בקצרה: סדרה שואפת לאינסוף אם איבריה עוברים כל מחסום ונשארים מעליו: לכל מספר חיובי, גדול ככל שיהיה, קיים מקום בסדרה שאחריו כל האיברים גדולים ממנו. זו בדיוק הגדרת הגבול, כשבמקום סביבה של מספר לוקחים סביבה של אינסוף, כלומר קרן מהצורה [math]\displaystyle{ (M,\infty) }[/math], ואת השאיפה למינוס אינסוף מגדירים דרך הסדרה הנגדית. סדרה שיש לה גבול ממשי, או ששואפת לאינסוף או למינוס אינסוף, נקראת מתכנסת במובן הרחב: הסדרה 1, 2, 3, … אינה מתכנסת, אבל היא מתכנסת במובן הרחב. הקשר בין שני סוגי הגבולות הוא כלי בסיסי בחישוב גבולות: אחד חלקי סדרה ששואפת לאינסוף שואף לאפס (בקיצור "אחד חלקי אינסוף הוא אפס", אף שאינסוף אינו מספר), ואילו אחד חלקי סדרה ששואפת לאפס תלוי בסימן שלה.
▶ ההרצאה: התכנסות במובן הרחב
איברי הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\frac n2+4\cos n }[/math] (נקודות) והסף [math]\displaystyle{ M=6 }[/math] (הקו המקווקו האופקי). הרצועה הכחולה היא הסביבה [math]\displaystyle{ (M,\infty) }[/math] של אינסוף. הסדרה אינה מונוטונית, וכמה איברים מוקדמים ([math]\displaystyle{ a_6,a_7,a_{12},a_{13},a_{14} }[/math]) כבר נמצאים מעל [math]\displaystyle{ M }[/math], אבל זה לא מספיק: [math]\displaystyle{ a_{16} }[/math] שוב מתחת ל־[math]\displaystyle{ M }[/math] (מסומן באדום), ולכן [math]\displaystyle{ K }[/math] חייב להיות לפחות [math]\displaystyle{ 16 }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ n>K=16 }[/math] האיברים (הנקודות המלאות) נמצאים מעל [math]\displaystyle{ M }[/math], בסדרה כולה ולא רק בשלושים האיברים המצוירים: עבור [math]\displaystyle{ n\ge21 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\ge\frac n2-4>6 }[/math], והאיברים [math]\displaystyle{ a_{17},\dots,a_{20} }[/math] נבדקו ישירות. לסף גבוה יותר עשוי להידרש מקום מאוחר יותר; למשל עבור [math]\displaystyle{ M=12 }[/math] המקום הקטן ביותר הוא [math]\displaystyle{ K=29 }[/math].
הגדרה 2.1.5שאיפה ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math] ול־[math]\displaystyle{ -\infty }[/math]▶ סרטון 2:31
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית.
אומרים ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math]שואפת לאינסוף, ומסמנים [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] או [math]\displaystyle{ \lim a_n=\infty }[/math], אם לכל [math]\displaystyle{ M>0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n>M }[/math]:
אומרים ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math]שואפת למינוס אינסוף, ומסמנים [math]\displaystyle{ a_n\to-\infty }[/math] או [math]\displaystyle{ \lim a_n=-\infty }[/math], אם [math]\displaystyle{ -a_n\to\infty }[/math].
סימון 2.1.6הסדר על [math]\displaystyle{ \mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math]
על [math]\displaystyle{ \mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] משתמשים בסדר של [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], ובנוסף [math]\displaystyle{ -\infty<x<\infty }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math]. הסמלים [math]\displaystyle{ \pm\infty }[/math] אינם מספרים, ואין פעולות חשבון עליהם.
טענה 2.1.7ניסוח אחיד של הגבול
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] אם ורק אם לכל סביבה [math]\displaystyle{ Y }[/math] של [math]\displaystyle{ L }[/math] קיימת סביבה [math]\displaystyle{ X }[/math] של [math]\displaystyle{ \infty }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N\cap X }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\in Y }[/math].
