סדרות מונוטוניות

חדו"א 1 › פרק 2: סדרות › 2.9 סדרות מונוטוניות והמספר e

בקצרה: סדרה מונוטונית היא סדרה שהולכת רק בכיוון אחד: כל איבר גדול מקודמו או שווה לו (סדרה עולה), או שכל איבר קטן מקודמו או שווה לו (סדרה יורדת). המשפט המרכזי אומר שלסדרה כזו יש רק שתי אפשרויות: אם היא חסומה, היא מתכנסת לגבול סופי (סדרה עולה וחסומה מתכנסת לחסם העליון שלה), ואם היא אינה חסומה, היא שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף. זה הכלי הראשון בקורס שמבטיח שגבול קיים בלי לדעת מראש מהו, ולכן הוא הדרך הרגילה לטפל בסדרות שמוגדרות בנוסחת נסיגה, כמו [math]\displaystyle{ a_1=4,\ a_{n+1}=\sqrt{2+a_n} }[/math]: קודם מוכיחים שהסדרה מונוטונית וחסומה, ורק אחר כך מחשבים את הגבול; כך מוגדר גם המספר e.

▶ ההרצאה: סדרות מונוטוניות

משפט 2.9.2 בתמונה. משמאל (a): הסדרה העולה והחסומה [math]\displaystyle{ a_n=2-\frac3{n+1} }[/math] והחסם העליון שלה [math]\displaystyle{ M=\sup\{a_n\}=2 }[/math] (הקו הירוק). כיוון ש [math]\displaystyle{ M-\varepsilon }[/math] אינו חסם מלעיל, קיים מקום [math]\displaystyle{ K }[/math] שבו [math]\displaystyle{ a_K>M-\varepsilon }[/math] (כאן [math]\displaystyle{ \varepsilon=0.55 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ K=5 }[/math]), והסדרה עולה, ולכן לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ M-\varepsilon<a_K\le a_n }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a_n\le M }[/math]: כל האיברים שאחרי המקום [math]\displaystyle{ K }[/math] (הנקודות המלאות) נמצאים בסביבה [math]\displaystyle{ (M-\varepsilon,M+\varepsilon) }[/math] של [math]\displaystyle{ M }[/math] (הרצועה הכחולה). מימין (b): הסדרה העולה [math]\displaystyle{ b_n=\sqrt{3n} }[/math] אינה חסומה, ולכן לכל [math]\displaystyle{ M>0 }[/math] (כאן [math]\displaystyle{ M=4.4 }[/math]) קיים מקום [math]\displaystyle{ K }[/math] שבו [math]\displaystyle{ b_K>M }[/math] (כאן [math]\displaystyle{ K=7 }[/math]), ולכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ b_n\ge b_K>M }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ b_n\to\infty }[/math]. בשני המקרים המונוטוניות היא שמעבירה את המידע מהאיבר [math]\displaystyle{ a_K }[/math] (או [math]\displaystyle{ b_K }[/math]) לכל האיברים שאחריו.

הגדרה 2.9.1סדרה מונוטונית▶ סרטון 0:23

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית.

[math]\displaystyle{ a_n }[/math] נקראת מונוטונית עולה אם לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\le a_{n+1} }[/math].
[math]\displaystyle{ a_n }[/math] נקראת מונוטונית יורדת אם לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\ge a_{n+1} }[/math].
[math]\displaystyle{ a_n }[/math] נקראת מונוטונית אם היא מונוטונית עולה או מונוטונית יורדת.
[math]\displaystyle{ a_n }[/math] נקראת עולה ממש אם לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n<a_{n+1} }[/math].
[math]\displaystyle{ a_n }[/math] נקראת יורדת ממש אם לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n>a_{n+1} }[/math].

משפט 2.9.2סדרות מונוטוניות▶ סרטון 1:07 · ▶ הוכחה 1:29

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית מונוטונית.

(א) אם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] חסומה, אזי קיים [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math].
(ב) אם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אינה חסומה, אזי [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] או [math]\displaystyle{ a_n\to-\infty }[/math].

דוגמאות

נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".

דוגמה 1: הוכיחו או הפריכו: ארבע טענות קצרות

בכל סעיף [math]\displaystyle{ a_n }[/math] היא סדרה ממשית. הוכיחו או הפריכו:
(א) אם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] חסומה, אזי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת.
(ב) אם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית, אזי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת אם ורק אם היא חסומה.
(ג) אם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית עולה ו־[math]\displaystyle{ a_n\le2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n\to2 }[/math].
(ד) אם [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}\ge1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית עולה.

