בקצרה: כשגם הבסיס וגם המעריך של חזקה משתנים עם המקום בסדרה, מותר במקרים רבים "להציב" את הגבולות: אם הבסיס שואף למספר חיובי והמעריך שואף למספר ממשי, אזי החזקה שואפת לגבול הבסיס בחזקת גבול המעריך (בסימון של הטענה, [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to a^L }[/math]). למשל, אם הבסיס שואף לשתיים והמעריך לשלוש, החזקה שואפת לשמונה; ואם הבסיס אי־שלילי ושואף לאפס והמעריך שואף למספר חיובי, החזקה שואפת לאפס. מחוץ לתנאים האלה נמצאים המקרים הבעייתיים "אחת בחזקת אינסוף", "אפס בחזקת אפס" ו"אינסוף בחזקת אפס", שבהם הגבולות של הבסיס ושל המעריך אינם קובעים את התוצאה, ולכן לפני כל חישוב בודקים לאן שואף כל אחד מהם.
מפת המקרים של [math]\displaystyle{ a_n^{b_n} }[/math]: ציר האופק הוא גבול הבסיס, [math]\displaystyle{ a }[/math], וציר האורך הוא גבול המעריך, [math]\displaystyle{ L }[/math]. בכל האזור התכול ([math]\displaystyle{ a>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L }[/math] ממשי) מותר להציב את הגבולות, [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to a^L }[/math] (סעיף (ד) של הטענה; הקו המקווקו [math]\displaystyle{ a=1 }[/math] הוא סעיף (ג)). הנקודה הירוקה [math]\displaystyle{ (2,3) }[/math] היא הדוגמה מהלוח, [math]\displaystyle{ \left(\frac{2n-1}{n+2}\right)^{3+\frac1n}\to2^3=8 }[/math]. על הקרן הירוקה ([math]\displaystyle{ a=0 }[/math], [math]\displaystyle{ L>0 }[/math]) החזקה שואפת ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] כשהבסיס אי־שלילי (סעיף (ה)), וכך גם בקצה העליון שלה, כשהמעריך שואף ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math]. העיגולים החלולים הם המקרים הבעייתיים [math]\displaystyle{ 0^0 }[/math], [math]\displaystyle{ 1^\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \infty^0 }[/math], שבהם הגבולות של הבסיס והמעריך אינם קובעים את התוצאה. על הקרן המנוקדת ([math]\displaystyle{ a=0 }[/math], [math]\displaystyle{ L<0 }[/math]) הביטוי [math]\displaystyle{ a^L }[/math] אינו מוגדר, ואכן [math]\displaystyle{ \left(\frac1n\right)^{-1}=n\to\infty }[/math]. הקצה העליון של התמונה מייצג מעריך ששואף ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math], והקצה הימני בסיס ששואף ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math].
טענה 2.8.1חזקות של גבולות
תהיינה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרות ממשיות.
(ב) יהיו [math]\displaystyle{ a>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L }[/math] מספרים ממשיים, ונניח ש [math]\displaystyle{ b_n\to L }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a^{b_n}\to a^L }[/math].
(ג) יהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math], ונניח ש [math]\displaystyle{ a_n\to1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n\to L }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to1 }[/math].
(ד) יהיו [math]\displaystyle{ a>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L }[/math] מספרים ממשיים, ונניח ש [math]\displaystyle{ a_n\to a }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n\to L }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to a^L }[/math].
(ה) יהי [math]\displaystyle{ L>0 }[/math] מספר ממשי, ונניח ש [math]\displaystyle{ a_n\ge0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n\to L }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to0 }[/math].
(א) מחשבים בנפרד את גבול הבסיס ואת גבול המעריך. בבסיס נחלק את המונה ואת המכנה ב־[math]\displaystyle{ n }[/math]: [math]\displaystyle{ \frac{2n-1}{n+2}=\frac{2-\frac1n}{1+\frac2n} }[/math] [math]\displaystyle{ \to\frac{2-0}{1+0}=2 }[/math], לפי אריתמטיקה של גבולות. במעריך, [math]\displaystyle{ 3+\frac1n\to3 }[/math].
כל איברי הבסיס חיוביים (כי [math]\displaystyle{ 2n-1>0 }[/math]), הבסיס שואף ל־[math]\displaystyle{ 2>0 }[/math] והמעריך שואף למספר הממשי [math]\displaystyle{ 3 }[/math]. לכן לפי סעיף (ד) של הטענה [math]\displaystyle{ \left(\frac{2n-1}{n+2}\right)^{3+\frac1n} }[/math] [math]\displaystyle{ \to2^3=8 }[/math].
