בקצרה: כלל המנה הוא כלי מהיר לחישוב גבולות של סדרות שבהן מופיעות חזקות ועצרות: במקום לחשב את גבול הסדרה ישירות, מחשבים את גבול המנה בין כל איבר לקודמו, בערך מוחלט, [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to L }[/math]. הרעיון הוא שאם המנה "בערך קבועה", הסדרה מתנהגת בערך כמו סדרה הנדסית שמנתה [math]\displaystyle{ L }[/math]: כשהגבול קטן מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] הסדרה שואפת לאפס, כשהוא גדול מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] (או אינסוף) הערך המוחלט שלה שואף לאינסוף, ובכל מקרה השורש ה־[math]\displaystyle{ n }[/math]־י של הערך המוחלט שואף ל־[math]\displaystyle{ L }[/math]. כש [math]\displaystyle{ L=1 }[/math] שני הסעיפים הראשונים אינם אומרים דבר על הסדרה עצמה (וזה המצב בכל סדרה שמתכנסת לגבול סופי שונה מאפס), אבל הסעיף השלישי עדיין נותן את גבול השורש; לכן הכלל מתאים במיוחד לסדרות ששואפות לאפס או לאינסוף ולשורשים [math]\displaystyle{ n }[/math]־יים. המרצה מסיים את הסרטון באזהרה: "תיזהרו כי הוא מאוד ממכר... רק עוד מנה אחת".
▶ ההרצאה: כלל המנה
הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\frac{n}{2^n} }[/math] דרך כלל המנה. משמאל: המנות [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{2n} }[/math] שואפות ל־[math]\displaystyle{ L=\frac12 }[/math] (הקו הירוק), שקטן מהסף [math]\displaystyle{ 1 }[/math] (הקו המקווקו). לכל [math]\displaystyle{ n>K=2 }[/math] המנות קטנות מ־[math]\displaystyle{ q=\frac{1+L}2=\frac34 }[/math] (הקו האופקי המנוקד; במקום [math]\displaystyle{ K }[/math] עצמו המנה שווה בדיוק ל־[math]\displaystyle{ q }[/math]). מימין: הסדרה עצמה (הנקודות המלאות). כיוון שלכל [math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_{n+1}<q\,a_n }[/math], מקבלים באינדוקציה [math]\displaystyle{ a_n\le a_3q^{n-3} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math]: הסדרה כלואה בין [math]\displaystyle{ 0 }[/math] לבין סדרה הנדסית עם מנה [math]\displaystyle{ q<1 }[/math] (העיגולים החלולים והאזור התכול), ששואפת לאפס, ולכן לפי משפט הסנדביץ' גם [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math]. זה רעיון ההוכחה של סעיף (ב), והוא מדייק את ההסבר מהסרטון: אם המנה בערך קבועה, הסדרה היא בערך סדרה הנדסית.
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית, ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\infty\} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to L }[/math]. אזי:
(א) אם [math]\displaystyle{ 1<L\le\infty }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n|\to\infty }[/math].
(ב) אם [math]\displaystyle{ 0\le L<1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math].
(ג) מתקיים [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{|a_n|}\to L }[/math].
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: הדוגמה מהסרטון: [math]\displaystyle{ \frac{n}{2^n}\to0 }[/math]
חשבו את הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2^n} }[/math]. (אינטואיטיבית המכנה גדל הרבה יותר מהר מהמונה, ולכן הסדרה שואפת לאפס; השאלה היא איך מוכיחים זאת.)
נסמן [math]\displaystyle{ a_n=\frac{n}{2^n} }[/math] ונחשב את המנה בין האיבר הבא לאיבר הקודם לו. במקום לחלק בשבר, כופלים בהופכי: [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{n+1}{2n}=\frac12\left(1+\frac1n\right) }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ \frac1n\to0 }[/math], הסוגריים שואפים ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}\to\frac12 }[/math]. כל איברי הסדרה חיוביים, ולכן [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{a_{n+1}}{a_n}\to\frac12 }[/math]: בסדרה חיובית הערך המוחלט אינו משנה דבר. קיבלנו [math]\displaystyle{ L=\frac12 }[/math], ומתקיים [math]\displaystyle{ 0\le\frac12<1 }[/math], ולכן לפי סעיף (ב) של כלל המנה [math]\displaystyle{ \frac{n}{2^n}\to0 }[/math]. באותה דרך בדיוק [math]\displaystyle{ \frac{n^3}{2^n}\to0 }[/math]: המנה היא [math]\displaystyle{ \frac12\left(\frac{n+1}{n}\right)^3=\frac12\left(1+\frac1n\right)^3\to\frac12 }[/math]. באופן כללי, חזקה קבועה של [math]\displaystyle{ n }[/math] "מפסידה" לסדרה הנדסית שמנתה גדולה מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math].