[math]\displaystyle{ a_n }[/math] נקראת מתכנסת אם קיים [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math].
[math]\displaystyle{ a_n }[/math] נקראת מתכנסת במובן הרחב אם קיים [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית כך ש [math]\displaystyle{ a_n\ne0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \frac1{|a_n|}\to\infty }[/math].
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: [math]\displaystyle{ \frac{n^2}{n+1}\to\infty }[/math], ומקום שאחריו כל האיברים גדולים מ־[math]\displaystyle{ 1000 }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ a_n=\frac{n^2}{n+1} }[/math]. (א) מצאו מקום [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n>1000 }[/math]. (ב) הוכיחו לפי ההגדרה כי [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math].
טיוטה (לא חלק מההוכחה): לפתור במדויק את [math]\displaystyle{ \frac{n^2}{n+1}>M }[/math] מסורבל, ולכן נקטין את [math]\displaystyle{ a_n }[/math] לביטוי פשוט יותר. לכל [math]\displaystyle{ n\ge1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ n+1\le2n }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_n=\frac{n^2}{n+1} }[/math] [math]\displaystyle{ \ge\frac{n^2}{2n}=\frac n2 }[/math]. מספיק אפוא ש [math]\displaystyle{ \frac n2>M }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ n>2M }[/math].
(א) עבור [math]\displaystyle{ M=1000 }[/math] המקום [math]\displaystyle{ K=2000 }[/math] מתאים: לכל [math]\displaystyle{ n>2000 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\ge\frac n2>1000 }[/math]. זה אינו המקום הקטן ביותר: [math]\displaystyle{ a_n=n-1+\frac1{n+1} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ n-1<a_n<n }[/math]; מכאן [math]\displaystyle{ a_n>1000 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge1001 }[/math], ואילו [math]\displaystyle{ a_{1000}<1000 }[/math], כך שהמקום הקטן ביותר הוא [math]\displaystyle{ K=1000 }[/math]. אבל צריך למצוא מקום שעובד, לא דווקא את הקטן ביותר. שימו לב: לא כל האיברים גדולים מ־[math]\displaystyle{ 1000 }[/math], רק אלה שאחרי המקום [math]\displaystyle{ K }[/math].
(ב) יהי [math]\displaystyle{ M>0 }[/math]. לפי תכונת ארכימדס קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ K>2M }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ n>K }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ n>2M }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_n\ge\frac n2>M }[/math]. מצאנו לכל [math]\displaystyle{ M>0 }[/math] מקום [math]\displaystyle{ K }[/math] מתאים, ולכן [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math].
מקור: תמליל 09 (U5RUHjrHVGI) 01:31–01:49 (t=91s): על הסדרה 1, 2, 3, …: "כולם גדולים מאלף? ודאי שלא", אבל החל משלב מסוים "ודאי שכן"; שעת קבלה תשפ"ג (W4c, שעת קבלה.docx §3: n²/(n+1) ≥ n²/(2n) = n/2, "עכשיו כן מדוייק"); מחברת ההרצאות תשע"ז עמ' 22 (G1 E24: lim n=∞, "בחר N_M>M") ועמ' 11 (G1-22: "צריך למצוא N שעובד ולא דווקא את הכי טוב"); מאגר 2.1-43 (◆, ק' 1–2, בוחן ✓)
דוגמה 2: שאיפה למינוס אינסוף, בלי לפתור את אי־השוויון
הוכיחו לפי ההגדרה כי [math]\displaystyle{ n^3-n^4-1\to-\infty }[/math], והסיקו כי [math]\displaystyle{ \frac1{n^4-n^3+1}\to0 }[/math].