(ב) הבסיס [math]\displaystyle{ \frac1n }[/math] חיובי לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ושואף ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], והמעריך [math]\displaystyle{ 3+\frac1n }[/math] שואף ל־[math]\displaystyle{ 3>0 }[/math]. לכן לפי סעיף (ה) [math]\displaystyle{ \left(\frac1n\right)^{3+\frac1n}\to0 }[/math] (על הלוח נכתב בקיצור [math]\displaystyle{ \to0^3=0 }[/math]).
שימו לב: ה"הצבה" [math]\displaystyle{ 2^3 }[/math] או [math]\displaystyle{ 0^3 }[/math] מוצדקת רק משום שתנאי הטענה מתקיימים: המעריך שואף למספר ממשי, והבסיס שואף למספר חיובי (סעיף (ד)), או שהבסיס אי־שלילי, שואף ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], והמעריך שואף למספר חיובי (סעיף (ה)).
מקור: לוח ההרצאה 9.11.20, אינפי 1 מדמ"ח תשפ"א (ארכיון/תשפא/סמסטר א/אינפי 1 מדמח/09.11.20.docx; R1-X20, R1-X22): "[math]\displaystyle{ \left(\frac{2n-1}{n+2}\right)^{3+\frac1n}\to2^3=8 }[/math]" עם חלוקה ב־[math]\displaystyle{ n }[/math] בבסיס, ו"[math]\displaystyle{ \left(\frac1n\right)^{3+\frac1n}\to0^3=0 }[/math]"; מאגר 2.8-01 (◆, ק' 1–2, בוחן ✓). לסעיף 2.8 אין סרטון ואין תמליל.
(א) הסדרה אינה מוגדרת רק במקום [math]\displaystyle{ n=5 }[/math], וזה מותר (מספר סופי של מקומות). הבסיס: [math]\displaystyle{ \frac{n}{n+4}=\frac1{1+\frac4n}\to1 }[/math]; המעריך: [math]\displaystyle{ \frac1{n-5}\to0 }[/math]. לפי סעיף (ג) של הטענה, עם [math]\displaystyle{ L=0 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \left(\frac{n}{n+4}\right)^{\frac1{n-5}}\to1 }[/math]. אין כאן מקרה בעייתי: הצורה [math]\displaystyle{ 1^0 }[/math] אינה ברשימת המקרים הבעייתיים.
(ב) הבסיס: לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{4n+1}{n+2}>0 }[/math], ולפי אריתמטיקה של גבולות [math]\displaystyle{ \frac{4n+1}{n+2}=\frac{4+\frac1n}{1+\frac2n} }[/math] [math]\displaystyle{ \to\frac{4+0}{1+0}=4 }[/math]. המעריך: [math]\displaystyle{ \frac n{2n+1}=\frac1{2+\frac1n} }[/math] [math]\displaystyle{ \to\frac12 }[/math]. הבסיס חיובי ושואף ל־[math]\displaystyle{ 4>0 }[/math], והמעריך שואף למספר הממשי [math]\displaystyle{ \frac12 }[/math], ולכן לפי סעיף (ד) של הטענה [math]\displaystyle{ \left(\frac{4n+1}{n+2}\right)^{\frac n{2n+1}} }[/math] [math]\displaystyle{ \to4^{\frac12}=2 }[/math].
(ג) כאן המעריך [math]\displaystyle{ \frac n2 }[/math] שואף ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math], ולכן הטענה על חזקות של גבולות אינה חלה; גם משפט 2.6.1 אינו חל כמות שהוא, כי המעריך אינו [math]\displaystyle{ n }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ c_n=\left(\frac{4n+1}{n+2}\right)^{\frac12} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ c_n>0 }[/math] (שורש של מספר חיובי), ולפי חוקי החזקות (הבסיס חיובי) [math]\displaystyle{ \left(\frac{4n+1}{n+2}\right)^{\frac n2}=(c_n)^n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math].