מקור: תמליל 18 (Shmc2BtEGBE) 03:20–04:43 (t=200s): "במקום לחלק, כפלתי בהופכי ... סך הכל המנה שואפת לחצי"; 04:30–04:40 (t=270s) על הערך המוחלט בסדרה חיובית; לוח 9.11.20, מדמ"ח תשפ"א (R1-X19); לוח תשפ"ד ל6 ע31–32 (R5-2.21); מאגר 2.7-01 (◆, ק' 1, בוחן ✓; כולל [math]\displaystyle{ \frac{n^3}{2^n} }[/math])
דוגמה 2: סעיף (ג): [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{n} }[/math], [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{n!} }[/math]
חשבו את הגבולות [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} }[/math], [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a} }[/math] עבור קבוע [math]\displaystyle{ a>0 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!} }[/math].
שלושת הגבולות הם מהצורה [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{|a_n|} }[/math], ולכן מתאימים לסעיף (ג). שימו לב מי הסדרה: הסדרה היא מה שבתוך השורש, ועליה מחשבים את המנה; לא מחשבים את המנה [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt[n+1]{n+1}}{\sqrt[n]{n}} }[/math] של השורשים עצמם. בשלושת המקרים הסדרה חיובית, ולכן אפשר להשמיט את הערך המוחלט.
[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{n} }[/math]: הסדרה היא [math]\displaystyle{ a_n=n }[/math], והמנה היא [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{n}=1+\frac1n\to1 }[/math]. לכן לפי סעיף (ג) [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{n}\to1 }[/math].
[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a} }[/math]: הסדרה היא הסדרה הקבועה [math]\displaystyle{ a_n=a }[/math], והמנה היא [math]\displaystyle{ \frac{a}{a}=1 }[/math], כלומר הסדרה הקבועה [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ששואפת ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a}\to1 }[/math].
[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{n!} }[/math]: הסדרה היא [math]\displaystyle{ a_n=n!=1\cdot2\cdots n }[/math], והמנה היא [math]\displaystyle{ \frac{(n+1)!}{n!}=\frac{1\cdot2\cdots n\cdot(n+1)}{1\cdot2\cdots n} }[/math] [math]\displaystyle{ =n+1\to\infty }[/math]. כאן [math]\displaystyle{ L=\infty }[/math], וסעיף (ג) תקף גם לגבול אינסופי, ולכן [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{n!}\to\infty }[/math].
שימו לב: בסעיף (ג) אין חלוקה למקרים ואין "אם-אז": אם המנה שואפת ל־[math]\displaystyle{ L }[/math], השורש ה־[math]\displaystyle{ n }[/math]־י שואף בהכרח לאותו [math]\displaystyle{ L }[/math], יהיה [math]\displaystyle{ L }[/math] אשר יהיה, כולל [math]\displaystyle{ 1 }[/math] (כמו בשתי הדוגמאות הראשונות, שעליהן סעיפים (א) ו־(ב) אינם אומרים דבר) וכולל [math]\displaystyle{ \infty }[/math].
מקור: תמליל 18 (Shmc2BtEGBE) 04:45–06:32 (t=285s): "הסדרה היא מי שבתוך השורש ה-n" (05:33); 06:34–07:16 (t=394s) השורש של קבוע; 07:16–08:29 (t=436s) [math]\displaystyle{ n! }[/math]; 01:12 (t=72s): "אין פה אם אז"; לוח תשפ"ד ל6 ע32 (R5-2.22: "בכלל המנה השני מחשבים את גבול מנת הסדרה אשר בתוך השורש"); מערך תרגול תשע"ב (סדרות/גבול §אי-שוויון הממוצעים: [math]\displaystyle{ \sqrt[n]n\to1 }[/math] דרך המשפט); מאגר 2.7-04 (◆, ק' 1–2, בוחן ✓)
דוגמה 3: מבוחן וממבחן: [math]\displaystyle{ \frac{n^2}{4^n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{3^{n^2}}{n!} }[/math]
קבעו האם קיים הגבול, ואם כן מצאו אותו: (א) [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{4^n} }[/math] (ב) [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{3^{n^2}}{n!} }[/math]
(א) נסמן [math]\displaystyle{ a_n=\frac{n^2}{4^n}>0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^2}{4^{n+1}}\cdot\frac{4^n}{n^2} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac14\left(\frac{n+1}{n}\right)^2 }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac14\left(1+\frac1n\right)^2\to\frac14 }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ 0\le\frac14<1 }[/math], לפי סעיף (ב) [math]\displaystyle{ \frac{n^2}{4^n}\to0 }[/math].