נסמן [math]\displaystyle{ a_n=n^3-n^4-1 }[/math]. לפי ההגדרה, [math]\displaystyle{ a_n\to-\infty }[/math] פירושו [math]\displaystyle{ -a_n\to\infty }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ -a_n=n^4-n^3+1 }[/math]. לכן צריך להראות שלכל [math]\displaystyle{ M>0 }[/math] קיים מקום שאחריו [math]\displaystyle{ n^4-n^3+1>M }[/math].
טיוטה: את אי־השוויון הזה קשה לפתור, ואין בכך צורך: מספיק להקטין את [math]\displaystyle{ -a_n }[/math] לביטוי פשוט, ולדאוג שהביטוי הפשוט יהיה גדול מ־[math]\displaystyle{ M }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ n-1\ge1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ -a_n=n^3(n-1)+1 }[/math] [math]\displaystyle{ >n^3(n-1)\ge n^3 }[/math], ובנוסף [math]\displaystyle{ n^3\ge n }[/math]. מספיק אפוא ש [math]\displaystyle{ n>M }[/math] וגם [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math].
הוכחה. יהי [math]\displaystyle{ M>0 }[/math]. לפי תכונת ארכימדס קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ K>\max\{M,1\} }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ n>K }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ n>1 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math], ולכן לפי הטיוטה [math]\displaystyle{ -a_n>n }[/math], ו־[math]\displaystyle{ n>K>M }[/math]. מצאנו לכל [math]\displaystyle{ M>0 }[/math] מקום מתאים, ולכן [math]\displaystyle{ -a_n\to\infty }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_n\to-\infty }[/math].
המסקנה: הסדרה [math]\displaystyle{ -a_n=n^4-n^3+1 }[/math] שואפת לאינסוף, ולכן לפי משפט 2.1.9 מתקיים [math]\displaystyle{ \frac1{n^4-n^3+1}\to0 }[/math].
מקור: תמליל 09 (U5RUHjrHVGI) 03:23–03:41 (t=203s): "טריק נחמד, נגדיר שסדרה שואפת למינוס אינסוף אם מינוס הסדרה שואף לאינסוף"; לוח הרצאה 27.10.20, אינפי 1 מדמ"ח תשפ"א (R1-X04: להראות ש־n⁴−n³+1>1/ε החל משלב מסוים "בלי לפתור", דרך n³(n−1)+1 ≥ n³+1 > n³); לוח 12.11.20 (R1-X29: lim(−a_n)=−∞ לפי ההגדרה, דרך −(−a_n)→∞); מאגר 2.1-15 (◆, ק' 2, בוחן ✓); המסקנה לפי משפט 2.1.9 (תמליל 09, 04:24, t=264s)
דוגמה 3: נכון או לא נכון: חסימות, מונוטוניות ושאיפה לאינסוף
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית. קבעו אם כל טענה נכונה, והוכיחו או הפריכו. (א) אם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אינה חסומה מלעיל, אזי [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math]. (ב) אם [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אינה חסומה מלעיל. (ג) אם [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית עולה החל ממקום מסוים.
(א) לא נכון. נגדיר [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^nn }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ -1,2,-3,4,\dots }[/math]. היא אינה חסומה מלעיל: לכל [math]\displaystyle{ M\in\mathbb R }[/math] קיים לפי ארכימדס [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ 2k>M }[/math], ו־[math]\displaystyle{ a_{2k}=2k>M }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ a_n\not\to\infty }[/math]: נבחר [math]\displaystyle{ M=1 }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math]; המקום [math]\displaystyle{ n=2K+1>K }[/math] אי־זוגי, ולכן [math]\displaystyle{ a_n=-n<1 }[/math]. כלומר קיים [math]\displaystyle{ M>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n>K }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ a_n\le M }[/math]. (גם [math]\displaystyle{ 1,0,2,0,3,0,\dots }[/math] היא דוגמה נגדית.)