על הבסיס החדש הטענה כן חלה: לפי סעיף (ד), עם הבסיס [math]\displaystyle{ \frac{4n+1}{n+2}\to4>0 }[/math] והמעריך הקבוע [math]\displaystyle{ \frac12 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ c_n\to4^{\frac12}=2 }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ 2>1 }[/math], לפי משפט 2.6.1(א) [math]\displaystyle{ (c_n)^n\to\infty }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \left(\frac{4n+1}{n+2}\right)^{\frac n2}\to\infty }[/math]. (בסעיף 2.12 נראה שזה מקרה פרטי של כלל כללי, טענה 2.12.1(יג): אם [math]\displaystyle{ a_n\to a }[/math] עבור מספר ממשי [math]\displaystyle{ a>1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n\to\infty }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to\infty }[/math]. עד אז מנמקים כמו כאן.)
הלקח: לפני כל חישוב בודקים לאן שואף הבסיס ולאן שואף המעריך. בסעיפים (ב) ו־(ג) הבסיס זהה והמעריכים נראים דומים, אבל [math]\displaystyle{ \frac n{2n+1}\to\frac12 }[/math] ואילו [math]\displaystyle{ \frac n2\to\infty }[/math], והגבולות הם [math]\displaystyle{ 2 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \infty }[/math]. מעריך ששואף למספר ממשי ובסיס ששואף למספר חיובי: חזקות של גבולות. מעריך ששואף ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math]: הטענה אינה חלה, ודרוש כלי אחר; בסעיף (ג) כתבנו את החזקה בצורה [math]\displaystyle{ (c_n)^n }[/math], עם [math]\displaystyle{ c_n>0 }[/math] שגבולו שונה מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], והפעלנו את משפט 2.6.1. בסיס ששואף ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] עם מעריך ששואף ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math] הוא המקרה הבעייתי [math]\displaystyle{ 1^\infty }[/math] (כלל ה־[math]\displaystyle{ e }[/math], סעיף 2.11).
מקור: (א) מבחן תרגול XI של החממה תשפ"א (H21P1, 22–25.1.21), שאלה 2א, תשובה [math]\displaystyle{ 1 }[/math] (W4a; אין פתרון רשמי; גרסה מקבילה ב־H21P2 ש3א: [math]\displaystyle{ \left(\frac{n}{n+5}\right)^{\frac1{n-1}} }[/math]); במשפחה 2.8-04 במאגר (◆, ק' 2, בוחן ✓). (ב)–(ג) נבנו לדף זה ואינם לקוחים ממקור קיים: זוג סעיפים עם אותו בסיס, שבו רק המעריך משתנה. שאר הגבולות במשפחה 2.8-04 כבר פתורים בדפים אחרים או מופיעים בטיוטת "מבחנים לפי נושא". הכתיבה מחדש של חזקה עם המעריך [math]\displaystyle{ \frac n2 }[/math] כחזקה עם המעריך [math]\displaystyle{ n }[/math] היא כמו בבוחן אמצע תשע"א (6.12.10, הקבוצות של זלצמן; ארז היה מתרגל), שאלה 12א: [math]\displaystyle{ \frac{3^{\frac n2}}{2^{n-3}}=8\left(\frac{\sqrt3}2\right)^n }[/math] (10Infi1BohanSol.pdf; W6c Q2; מאגר 2.6-03). העיקרון בלשון ארז, בסרטון על כלל ה־[math]\displaystyle{ e }[/math]: "קודם כל בואו נבדוק לאן שואף הבסיס" (תמליל 29, 5V4EmQIdE90, 02:42).
דוגמה 3: בסיס ששואף ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]: מעריך סופי לעומת מעריך אינסופי
(א) חשבו את [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{2+\frac1n} }[/math]. (ב) סטודנט כתב: "[math]\displaystyle{ 1+\frac1n\to1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n\to1^n=1 }[/math]". הסבירו מה שגוי בנימוק, והוכיחו בעזרת אי־שוויון ברנולי שהסדרה [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n }[/math] אינה שואפת ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math].
(א) הבסיס [math]\displaystyle{ 1+\frac1n }[/math] שואף ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] והמעריך [math]\displaystyle{ 2+\frac1n }[/math] שואף למספר הממשי [math]\displaystyle{ 2 }[/math]. לפי סעיף (ג) של הטענה [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^{2+\frac1n}\to1 }[/math] (על הלוח: [math]\displaystyle{ \to1^2=1 }[/math]).