צריך לדעת לאן המנה הזו שואפת. נפעיל את כלל המנה פעם נוספת, על [math]\displaystyle{ c_n=\frac{3\cdot9^n}{n+1}>0 }[/math]: [math]\displaystyle{ \frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{9^{n+1}}{9^n}\cdot\frac{n+1}{n+2} }[/math] [math]\displaystyle{ =9\cdot\frac{n+1}{n+2}\to9>1 }[/math], ולכן לפי סעיף (א) [math]\displaystyle{ |c_n|=c_n\to\infty }[/math].
קיבלנו [math]\displaystyle{ \frac{b_{n+1}}{b_n}\to\infty }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ L=\infty }[/math], ולכן לפי סעיף (א) [math]\displaystyle{ |b_n|\to\infty }[/math]; הסדרה חיובית, ולכן [math]\displaystyle{ \frac{3^{n^2}}{n!}\to\infty }[/math] (הגבול קיים במובן הרחב).
השוו ל־[math]\displaystyle{ \frac{3^n}{n!} }[/math]: שם המנה היא [math]\displaystyle{ \frac{3^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{3^n}=\frac3{n+1}\to0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \frac{3^n}{n!}\to0 }[/math]. העצרת מנצחת סדרה הנדסית, אבל מפסידה ל־[math]\displaystyle{ 3^{n^2} }[/math].
מקור: (א) בוחן כיתה תשפ"ג (88-132, 13.12.22), שאלה 1ב, פתרון ארז (W4c C0: "המנה [math]\displaystyle{ \to\frac14<1 }[/math]"); (ב) מבחן דמה תשע"ג מדמ"ח (TashagInfiCsexmtest.pdf) שאלה 2a, פתרון ארז בקובץ TashagInfiCsexmtestSol.pdf (W4b E11-Q2a, התשובה [math]\displaystyle{ \infty }[/math]; W4b טענה 17 מצטט מהפתרון: "נבצע את מבחן המנה... וכיוון שגבול המנה גדול מ-1, הסדרה המקורית שואפת לאינסוף"; ההפעלה השנייה של כלל המנה על [math]\displaystyle{ c_n }[/math] היא של כותב הדף, והפתרון המקורי לא נקרא במלואו); [math]\displaystyle{ \frac{a^n}{n!}\to0 }[/math] דרך המנה: XI X24 (מאגר 2.7-02, ◆); מאגר 2.7-03 (◆, ק' 1–2, בוחן ✓)
דוגמה 4: הוכיחו או הפריכו: הכיוון ההפוך של סעיף (ג)
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה חיובית. הוכיחו או הפריכו: אם [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n}\to L }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}\to L }[/math].
הפרכה. סעיף (ג) פועל בכיוון אחד בלבד, מהמנה אל השורש. נבנה סדרה שהשורש ה־[math]\displaystyle{ n }[/math]־י שלה מתכנס אבל למנה שלה אין גבול: [math]\displaystyle{ a_n=1,3,1,3,1,3,\dots }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_n=1 }[/math] כש [math]\displaystyle{ n }[/math] אי־זוגי ו־[math]\displaystyle{ a_n=3 }[/math] כש [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי.
השורש מתכנס: לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 1\le a_n\le3 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ 1\le\sqrt[n]{a_n}\le\sqrt[n]{3} }[/math]. לפי הדוגמה השנייה [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{3}\to1 }[/math], ולכן לפי משפט הסנדביץ' [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n}\to1 }[/math].