(ב) נכון. יהי [math]\displaystyle{ M\in\mathbb R }[/math]. נפעיל את ההגדרה עם המספר החיובי [math]\displaystyle{ M'=\max\{M,1\} }[/math]: קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n>M'\ge M }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ a_{K+1}>M }[/math]. לכן אף מספר [math]\displaystyle{ M }[/math] אינו חסם מלעיל של קבוצת איברי הסדרה.
(ג) לא נכון. נגדיר [math]\displaystyle{ a_n=n+2(-1)^n }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ -1,4,1,6,3,8,\dots }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\ge n-2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math]: יהי [math]\displaystyle{ M>0 }[/math], ניקח (לפי ארכימדס) [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ K>M+2 }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\ge n-2>M }[/math]. אבל לכל [math]\displaystyle{ m }[/math] זוגי מתקיים [math]\displaystyle{ a_m=m+2 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{m+1}=m-1 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_{m+1}<a_m }[/math]. אחרי כל מקום [math]\displaystyle{ K }[/math] יש [math]\displaystyle{ m>K }[/math] זוגי, ולכן הסדרה אינה עולה החל משום מקום. שאיפה לאינסוף מבטיחה רק שהחל ממקום מסוים האיברים נמצאים מעל כל סף, לא שהם עולים (ראו גם האיור).
מקור: מבחן מועד ב' תשפ"ד (מתמטיקה, בועז צבאן), חלק נכון/לא נכון, סעיף ד (W5a T84B-II-ד: "לא חסומה מלעיל ⇒ שואפת ל־∞", לא נכון, 0,1,0,2,…; המבחן אינו בוויקי); remark_text של 2.1.5 (n(−1)^n; 1,0,2,0,3,0,…); מחברת ההרצאות תשע"ז עמ' 25 (G1-50: "נניח a_n→∞. צ"ל: ש־a_n אינה חסומה", תרגיל בכיתה); מאגר 2.1-44 (◆, ק' 1, בוחן ✓) ו־2.1-45 (ק' 2, בוחן ✓; סיכומי התרגול P1s Les4: "a_n→∞ ⇒ מונוטונית לבסוף? (הפרכה)")
דוגמה 4: "אחד חלקי אפס" דורש בדיקת סימן
(א) תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית כך ש [math]\displaystyle{ a_n\ne0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math]. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \frac1{|a_n|}\to\infty }[/math] (טענה 2.1.10; בסרטון ההוכחה נשארה כתרגיל לבית). (ב) הראו שבלי הערך המוחלט המסקנה אינה נכונה: מצאו את הגבול של [math]\displaystyle{ \frac1{a_n} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ a_n=-\frac1n }[/math], והראו שעבור [math]\displaystyle{ a_n=\frac{(-1)^n}n }[/math] הסדרה [math]\displaystyle{ \frac1{a_n} }[/math] אינה שואפת ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math] וגם לא ל־[math]\displaystyle{ -\infty }[/math].
(א) יהי [math]\displaystyle{ M>0 }[/math]. צריך למצוא מקום [math]\displaystyle{ K }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac1{|a_n|}>M }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ |a_n|>0 }[/math], אי־השוויון הזה שקול ל־[math]\displaystyle{ |a_n|<\frac1M }[/math]. מההנחה [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math], עבור [math]\displaystyle{ \varepsilon=\frac1M>0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-0|<\frac1M }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \frac1{|a_n|}>M }[/math]. זה המקום המבוקש, ולכן [math]\displaystyle{ \frac1{|a_n|}\to\infty }[/math].
(ב) עבור [math]\displaystyle{ a_n=-\frac1n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac1{a_n}=-n }[/math]. הסדרה הנגדית [math]\displaystyle{ n }[/math] שואפת לאינסוף, ולכן [math]\displaystyle{ \frac1{a_n}\to-\infty }[/math]. היא אינה שואפת ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math]: אף איבר שלה אינו גדול מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math].