(ב) הנימוק החליף רק חלק מהביטוי בגבולו: את הבסיס החליף ב־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ואת המעריך [math]\displaystyle{ n }[/math] השאיר והמשיך לפתח. זה אסור. מותר לחשב בנפרד את הגבולות של כל החלקים ואז להפעיל משפט שמתאים להם; כאן הבסיס שואף ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] והמעריך ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math], וזה המקרה הבעייתי [math]\displaystyle{ 1^\infty }[/math]. סעיף (ג) אינו חל, כי הוא דורש שהמעריך ישאף למספר ממשי.
הגבול אינו [math]\displaystyle{ 1 }[/math]: לפי אי־שוויון ברנולי, לכל [math]\displaystyle{ x>-1 }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (1+x)^m\ge1+mx }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]; נציב [math]\displaystyle{ x=\frac1n>-1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ m=n }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n\ge1+n\cdot\frac1n=2 }[/math].
נניח בשלילה ש [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n\to1 }[/math]. לפי הגדרת הגבול עם [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math], קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left|\left(1+\frac1n\right)^n-1\right|<1 }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n<2 }[/math], בסתירה לאי־השוויון הקודם. לכן [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n\not\to1 }[/math].
בסעיף 2.9 נראה שהסדרה מתכנסת, וגבולה הוא המספר [math]\displaystyle{ e\approx2.718 }[/math]; מכאן השם "כלל ה־[math]\displaystyle{ e }[/math]" לטיפול במקרה [math]\displaystyle{ 1^\infty }[/math] (סעיף 2.11).
מקור: לוח שעת השאלות 15.11.20, אינפי 1 מדמ"ח תשפ"א (15.11.20.docx; R1-X33): "הכלל: אסור להחליף חלק מהביטוי בגבול, וחלק לא להחליף ולהמשיך לפתח", החישוב הנכון [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^{2+\frac1n}\to1^2=1 }[/math] לעומת "[math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n\ne1^n }[/math]", ו"מזהים שמדובר במקרה בעייתי שמשפטי האריתמטיקה לא מכסים"; ההערה לטענה 2.12.2 בחוברת; מאגר 2.8-02 (◆, ק' 1–2, בוחן ✓). ההוכחה דרך אי־שוויון ברנולי (טענה 2.5.2) נוספה כאן, כדי שהדוגמה לא תיעזר במספר [math]\displaystyle{ e }[/math], שמוגדר רק בסעיף 2.9.
דוגמה 4: הוכיחו או הפריכו: [math]\displaystyle{ \infty^0 }[/math], [math]\displaystyle{ 0^0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 0^\infty }[/math]
תהיינה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרות ממשיות. הוכיחו או הפריכו: (א) אם [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n\to0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to\infty }[/math]. (ב) אם [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n\to0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to0 }[/math]. (ג) אם [math]\displaystyle{ a_n\ge0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n\to\infty }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to0 }[/math].
(א) הפרכה: [math]\displaystyle{ a_n=n\to\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n=\frac1n\to0 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}=\sqrt[n]n\to1 }[/math] (כלל המנה, סעיף (ג), כי [math]\displaystyle{ \frac{n+1}n\to1 }[/math]), ובפרט [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\not\to\infty }[/math].
יותר מזה, בשני המקרים כל גבול חיובי אפשרי: יהי [math]\displaystyle{ c>0 }[/math], ונבחר [math]\displaystyle{ b_n=\frac1n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n=c^n }[/math]; אזי [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}=c }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]. אם [math]\displaystyle{ c>1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ c^n\to\infty }[/math] (דוגמה ל־[math]\displaystyle{ \infty^0 }[/math]), ואם [math]\displaystyle{ 0<c<1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ c^n\to0 }[/math] (דוגמה ל־[math]\displaystyle{ 0^0 }[/math]), לפי מסקנה 2.6.2. עם [math]\displaystyle{ b_n=-\frac1n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n=\left(\frac1c\right)^n }[/math] מתקיים שוב [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}=c }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], וכך מתקבלים גם [math]\displaystyle{ \infty^0 }[/math] עם [math]\displaystyle{ 0<c<1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 0^0 }[/math] עם [math]\displaystyle{ c>1 }[/math]; הגבול [math]\displaystyle{ 1 }[/math] התקבל כבר בסעיפים (א) ו־(ב).