(א) לא נכון. [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math] חסומה, כי [math]\displaystyle{ |a_n|\le1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], ואינה מתכנסת: לכל [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] הסביבה [math]\displaystyle{ (L-1,L+1) }[/math] אינה מכילה גם את [math]\displaystyle{ -1 }[/math] וגם את [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן אחרי כל מקום יש איברים מחוץ לה. במשפט 2.9.2 המונוטוניות היא הנחה הכרחית.
(ב) נכון. אם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת, אזי היא חסומה לפי משפט 2.1.14 (כאן אין צורך במונוטוניות). להפך, אם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית וחסומה, אזי היא מתכנסת לפי משפט 2.9.2 (א).
(ג) לא נכון. [math]\displaystyle{ a_n=1-\frac1n }[/math] עולה, כי [math]\displaystyle{ \frac1{n+1}<\frac1n }[/math], ומקיימת [math]\displaystyle{ a_n<1\le2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], אבל [math]\displaystyle{ a_n\to1 }[/math], ולפי יחידות הגבול [math]\displaystyle{ a_n\not\to2 }[/math]. "מצאנו חסם מלעיל, מי אמר שהוא החסם העליון?!": סדרה עולה וחסומה מתכנסת לחסם העליון שלה (כאן [math]\displaystyle{ 1 }[/math]), ולא לכל חסם מלעיל.
(ד) לא נכון. עבור [math]\displaystyle{ a_n=-2^n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=2\ge1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], אבל [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=-2^n<0 }[/math], כלומר הסדרה יורדת. המעבר מ־[math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}\ge1 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ a_{n+1}\ge a_n }[/math] הוא כפל ב־[math]\displaystyle{ a_n }[/math], והוא שומר על כיוון אי-השוויון רק כאשר [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math]; לכן בסדרה שכל איבריה חיוביים אפשר לבדוק מונוטוניות גם דרך המנה.

מקור: לוח 26.11.20, אינפי 1 מדמ"ח תשפ"א (R2-1.03 / R2-E13: "אם a_n≤L ומונוטונית עולה, האם a_n→L? לא. כי היא גם חסומה, למשל על ידי a_n≤L+1. מצאנו חסם מלעיל, מי אמר שהוא החסם העליון?!", "מתאים לבוחן"); מאגר 2.9-05 (◆, ק' 1–2, בוחן ✓; באותה משפחה גם מועד א' תשס"ב, שאלה 1, על a_n עולה ו־b_n יורדת); remark_text של 2.9.1 (מבחן המנה בלי חיוביות) ושל 2.9.2 ("חסומה גורר מתכנסת" שגוי, (−1)^n); לוח 9.11.20 (R1-C19: "אם הוכחנו שכל הסדרה חיובית ... זה שקול ל a_{n+1}/a_n≥1").

דוגמה 2: סכום שמספר המחוברים בו גדל: [math]\displaystyle{ \frac1n+\cdots+\frac1{3n} }[/math]

לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] נסמן [math]\displaystyle{ a_n=\frac1n+\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{3n} }[/math]. הוכיחו כי הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת.

מספר המחוברים בסכום ([math]\displaystyle{ 2n+1 }[/math]) תלוי ב־[math]\displaystyle{ n }[/math], ולכן אי אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות. במקום לחשב את הגבול נוכיח שהסדרה מונוטונית וחסומה.
מונוטוניות. ב־[math]\displaystyle{ a_{n+1} }[/math] המחובר [math]\displaystyle{ \frac1n }[/math] כבר אינו מופיע, ונוספים בסוף שלושה מחוברים חדשים, שכל אחד מהם קטן מ־[math]\displaystyle{ \frac1{3n} }[/math]. לכן לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]:
[math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\frac1{3n+1}+\frac1{3n+2} }[/math]
[math]\displaystyle{ +\frac1{3n+3}-\frac1n }[/math]
[math]\displaystyle{ <\frac3{3n}-\frac1n=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_{n+1}<a_n }[/math], והסדרה מונוטונית יורדת.
חסימות. כל המחוברים חיוביים, ולכן [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math]; הסדרה יורדת, ולכן [math]\displaystyle{ a_n\le a_1 }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ 0<a_n\le a_1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], והסדרה חסומה, ולפי משפט 2.9.2 (א) קיים [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math].
הערה. המשפט מבטיח שהגבול קיים, אבל אינו אומר מהו. אפשר לחסום אותו: כל אחד מ־[math]\displaystyle{ 2n+1 }[/math] המחוברים הוא לפחות [math]\displaystyle{ \frac1{3n} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_n\ge\frac{2n+1}{3n}>\frac23 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], ולפי מעבר לגבול באי-שוויון חלש (טענה 2.1.18) [math]\displaystyle{ \frac23\le L\le a_1 }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ a_1=1+\frac12+\frac13=\frac{11}6 }[/math].

