaystyle{ \frac1{\sqrt\varepsilon}=10 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ K=10 }[/math]: לכל [math]\displaystyle{ n>10 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac1{n^2}<\frac1{100} }[/math] (למשל [math]\displaystyle{ n=11 }[/math]: [math]\displaystyle{ \frac1{121}<\frac1{100} }[/math]).
הוכחה. יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. לפי תכונת ארכימדס קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ K>\frac1{\sqrt\varepsilon} }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ n>K }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ n>\frac1{\sqrt\varepsilon} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ n^2>\frac1\varepsilon }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \left|\frac{n^2-1}{n^2}-1\right|=\frac1{n^2}<\varepsilon }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \frac{n^2-1}{n^2}\to1 }[/math].
מקור: לוח הרצאה 26–27.10.20, אינפי 1 מדמ"ח תשפ"א (R1-X03, פתרון מלא; שאלת הביניים "מה N עבור ε=1/100? N=10"); מאגר 2.1-05 (◆, ק' 1, בוחן ✓)
דוגמה 3: "מתקרבת" אינה ההגדרה: [math]\displaystyle{ \frac1n\not\to-1 }[/math]
בסרטון נאמר שהסדרה [math]\displaystyle{ \frac1n }[/math] "מתקרבת" לאפס, אבל היא מתקרבת גם ל־[math]\displaystyle{ -1 }[/math]: המרחק [math]\displaystyle{ \left|\frac1n-(-1)\right| }[/math] קטן והולך. הסבירו מה מתקלקל כשמנסים להוכיח לפי ההגדרה כי [math]\displaystyle{ \frac1n\to-1 }[/math], והוכיחו לפי שלילת הגבול (מסקנה 2.1.4) כי [math]\displaystyle{ -1 }[/math] אינו הגבול של [math]\displaystyle{ \frac1n }[/math].
מה מתקלקל: המרחק מ־[math]\displaystyle{ -1 }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \left|\frac1n-(-1)\right|=1+\frac1n }[/math]. הוא אמנם קטן והולך (במובן זה הסדרה "מתקרבת" ל־[math]\displaystyle{ -1 }[/math]), אבל הוא תמיד גדול מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]. לכן עבור [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math] אי־השוויון [math]\displaystyle{ 1+\frac1n<\varepsilon }[/math] אינו מתקיים לאף [math]\displaystyle{ n }[/math], ואין מקום [math]\displaystyle{ K }[/math] שאחריו הוא מתקיים.
הוכחה לפי שלילת הגבול. נבחר [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math]. נבחר [math]\displaystyle{ n=K+1>K }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \left|\frac1n-(-1)\right|=1+\frac1n\ge1=\varepsilon }[/math]. מצאנו [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n>K }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ \left|\frac1n-(-1)\right|\ge\varepsilon }[/math], ולכן לפי מסקנה 2.1.4 מתקיים [math]\displaystyle{ \frac1n\not\to-1 }[/math].
המסקנה: "מתקרבת" אינה ההגדרה. ההגדרה דורשת שלכל סביבה, החל ממקום מסוים כל האיברים יהיו בתוכה; זה מתקיים עבור [math]\displaystyle{ 0 }[/math] (דוגמה 1) ואינו מתקיים עבור [math]\displaystyle{ -1 }[/math].
מקור: תמליל 08 (mMVBYUDmSA0) 02:46–03:53 (t=166s): "הסדרה השנייה מתקרבת לאפס אבל היא גם מתקרבת למינוס אחד"; מחברת ההרצאות תשע"ז עמ' 11–12 (G1 E15 / G1-24, הגרסה עם L=1: "נסו להוכיח ש-lim 1/n=1 ונראה מה מתקלקל"); מאגר 2.1-01, 2.1-03 (◆)
דוגמה 4: ל־[math]\displaystyle{ (-1)^n }[/math] אין גבול
הוכיחו כי לסדרה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math] אין גבול, כלומר לכל [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\not\to L }[/math].
רעיון: איברי הסדרה הם [math]\displaystyle{ -1,1,-1,1,\dots }[/math]. סביבה ברדיוס [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math] (חצי המרחק בין [math]\displaystyle{ -1 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]) אינה יכולה להכיל את שני הערכים, ולכן אינסוף איברים נשארים מחוצה לה, יהיה מרכזה אשר יהיה.
הוכחה. יהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math]. נראה לפי מסקנה 2.1.4 כי [math]\displaystyle{ a_n\not\to L }[/math], עם [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math].
אם [math]\displaystyle{ L\ge0 }[/math]: נבחר [math]\displaystyle{ n=2K+1>K }[/math] (אי־זוגי). אזי [math]\displaystyle{ |a_n-L|=|-1-L|=1+L\ge1=\varepsilon }[/math].
אם [math]\displaystyle{ L<0 }[/math]: נבחר [math]\displaystyle{ n=2K+2>K }[/math] (זוגי). אזי [math]\displaystyle{ |a_n-L|=|1-L|=1-L>1=\varepsilon }[/math].
בשני המקרים מצאנו [math]\displaystyle{ n>K }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ |a_n-L|\ge\varepsilon }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ a_n\not\to L }[/math] לכל [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math], כלומר לסדרה אין גבול.