(ג) הוכחה: כיוון ש [math]\displaystyle{ b_n\to\infty }[/math], קיים [math]\displaystyle{ K_1\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K_1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ b_n>1 }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math], קיים [math]\displaystyle{ K_2\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K_2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n<1 }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ n>\max\{K_1,K_2\} }[/math]. אם [math]\displaystyle{ a_n=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}=0 }[/math]. אחרת [math]\displaystyle{ 0<a_n<1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n-1>0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ 0<a_n^{b_n-1}<1 }[/math] (חזקה חיובית של מספר בין [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]), ומכאן [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}=a_n\cdot a_n^{b_n-1}<a_n }[/math]. בשני המקרים [math]\displaystyle{ 0\le a_n^{b_n}\le a_n }[/math].
הסדרה הקבועה [math]\displaystyle{ 0 }[/math] והסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] שואפות שתיהן ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], ואי־השוויון מתקיים לכל [math]\displaystyle{ n>\max\{K_1,K_2\} }[/math] (מספר סופי של איברים אינו משפיע על הגבול). לכן לפי משפט הסנדביץ' [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to0 }[/math].
המסקנה: [math]\displaystyle{ \infty^0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 0^0 }[/math] הם מקרים בעייתיים (ולכן בסעיף (ד) של הטענה דרוש [math]\displaystyle{ a>0 }[/math], ובסעיף (ה) דרוש [math]\displaystyle{ L>0 }[/math]), ואילו הכתיב המקוצר "[math]\displaystyle{ 0^\infty=0 }[/math]" מתאר טענה נכונה (בחוברת: אריתמטיקה מורחבת, טענה 2.12.1).
מקור: ש"ב 6 תש"ף, 88-132 בוגרים, שאלה 5 "הוכיחו/הפריכו" (אינפי1-תשפ-88132-תרגיל-6-מ2.pdf; הפתרון באינפי1-תשפ-88132-תרגיל-6-פתרון.pdf: (א) [math]\displaystyle{ n^{\frac1n}=\sqrt[n]n\to1 }[/math], (ב) [math]\displaystyle{ \left(\frac1n\right)^{\frac1n}=\frac1{\sqrt[n]n}\to1 }[/math], (ג) [math]\displaystyle{ b_n>1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n<1 }[/math] החל ממקום מסוים, ואז סנדביץ'); אותה שאלה בש"ב 7 תש"ף מדמ"ח (W6a; בדף הובהר ש־[math]\displaystyle{ a_n }[/math] חיובית). סעיף (ג) גם בלוח 3.12.20, אינפי 1 מדמ"ח תשפ"א (03.12.20.docx; R2-E18, "מתאים לבוחן"): "החל מהמקסימום בין השלבים, [math]\displaystyle{ 0\le a_n^{b_n}\le a_n\to0 }[/math]". מאגר 2.8-03 (◆, ק' 2–3, בוחן ✓). בנוסח כאן נוספו התנאים [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\ge0 }[/math] כדי שהחזקה תהיה מוגדרת, ובפתרון (ג) טופל גם המקרה [math]\displaystyle{ a_n=0 }[/math]; הדוגמאות עם [math]\displaystyle{ c^n }[/math] ("כל גבול אפשרי") נוספו לפי ניסוח המאגר.
טעויות נפוצות
"[math]\displaystyle{ 1^\infty=1 }[/math]": כשהבסיס שואף ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] והמעריך ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math], אסור להחליף רק את הבסיס בגבולו ("[math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n=1^n\to1 }[/math]" שגוי; למעשה [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n\ge2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]). סעיף (ג) חל רק כשהמעריך שואף למספר ממשי.
לקבוע לפי המראה שהמעריך "גדול": ב־[math]\displaystyle{ \left(\frac{4n+1}{n+2}\right)^{\frac n{2n+1}} }[/math] יש [math]\displaystyle{ n }[/math] במעריך, אבל המעריך שואף ל־[math]\displaystyle{ \frac12 }[/math], והגבול הוא [math]\displaystyle{ 4^{\frac12}=2 }[/math] ולא [math]\displaystyle{ \infty }[/math]. ולהפך, ב־[math]\displaystyle{ \left(\frac{4n+1}{n+2}\right)^{\frac n2} }[/math] המעריך שואף ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math], ולכן הטענה אינה מצדיקה "הצבה" של הגבולות; בשלב זה מנמקים במשפט 2.6.1, שחל רק אחרי שכותבים את החזקה בצורה [math]\displaystyle{ (c_n)^n }[/math] (הכלל הכללי למקרה הזה, טענה 2.12.1(יג), יופיע בסעיף 2.12). תמיד מחשבים קודם את גבול הבסיס ואת גבול המעריך.