מקור: מערך התרגול תשע"ב, סדרות/מונוטוניות (התרגיל הראשון, עם פתרון); מועד ב' תשפ"א (מדמ"ח), שאלה 4ב (E6-Q4ב; בפתרון של ארז: "חסומה מלמטה ומונוטונית יורדת זו סדרה מתכנסת, חביבי"); XI X28; לוח 26.11.20 (R2-E10: "מונוטונית וחסומה"); LM T5 עמ' 2; מאגר 2.9-01 (◆, ק' 2, בוחן ✓ 6 דק'). לעומת פתרונות המקור נוסף כאן חסם מלעיל מפורש (המשפט דורש שהסדרה תהיה חסומה, לא רק חסומה מלרע), וההערה על חסימת הגבול.

דוגמה 3: נסיגה ששואפת לאינסוף: [math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_n^2+a_n }[/math]

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית כך ש [math]\displaystyle{ a_1>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_n^2+a_n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. חשבו את [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n }[/math].

מונוטוניות. לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=a_n^2\ge0 }[/math], ולכן הסדרה מונוטונית עולה ("לא תמיד צריך אינדוקציה בשאלות עם נוסחת נסיגה").
לפי משפט 2.9.2 יש שתי אפשרויות: הסדרה חסומה ומתכנסת לגבול סופי, או שהיא אינה חסומה ושואפת לאינסוף או למינוס אינסוף.
נניח בשלילה שהסדרה חסומה. אזי קיים [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math]. לפי משפט 2.1.15 גם [math]\displaystyle{ a_{n+1}\to L }[/math], ולפי אריתמטיקה של גבולות [math]\displaystyle{ a_n^2+a_n\to L^2+L }[/math]. הסדרות [math]\displaystyle{ a_{n+1} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n^2+a_n }[/math] שוות, ולכן לפי יחידות הגבול [math]\displaystyle{ L=L^2+L }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ L^2=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L=0 }[/math].
מצד שני, הסדרה עולה, ולכן [math]\displaystyle{ a_n\ge a_1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], ולפי מעבר לגבול באי-שוויון חלש (טענה 2.1.18) [math]\displaystyle{ L\ge a_1 }[/math]. קיבלנו [math]\displaystyle{ 0=L\ge a_1 }[/math], בסתירה ל־[math]\displaystyle{ a_1>0 }[/math].
לכן הסדרה אינה חסומה. היא אינה שואפת למינוס אינסוף, כי אחרת החל ממקום מסוים היה מתקיים [math]\displaystyle{ a_n<a_1 }[/math], בסתירה ל־[math]\displaystyle{ a_n\ge a_1 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math].

מקור: דף הקורס "חדוא 1 - ארז שיינר", סעיף "סדרות מונוטוניות והמספר e" (rev 90835; הדוגמה היחידה בסעיף, והיא מופיעה גם ב"הקשר מתוך אתר הקורס" בראש תמליל 19, pTVTkSlxJdI; בסרטון עצמו אין דוגמה מספרית); לוח 9.11.20, אינפי 1 מדמ"ח תשפ"א (R1-X23, פתרון מלא; R1-C19: "לא תמיד צריך אינדוקציה בשאלות עם נוסחאת נסיגה", "שתי הסדרות שוות, ולכן הגבולות שלהן שווים! נחשב גבול לשני הצדדים"); לוח הנדסה 8.11.20 (R6b); מאגר 2.9-10 (◆, ק' 2, בוחן ✓ 5 דק'). לעומת דף הקורס נוסף כאן הנימוק לכך שהסדרה אינה שואפת למינוס אינסוף.

דוגמה 4: נסיגה עם שורש: [math]\displaystyle{ a_1=4,\ a_{n+1}=\sqrt{2+a_n} }[/math]

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] הסדרה המוגדרת על ידי [math]\displaystyle{ a_1=4 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{n+1}=\sqrt{2+a_n} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת וחשבו את גבולה.