למנה אין גבול: [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=3,\frac13,3,\frac13,\dots }[/math] (שווה ל־[math]\displaystyle{ 3 }[/math] כש [math]\displaystyle{ n }[/math] אי־זוגי ול־[math]\displaystyle{ \frac13 }[/math] כש [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי). נניח בשלילה שהמנה שואפת למספר [math]\displaystyle{ M\in\mathbb R }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}-M\right|<1 }[/math]. נבחר [math]\displaystyle{ n>K }[/math] אי־זוגי; גם [math]\displaystyle{ n+1>K }[/math], ובמקום [math]\displaystyle{ n }[/math] המנה שווה ל־[math]\displaystyle{ 3 }[/math] ובמקום [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ \frac13 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ |3-M|<1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \left|\frac13-M\right|<1 }[/math], ומאי־שוויון המשולש [math]\displaystyle{ \frac83=\left|3-\frac13\right| }[/math] [math]\displaystyle{ \le|3-M|+\left|M-\frac13\right|<2 }[/math], סתירה. המנה גם אינה שואפת ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math], כי כל איבריה קטנים מ־[math]\displaystyle{ 4 }[/math].
לכן הטענה אינה נכונה. לעומת זאת הכיוון של המשפט כן נכון: אם [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to L }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{|a_n|}\to L }[/math]. הפרכה אחרת מאותו פתרון: [math]\displaystyle{ a_n=1,1,2,4,3,9,4,16,\dots }[/math] ([math]\displaystyle{ k }[/math] במקומות האי־זוגיים ו־[math]\displaystyle{ k^2 }[/math] בזוגיים), שעבורה [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n}\to1 }[/math] ולמנה אין גבול.
מקור: מועד א' תשע"ב מדמ"ח, שאלה 1ב, דף הפתרון "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח" (פתרון ארז; [math]\displaystyle{ 1,3,1,3,\dots }[/math] היא ה"הפרכה נוספת" שם, ו־[math]\displaystyle{ 1,1,2,4,3,9,\dots }[/math] ההפרכה הראשונה); הערה בפתרון בוחן Q6a ש6ה, מדמ"ח תשע"ב, שאלה אחרת (W6c: "בכיוון ההפוך זה לא נכון"); תמליל 18 (Shmc2BtEGBE) 01:12–01:25 (t=72s): "אם המנה שואפת ל-L השורש ה-n שואף בהכרח לאותו L"; מאגר 2.7-08 (◆, ק' 2–4, בוחן ✓ להפרכה)
טעויות נפוצות
[math]\displaystyle{ L=1 }[/math] אינו אומר דבר על הסדרה עצמה: אם [math]\displaystyle{ a_n\to7 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}\to\frac77=1 }[/math], וגם ל־[math]\displaystyle{ a_n=n }[/math] (ששואפת לאינסוף) ול־[math]\displaystyle{ a_n=\frac1n }[/math] (ששואפת לאפס) המנה שואפת ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]. באופן כללי, לכל סדרה שמתכנסת לגבול סופי שונה מאפס המנה שואפת ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן כלל המנה אינו הכלי לחישוב גבולות כאלה. (סעיף (ג) עדיין נותן [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{|a_n|}\to1 }[/math], אבל זה אינו מלמד דבר על הגבול של [math]\displaystyle{ a_n }[/math].)
להסיק "[math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math]" בלי ערך מוחלט: עבור [math]\displaystyle{ a_n=(-2)^n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=2>1 }[/math], והכלל נותן רק [math]\displaystyle{ |a_n|=2^n\to\infty }[/math]; לסדרה [math]\displaystyle{ -2,4,-8,16,\dots }[/math] עצמה אין גבול, גם לא במובן הרחב. (בסדרה חיובית הערך המוחלט מיותר, וזו הסיבה שבדוגמאות שבסרטון הוא נעלם.)
בסעיף (ג) לחשב את המנה של השורשים במקום את המנה של הסדרה שבתוך השורש: עבור [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{n} }[/math] הסדרה היא [math]\displaystyle{ a_n=n }[/math] והמנה היא [math]\displaystyle{ \frac{n+1}{n} }[/math], לא [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt[n+1]{n+1}}{\sqrt[n]{n}} }[/math] (בסרטון, 05:11–05:58: "מי הסדרה? ... הסדרה היא מי שבתוך השורש ה־[math]\displaystyle{ n }[/math]").
"המנה קטנה מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]" אינו אומר שהסדרה שואפת לאפס: עבור [math]\displaystyle{ a_n=1+\frac1n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}<1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], ובכל זאת [math]\displaystyle{ a_n\to1 }[/math]. הכלל דורש שהגבול של המנה יהיה קטן מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] (כאן הוא שווה ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]), ולא שכל המנות יהיו קטנות מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math].