להשמיט את התנאי [math]\displaystyle{ a>0 }[/math]: הנוסח "[math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math], [math]\displaystyle{ b_n\to M }[/math], ואחד הגבולות שונה מאפס, אזי [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to L^M }[/math]" שגוי כאשר [math]\displaystyle{ L=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ M<0 }[/math]: עבור [math]\displaystyle{ a_n=\frac1n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n=-1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}=n\to\infty }[/math], ו־[math]\displaystyle{ 0^{-1} }[/math] אינו מוגדר כלל.
להשמיט את התנאי [math]\displaystyle{ L>0 }[/math] בסעיף (ה): [math]\displaystyle{ 0^0 }[/math] הוא מקרה בעייתי, ולמשל [math]\displaystyle{ \left(\frac1n\right)^{\frac1n}\to1 }[/math] אף שהבסיס והמעריך שואפים שניהם ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]; גם [math]\displaystyle{ \infty^0 }[/math] בעייתי: [math]\displaystyle{ n^{\frac1n}=\sqrt[n]n\to1 }[/math].
לתרגול
מבחן לדוגמא תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה מיטיבה 1: [math]\displaystyle{ \left(e^{\frac1n}-e^{-\frac1n}\right)^{\sin\frac1n} }[/math], מקרה [math]\displaystyle{ 0^0 }[/math] (התשובה [math]\displaystyle{ 1 }[/math]; נדרשים כלים מפרקים מאוחרים יותר). בקובץ הפתרון (פתרון) אין פתרון לשאלות המיטיבות. קושי 2.
מועד א' תשפ"ה (מתמטיקה, בועז צבאן) · חלק נכון/לא נכון, סעיף ד: עבור [math]\displaystyle{ a>0 }[/math], [math]\displaystyle{ 0<a_n\to a }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n\to b\in\mathbb R }[/math] גוררים [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to a^b }[/math] (נכון, זה סעיף (ד) של הטענה) (פתרון). קושי 1.
מערך תרגול · מערך התרגול של ארז (תשע"ב), פרק הסדרות
המספר e (ממערך התרגול) · התרגיל [math]\displaystyle{ \left(1-\frac1n\right)^n\to\frac1e }[/math]: אחרי כתיבה מחדש הבסיס [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1{n-1}\right)^{n-1} }[/math] שואף ל־[math]\displaystyle{ e>0 }[/math] והמעריך [math]\displaystyle{ -\frac{n}{n-1} }[/math] שואף ל־[math]\displaystyle{ -1 }[/math], כלומר זה בדיוק סעיף (ד) של הטענה
![מפת המקרים של [math]\displaystyle{ a_n^{b_n} }[/math]: ציר האופק הוא גבול הבסיס, [math]\displaystyle{ a }[/math], וציר האורך הוא גבול המעריך, [math]\displaystyle{ L }[/math]. בכל האזור התכול ([math]\displaystyle{ a>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L }[/math] ממשי) מותר להציב את הגבולות, [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to a^L }[/math] (סעיף (ד) של הטענה; הקו המקווקו [math]\displaystyle{ a=1 }[/math] הוא סעיף (ג)). הנקודה הירוקה [math]\displaystyle{ (2,3) }[/math] היא הדוגמה מהלוח, [math]\displaystyle{ \left(\frac{2n-1}{n+2}\right)^{3+\frac1n}\to2^3=8 }[/math]. על הקרן הירוקה ([math]\displaystyle{ a=0 }[/math], [math]\displaystyle{ L>0 }[/math]) החזקה שואפת ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] כשהבסיס אי־שלילי (סעיף (ה)), וכך גם בקצה העליון שלה, כשהמעריך שואף ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math]. העיגולים החלולים הם המקרים הבעייתיים [math]\displaystyle{ 0^0 }[/math], [math]\displaystyle{ 1^\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \infty^0 }[/math], שבהם הגבולות של הבסיס והמעריך אינם קובעים את התוצאה. על הקרן המנוקדת ([math]\displaystyle{ a=0 }[/math], [math]\displaystyle{ L<0 }[/math]) הביטוי [math]\displaystyle{ a^L }[/math] אינו מוגדר, ואכן [math]\displaystyle{ \left(\frac1n\right)^{-1}=n\to\infty }[/math]. הקצה העליון של התמונה מייצג מעריך ששואף ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math], והקצה הימני בסיס ששואף ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math].](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c2-12.png)