עבור [math]\displaystyle{ a_n=\frac{(-1)^n}n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac1{a_n}=(-1)^nn }[/math]. נבחר [math]\displaystyle{ M=1 }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ n=2K+1>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac1{a_n}=-n<1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \frac1{a_n}\not\to\infty }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ n=2K+2>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ -\frac1{a_n}=-n<1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ -\frac1{a_n}\not\to\infty }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \frac1{a_n}\not\to-\infty }[/math]. (היא גם אינה מתכנסת לגבול ממשי: אילו [math]\displaystyle{ \frac1{a_n}\to L\in\mathbb R }[/math], אז עבור [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math] היה קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left|(-1)^nn-L\right|<1 }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ (-1)^nn<L+1 }[/math]. לפי ארכימדס קיים [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ m>\max\{K,L+1\} }[/math], ועבור [math]\displaystyle{ n=2m>K }[/math] מתקבל [math]\displaystyle{ 2m<L+1 }[/math], בסתירה ל־[math]\displaystyle{ 2m>m>L+1 }[/math]. זה גם נובע ממשפט 2.1.14 בהמשך: סדרה מתכנסת חסומה.)
המסקנה: "[math]\displaystyle{ \frac10 }[/math]" אינו [math]\displaystyle{ \infty }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] כמו ב־(א). אם [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \frac1{a_n}=\frac1{|a_n|}\to\infty }[/math] (בקיצור "[math]\displaystyle{ \frac1{0^+}=\infty }[/math]"); אם [math]\displaystyle{ a_n<0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], אזי [math]\displaystyle{ -\frac1{a_n}=\frac1{|a_n|}\to\infty }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \frac1{a_n}\to-\infty }[/math]; ואם הסימן מתחלף, ייתכן שאין גבול כלל.
מקור: תמליל 09 (U5RUHjrHVGI) 12:38–14:26 (t=758s): "האם אחת חלקי סדרה ששואפת לאפס זו סדרה ששואפת לאינסוף? לא ולא משתי סיבות" (סדרה שלילית, סדרה שמחליפה סימנים), וההוכחה של 2.1.10 הושארה "כתרגיל לבית" (14:24, t=864s); לוח 27.10.20 ו־12.11.20, אינפי 1 מדמ"ח תשפ"א (R1-C10/R1-X05: הוכחה מלאה עם ε=1/M; R1-X30: ההפרכות −1/n ו־(−1)^n n); מחברת ההרצאות תשע"ז עמ' 23 (G1-47: "'1/0' צריך לבדוק את הסימן: חיובית → ∞, שלילית → −∞, מתחלפת → אין גבול"); מאגר 2.1-41, 2.1-42 (◆, ק' 1–2, בוחן ✓)
טעויות נפוצות
"לא חסומה" אינו גורר "שואפת לאינסוף": לסדרות [math]\displaystyle{ (-1)^nn }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 1,0,2,0,3,0,\dots }[/math] אין חסם מלעיל, אבל אינסוף מאיבריהן קטנים מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]; שאיפה לאינסוף דורשת שהחל ממקום מסוים כל האיברים יהיו גדולים מ־[math]\displaystyle{ M }[/math] (הכיוון ההפוך נכון: סדרה ששואפת לאינסוף אינה חסומה מלעיל).
"[math]\displaystyle{ \frac10=\infty }[/math]" שגוי: מ־[math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] לא נובע [math]\displaystyle{ \frac1{a_n}\to\infty }[/math], כי עבור [math]\displaystyle{ a_n=-\frac1n }[/math] מתקבל [math]\displaystyle{ \frac1{a_n}\to-\infty }[/math], ועבור [math]\displaystyle{ a_n=\frac{(-1)^n}n }[/math] לסדרה [math]\displaystyle{ \frac1{a_n} }[/math] אין גבול כלל; לכן בטענה 2.1.10 יש ערך מוחלט, ובלעדיו צריך לבדוק את הסימן.