שימוש מעגלי בסדרת נסיגה: עבור [math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_n^2+a_n }[/math] המנה היא [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=a_n+1 }[/math], וכדי לדעת לאן היא שואפת צריך לדעת לאן [math]\displaystyle{ a_n }[/math] שואפת, וזו בדיוק השאלה. כשהמנה תלויה ב־[math]\displaystyle{ a_n }[/math] עצמה, כלל המנה אינו מקדם את הפתרון; סדרות נסיגה כאלה מטפלים בהן בדרך כלל באמצעות מונוטוניות וחסימות (סעיף סדרות מונוטוניות).
לתרגול
תרגיל 3 מתרגילי ההכנה למבחן · כש־[math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}\to1 }[/math] כלל המנה אינו מכריע: האם הסדרה מתכנסת? (עם פתרון מלא)
מועד א' תשע"ב (מדמ"ח) · שאלה 1ב: הוכח/הפרך, [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n}\to L\Rightarrow\frac{a_{n+1}}{a_n}\to L }[/math], כמו הדוגמה הרביעית בדף (כולל פתרון). קושי 2.
מבחן דמה תשע"ג (מדמ"ח) · שאלה 2a: [math]\displaystyle{ \frac{3^{n^2}}{n!} }[/math], כמו הדוגמה השלישית בדף (פתרון). קושי 1–2.
מבחן לדוגמא תש"ף (מדמ"ח) · "תרגיל העשרה" בעמ' 5 של קובץ הפתרון: אם [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>c>1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |a_n|\to\infty }[/math], בלי להניח שלמנה יש גבול (אינדוקציה [math]\displaystyle{ |a_n|\ge c^{n-1}|a_1| }[/math] וחצי סנדביץ'). קושי 2–3.
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הסדרות
מערך תרגול: מנה ⇒ שורש · הסעיף "אי-שוויון הממוצעים": הוכחת סעיף (ג) לסדרה חיובית דרך הממוצע ההנדסי, [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{n}\to1 }[/math] בדרך זו, ותרגיל עם פתרון: אם [math]\displaystyle{ x_n\to a }[/math] וקיים גבול המנה [math]\displaystyle{ L }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |L|\le1 }[/math], ודוגמה לסדרה מתכנסת שלמנתה אין גבול
מערך תרגול: התכנסות במובן הרחב · [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{n!}\to\infty }[/math] בדרך אחרת, בלי כלל המנה: [math]\displaystyle{ n!\ge\left(\frac n2\right)^{n/2} }[/math] וחצי סנדביץ'
תרגול 5 (לואי ומני) · עמ' 1: המשפט מנה ⇒ שורש (בניסוח [math]\displaystyle{ \frac{a_n}{a_{n-1}} }[/math], לסדרה חיובית) עם [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{n}\to1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{n!}\to\infty }[/math]; עמ' 3: [math]\displaystyle{ \frac{3^n}{2^{n^2}}\to0 }[/math] בדרך אחרת: המנה [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}\le1 }[/math] מראה שהסדרה מונוטונית, ומשם נסיגה
![הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\frac{n}{2^n} }[/math] דרך כלל המנה. משמאל: המנות [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{2n} }[/math] שואפות ל־[math]\displaystyle{ L=\frac12 }[/math] (הקו הירוק), שקטן מהסף [math]\displaystyle{ 1 }[/math] (הקו המקווקו). לכל [math]\displaystyle{ n>K=2 }[/math] המנות קטנות מ־[math]\displaystyle{ q=\frac{1+L}2=\frac34 }[/math] (הקו האופקי המנוקד; במקום [math]\displaystyle{ K }[/math] עצמו המנה שווה בדיוק ל־[math]\displaystyle{ q }[/math]). מימין: הסדרה עצמה (הנקודות המלאות). כיוון שלכל [math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_{n+1}<q\,a_n }[/math], מקבלים באינדוקציה [math]\displaystyle{ a_n\le a_3q^{n-3} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math]: הסדרה כלואה בין [math]\displaystyle{ 0 }[/math] לבין סדרה הנדסית עם מנה [math]\displaystyle{ q<1 }[/math] (העיגולים החלולים והאזור התכול), ששואפת לאפס, ולכן לפי משפט הסנדביץ' גם [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math]. זה רעיון ההוכחה של סעיף (ב), והוא מדייק את ההסבר מהסרטון: אם המנה בערך קבועה, הסדרה היא בערך סדרה הנדסית.](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c2-11.png)