הסדרה מוגדרת ואי-שלילית. [math]\displaystyle{ a_1=4>0 }[/math], וכל איבר אחר הוא שורש, ולכן [math]\displaystyle{ a_n\ge0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]; בפרט [math]\displaystyle{ 2+a_n>0 }[/math], והשורש באיבר הבא מוגדר.
ניחוש מושכל. [math]\displaystyle{ a_2=\sqrt6<4 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_2<a_1 }[/math], ולכן ננחש שהסדרה יורדת, ונוכיח זאת באינדוקציה על הטענה [math]\displaystyle{ a_{n+1}<a_n }[/math].
בסיס: [math]\displaystyle{ a_2<a_1 }[/math]. צעד: יהי [math]\displaystyle{ n }[/math] עבורו [math]\displaystyle{ a_{n+1}<a_n }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ 2+a_{n+1}<2+a_n }[/math], ושני האגפים חיוביים, ושורש שומר על אי-שוויון חזק בין מספרים אי-שליליים, ולכן [math]\displaystyle{ \sqrt{2+a_{n+1}}<\sqrt{2+a_n} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_{n+2}<a_{n+1} }[/math].
חסימות. [math]\displaystyle{ 0\le a_n\le4 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] (מלרע כי האיברים אי-שליליים, מלעיל כי הסדרה יורדת ולכן [math]\displaystyle{ a_n\le a_1=4 }[/math]). לפי משפט 2.9.2 (א) קיים [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math].
חישוב הגבול. נעלה את נוסחת הנסיגה בריבוע: [math]\displaystyle{ a_{n+1}^2=2+a_n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. לפי משפט 2.1.15 ואריתמטיקה של גבולות האגף השמאלי שואף ל־[math]\displaystyle{ L^2 }[/math] והימני ל־[math]\displaystyle{ 2+L }[/math], ולפי יחידות הגבול [math]\displaystyle{ L^2=2+L }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ (L-2)(L+1)=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ L=2 }[/math] או [math]\displaystyle{ L=-1 }[/math].
כיוון ש [math]\displaystyle{ a_n\ge0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], לפי טענה 2.1.18 [math]\displaystyle{ L\ge0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ L=2 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_n\to2 }[/math].

מקור: מועד מיוחד תשע"ב (מתמטיקה), שאלה 2א (B-S; פתרון ארז, Tashabspecialtestsol.pdf עמ' 2: "ננחש שהסדרה יורדת, וננסה להוכיח שזה אכן המצב", צעד אינדוקציה בהעלאה בריבוע, "חסומה מלמטה ע"י אפס", ושתי דרכים לפסול את L=−1); מאגר 2.9-17 (◆, ק' 2, בוחן ✓ 7 דק'); לוח 26.11.20 (R2-E11, הגרסה עם a_1=√2: "לא ברור, שהסדרה בכלל מוגדרת"); לוח 9.11.20 (R1-C19, עקרון "הניחוש המושכל": "מבצעים ניחוש, והוא עוזר לנו לבצע הוכחה מלאה (שלא מסתמכת על הניחוש)"). שינוי מהפתרון של ארז: במקום לכתוב L=√(2+L) מעלים את נוסחת הנסיגה בריבוע לפני המעבר לגבול, כדי לא להזדקק לגבול של שורש, שאינו בין הפריטים הקנוניים של סעיף 2.4; ולכן הפתרון L=−1 נפסל לפי a_n≥0 (הדרך הראשונה של ארז).