בהוכחה לפי ההגדרה מנסים "להוכיח את אי־השוויון" (למשל [math]\displaystyle{ \left|\frac1{a_n}\right|<\varepsilon }[/math]) במקום למצוא מקום[math]\displaystyle{ K }[/math] שאחריו הוא מתקיים; ההוכחה אינה נגמרת עד שאומרים "הנה המקום" (בסרטון, 07:28–08:20).
סדרה ששואפת לאינסוף אינה מתכנסת (מתכנסת פירושו גבול ממשי), אבל היא מתכנסת במובן הרחב; המילה "מתבדרת" דו־משמעית, ולכן עדיף לכתוב "אינה מתכנסת" או "אין לה גבול גם במובן הרחב", לפי הכוונה.
"[math]\displaystyle{ \frac1\infty=0 }[/math]" הוא קיצור למשפט 2.1.9 על סדרות ולא משוואה: [math]\displaystyle{ \pm\infty }[/math] אינם מספרים ואין עליהם פעולות חשבון, ולכן אין להציב אותם בביטוי או לחשב איתם כמו עם מספרים (בסרטון, 04:49: "זו לא משוואה אמיתית").
לתרגול
מועד א' תשע"ב (מדמ"ח) · שאלה 1א: כל סדרה מתכנסת חסומה (עם פתרון); יחד עם דוגמה 3(ב) נובע שסדרה ששואפת לאינסוף אינה מתכנסת
בוחן 1 מדמ"ח תשע"ב · שאלה 2: [math]\displaystyle{ a_n+b_n }[/math] חסומה ו־[math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math], חשבו [math]\displaystyle{ \lim\frac{a_n}{b_n} }[/math]; שאלה 5: סדרה שאינה חסומה מלעיל ותת־סדרה ששואפת לאינסוף (הטופס מקושר בראש הדף; לשתי השאלות אין שם פתרון, "משיעורי הבית")
מבחן לדוגמא תש"ף (מדמ"ח), פתרון · תרגיל ההעשרה בסוף הפתרון: אם [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>c>1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], אזי [math]\displaystyle{ |a_n|\to\infty }[/math] (אינדוקציה וחצי סנדביץ'; טופס המבחן)
מערך תרגול · מערך התרגול של ארז (תשע"ב), פרק הסדרות
התכנסות במובן הרחב · ההגדרה עם [math]\displaystyle{ M }[/math] והתרגיל [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{n!}\to\infty }[/math] (חסם מלרע [math]\displaystyle{ \sqrt{\frac n2} }[/math] וחצי סנדביץ'; שם הפתרון מפורט רק ל־[math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי)
![איברי הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\frac n2+4\cos n }[/math] (נקודות) והסף [math]\displaystyle{ M=6 }[/math] (הקו המקווקו האופקי). הרצועה הכחולה היא הסביבה [math]\displaystyle{ (M,\infty) }[/math] של אינסוף. הסדרה אינה מונוטונית, וכמה איברים מוקדמים ([math]\displaystyle{ a_6,a_7,a_{12},a_{13},a_{14} }[/math]) כבר נמצאים מעל [math]\displaystyle{ M }[/math], אבל זה לא מספיק: [math]\displaystyle{ a_{16} }[/math] שוב מתחת ל־[math]\displaystyle{ M }[/math] (מסומן באדום), ולכן [math]\displaystyle{ K }[/math] חייב להיות לפחות [math]\displaystyle{ 16 }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ n>K=16 }[/math] האיברים (הנקודות המלאות) נמצאים מעל [math]\displaystyle{ M }[/math], בסדרה כולה ולא רק בשלושים האיברים המצוירים: עבור [math]\displaystyle{ n\ge21 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\ge\frac n2-4>6 }[/math], והאיברים [math]\displaystyle{ a_{17},\dots,a_{20} }[/math] נבדקו ישירות. לסף גבוה יותר עשוי להידרש מקום מאוחר יותר; למשל עבור [math]\displaystyle{ M=12 }[/math] המקום הקטן ביותר הוא [math]\displaystyle{ K=29 }[/math].](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c2-02.png)