מקור: מערך תרגול תשע"ב, סדרות/גבול §שלילת גבול (W2a E5, ε=1); מחברת ההרצאות תשע"ז עמ' 13 (G1 E17: ε=1/2, זוגי/אי-זוגי); לוח תשפ"ד ל4 ע19 (R5-2.5: (−1)^n↛1, "עבור אפסילון שקטן מ-2 לא קיים K", בוחן ✓); היוריסטיקה לבחירת ε: לוח 8.11.20 (R1-D4: "המרחק בין הגבול השגוי לבין איברים שחלק מהסדרה מתקרב אליהם... ניקח חצי מהמרחק"); תמליל 26 (j4C_2yvKpN0) 01:30–02:07 (t=90s), ניסוח השלילה במילים; מאגר 2.1-20 (◆, ק' 2, בוחן ✓)
טעויות נפוצות
"צריך סביבה קטנה": לא, ההגדרה דורשת את התנאי לכל[math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math], קטן כגדול, ולכן הוכחה לפי ההגדרה מתחילה ב"יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]" ואינה בוחרת ערך מסוים שלו (בסרטון, 10:39: "זו הייתה שאלה מכשילה").
[math]\displaystyle{ K }[/math] הוא מקום בסדרה (אינדקס) ולא ערך של איבר: אם החל מהאיבר במקום ה־[math]\displaystyle{ 1001 }[/math] כל האיברים נמצאים בסביבה, בוחרים [math]\displaystyle{ K=1000 }[/math] (המקום), לא את הערך [math]\displaystyle{ a_{1001} }[/math]; [math]\displaystyle{ K }[/math] נבחר אחרי [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] ורשאי להיות תלוי בו, אך לא ב־[math]\displaystyle{ n }[/math].
"אינסוף איברים בסביבה" אינו מספיק: לסדרה [math]\displaystyle{ 0,1,0,1,\dots }[/math] יש אינסוף איברים בסביבה [math]\displaystyle{ \left(-\frac12,\frac12\right) }[/math] של [math]\displaystyle{ 0 }[/math], אבל גם אינסוף איברים מחוצה לה, ולכן [math]\displaystyle{ 0 }[/math] אינו הגבול; הדרישה היא שמחוץ לסביבה יישאר רק מספר סופי של איברים.
"הסדרה מתקרבת ל־[math]\displaystyle{ L }[/math]" או "הגבול הוא המספר שהסדרה אינה עוברת" אינן הגדרות: [math]\displaystyle{ \frac1n }[/math] מתקרבת גם ל־[math]\displaystyle{ -1 }[/math], והסדרה [math]\displaystyle{ 1,-\frac12,\frac13,\dots }[/math] עוברת את גבולה [math]\displaystyle{ 0 }[/math] שוב ושוב.
בשלילת הגבול הופכים רק את "לכל", "קיים" ו"מתקיים" (ומקבלים [math]\displaystyle{ |a_n-L|\ge\varepsilon }[/math]), לא את [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] ולא את [math]\displaystyle{ n>K }[/math]; ה־[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] "הבעייתי" נבחר פעם אחת, לפני [math]\displaystyle{ K }[/math], ואינו תלוי בו.
לתרגול
מועד א' תשע"ב (מדמ"ח) · שאלה 1א: הוכיחו שכל סדרה מתכנסת חסומה (עם פתרון; משתמש בהגדרה עם [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math])
בוחן 1 מדמ"ח תשע"ב · שאלה 1: ציטוט הגדרת הגבול ושלילתה ("השלם את החסר"), עם פתרון; קישור לטופס הבוחן בראש הדף
מערך תרגול · מערך התרגול של ארז (תשע"ב), פרק הסדרות
הגדרת הסדרה וגבול הסדרה · הוכחות לפי ההגדרה: [math]\displaystyle{ \frac{n-1}n\to1 }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{n^2-n+1}{3n^2+2n+1}\to\frac13 }[/math] (ללא פתרון), [math]\displaystyle{ \sqrt[n]n\to1 }[/math]; שלילת הגבול ל־[math]\displaystyle{ (-1)^n }[/math]
תרגול 3 (לואי ומני) · עמ' 3–5: [math]\displaystyle{ \frac{1-(-1)^n}{2n}\to0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{n^2+n-1}{n^2+1}\to1 }[/math] לפי ההגדרה, [math]\displaystyle{ \frac{1+(-1)^n}2 }[/math] אינה מתכנסת, ווריאציה עם [math]\displaystyle{ 100\varepsilon }[/math]; עם פתרונות
![איברי הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=1+\frac{\cos n}{n} }[/math] (נקודות) והגבול [math]\displaystyle{ L=1 }[/math] (הקו הירוק). הרצועה הכחולה היא הסביבה [math]\displaystyle{ (L-\varepsilon,L+\varepsilon) }[/math] ברדיוס [math]\displaystyle{ \varepsilon=0.13 }[/math]. מחוץ לרצועה נמצאים רק חמישה איברים, [math]\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,a_4,a_6 }[/math] (בסדרה כולה, לא רק בעשרים האיברים המצוירים: לכל [math]\displaystyle{ n\ge8 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-1|=\frac{|\cos n|}{n}\le\frac1n<0.13 }[/math]), ואף אחד מהם אינו אחרי המקום [math]\displaystyle{ K=6 }[/math]; לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math], כלומר החל מ־[math]\displaystyle{ n=7 }[/math], האיברים (הנקודות המלאות) בתוך הרצועה. שימו לב: [math]\displaystyle{ a_5 }[/math] כבר בתוך הרצועה, אבל [math]\displaystyle{ a_6 }[/math] לא, ולכן [math]\displaystyle{ K }[/math] חייב להיות לפחות [math]\displaystyle{ 6 }[/math] (הנקודות החלולות הן האיברים עד המקום [math]\displaystyle{ K }[/math] ועד בכלל). לסביבה קטנה יותר עשוי להידרש [math]\displaystyle{ K }[/math] גדול יותר.](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-limit-of-sequence.png)