טעויות נפוצות

חסומה אינה גוררת מתכנסת: [math]\displaystyle{ (-1)^n }[/math] חסומה ואינה מתכנסת; משפט 2.9.2 דורש גם מונוטוניות.
מ־[math]\displaystyle{ a_n }[/math] עולה ו־[math]\displaystyle{ a_n\le L }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] לא נובע [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] (למשל [math]\displaystyle{ 1-\frac1n\le2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], אבל [math]\displaystyle{ 1-\frac1n\to1 }[/math]): "מצאנו חסם מלעיל, מי אמר שהוא החסם העליון?!"; סדרה עולה וחסומה מתכנסת לחסם העליון שלה, ומ־[math]\displaystyle{ a_n\le L }[/math] נובע רק שהגבול קטן או שווה ל־[math]\displaystyle{ L }[/math].
להסיק מ־[math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}\ge1 }[/math] שהסדרה עולה בלי להוכיח קודם שכל איבריה חיוביים: עבור [math]\displaystyle{ a_n=-2^n }[/math] המנה היא [math]\displaystyle{ 2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], והסדרה יורדת.
לדרוש אי-שוויון חזק: בקורס עולה פירושו [math]\displaystyle{ a_n\le a_{n+1} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], ולכן הסדרה הקבועה היא גם עולה וגם יורדת (בסרטון, 0:39–1:04, עם הדוגמה של אורך השיער של המרצה מדי יום: גם סדרה שלפעמים נשארת קבועה היא סדרה עולה); מי שצריך [math]\displaystyle{ a_n<a_{n+1} }[/math] אומר עולה ממש.
לחשב את הגבול מנוסחת הנסיגה לפני שהוכח שהוא קיים: עבור [math]\displaystyle{ a_1>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_n^2+a_n }[/math] המשוואה [math]\displaystyle{ L=L^2+L }[/math] נותנת [math]\displaystyle{ L=0 }[/math], אבל הסדרה שואפת לאינסוף; את המשוואה מותר לכתוב רק אחרי שהוכח (למשל במשפט 2.9.2) שיש גבול סופי, או בתוך הוכחה בשלילה תחת ההנחה שיש גבול סופי (כמו בדוגמה השלישית), ואחר כך צריך לפסול את הפתרונות שאינם מתאימים, כמו [math]\displaystyle{ L=-1 }[/math] בנסיגה [math]\displaystyle{ a_{n+1}=\sqrt{2+a_n} }[/math].

לתרגול

תרגיל 7 מתרגילי ההכנה למבחן · סדרת נסיגה [math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{2a_n-1}{a_n+4} }[/math]: התכנסות וגבול (עם פתרון מלא)
תרגיל 4 מתרגילי ההכנה למבחן · [math]\displaystyle{ a_n^2\le a_n-a_{n+1} }[/math]: האם הסדרה מתכנסת? (עם פתרון מלא)
תרגיל 5 מתרגילי ההכנה למבחן · אותה סדרה: האם [math]\displaystyle{ a_n<\frac1n }[/math]? (עם פתרון מלא)
תרגיל 8 מתרגילי ההכנה למבחן · סדרות הממוצע החשבוני וההנדסי (עם פתרון מלא)
מועד א' תשע"ב (מתמטיקה) · שאלה 2ב: האם [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=n}^{2n}\frac1k }[/math] קיים, באותה שיטה כמו הדוגמה השנייה בדף (פתרון; בפתרון כתוב [math]\displaystyle{ k }[/math] במקום [math]\displaystyle{ n }[/math] בחישוב [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n }[/math]). קושי 2–3.
מועד א' תשע"ז (מתמטיקה) · שאלה 3: [math]\displaystyle{ a_1>1,\ a_{n+1}=2a_n-\frac1{a_n} }[/math] עולה ושואפת לאינסוף, כמו הדוגמה השלישית (פתרון). קושי 2–3.
מועד ב' תשע"ז (מתמטיקה) · שאלה 3: [math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_n+\sqrt{a_n-1} }[/math] עם [math]\displaystyle{ a_1\ge1 }[/math]: עולה, ואם מתכנסת אזי [math]\displaystyle{ a_1=1 }[/math] (פתרון). קושי 2.
מועד א' תשפ"א (החממה) · שאלה 1א: הגבול של [math]\displaystyle{ a_{n+1}=\sqrt{a_n+6} }[/math] עם [math]\displaystyle{ a_1>12 }[/math], כמו הדוגמה הרביעית (פתרון; סעיפים ב–ג עוסקים בטור). קושי 2.
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הסדרות
סדרות מונוטוניות ונוסחאות נסיגה · [math]\displaystyle{ \frac1n+\cdots+\frac1{3n} }[/math] (הדוגמה השנייה בדף), הממוצע החשבוני-הנדסי של שתי סדרות, והנסיגה [math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac c2+\frac{a_n^2}2 }[/math], כולם עם פתרון
תרגול 5 (לואי ומני) · עמ' 1–4: המשפט על סדרות מונוטוניות, [math]\displaystyle{ \frac1n+\cdots+\frac1{3n} }[/math], הממוצע החשבוני-הנדסי, מונוטוניות דרך מנה, והנסיגה [math]\displaystyle{ a_1=5,\ a_{n+1}=a_n\cdot\frac{6+a_n}{3+2a_n} }[/math]; עם פתרונות

‹ חזקות של גבולות · כל הנושאים בפרק 2 · אי-שוויון הממוצעים ›