בקצרה: כשמעלים בחזקה מספר הגדול מאחד, החזקות גדלות בלי גבול, גם כשהמספר קרוב מאוד לאחד (למשל 1.001); וכשמעלים בחזקה מספר בין אפס לאחד, החזקות מתכווצות לאפס. המשפט בדף זה אומר שכך מתנהגת גם הסדרה [math]\displaystyle{ (a_n)^n }[/math] כשהבסיס הוא סדרה חיובית: מה שקובע הוא רק הגבול של הבסיס, גדול מאחד או קטן מאחד, ולא האיברים עצמם. כשגבול הבסיס שווה לאחד בדיוק המשפט אינו אומר דבר: זה המקרה הבעייתי "אחד בחזקת אינסוף", שבו התוצאה יכולה להיות אחד, אינסוף, ואפילו המספר [math]\displaystyle{ e }[/math].
▶ ההרצאה: גבול שונה מאחד בחזקת אינסוף
משמאל שלוש סדרות חיוביות שמשמשות בסיס: [math]\displaystyle{ a_n=1.2-\frac1n }[/math] (עיגולים מלאים) ששואפת ל־[math]\displaystyle{ 1.2 }[/math], [math]\displaystyle{ c_n=0.8+\frac1n }[/math] (עיגולים חלולים) ששואפת ל־[math]\displaystyle{ 0.8 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ d_n=1+\frac1n }[/math] (מעוינים אפורים) ששואפת ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]. מימין החזקות ה־[math]\displaystyle{ n }[/math]־יות שלהן. ארבעת האיברים הראשונים של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] קטנים מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], אבל הגבול [math]\displaystyle{ 1.2 }[/math] גדול מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן לפי משפט 2.6.1(א) [math]\displaystyle{ (a_n)^n\to\infty }[/math]; ארבעת האיברים הראשונים של [math]\displaystyle{ c_n }[/math] גדולים מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], אבל הגבול [math]\displaystyle{ 0.8 }[/math] קטן מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן לפי משפט 2.6.1(ב) [math]\displaystyle{ (c_n)^n\to0 }[/math]. כל איברי [math]\displaystyle{ d_n }[/math] גדולים מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], אבל הגבול שלה הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math] והמשפט אינו חל: החזקות [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n }[/math] אינן שואפות לאינסוף, ונשארות ברצועה התכולה שבין [math]\displaystyle{ 2 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ 3 }[/math] (החסם [math]\displaystyle{ 2 }[/math] נובע מאי־שוויון ברנולי; בסעיף 2.9 נראה שהן שואפות למספר [math]\displaystyle{ e\approx2.718 }[/math]).
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית כך ש [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to a }[/math]. אזי:
(א) אם [math]\displaystyle{ a>1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (a_n)^n\to\infty }[/math].
(ב) אם [math]\displaystyle{ a<1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (a_n)^n\to0 }[/math].
מסקנה 2.6.2
יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math].
(א) אם [math]\displaystyle{ a>1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a^n\to\infty }[/math].
(ב) אם [math]\displaystyle{ 0<a<1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a^n\to0 }[/math].
(א) הפונקציה [math]\displaystyle{ \ln }[/math] עולה ממש ו־[math]\displaystyle{ 1<2<e }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ 0<\ln2<1 }[/math] (כי [math]\displaystyle{ \ln1=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \ln e=1 }[/math]). לפי מסקנה 2.6.2(ב) מתקיים [math]\displaystyle{ (\ln2)^n\to0 }[/math].
(ב) המשפט והמסקנה עוסקים רק בבסיס חיובי, ולכן נעבור לערך המוחלט: [math]\displaystyle{ |(-0.9)^n|=0.9^n }[/math], וכיוון ש [math]\displaystyle{ 0<0.9<1 }[/math], לפי מסקנה 2.6.2(ב) [math]\displaystyle{ 0.9^n\to0 }[/math]. לפי מסקנה 2.2.2 ([math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ |a_n|\to0 }[/math]) מתקיים [math]\displaystyle{ (-0.9)^n\to0 }[/math].
(ג) נפריד את החזקות: [math]\displaystyle{ \frac{2^{n+3}}{5^{n-2}}=\frac{2^3\cdot5^2\cdot2^n}{5^n} }[/math] [math]\displaystyle{ =200\left(\frac25\right)^n }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ 0<\frac25<1 }[/math], לפי מסקנה 2.6.2(ב) [math]\displaystyle{ \left(\frac25\right)^n\to0 }[/math], ולפי אריתמטיקה של גבולות (מכפלה בסדרה הקבועה [math]\displaystyle{ 200 }[/math]) הגבול הוא [math]\displaystyle{ 200\cdot0=0 }[/math].
שימו לב: כשהבסיס קטן מ־[math]\displaystyle{ -1 }[/math] או שווה לו, אין גבול אפילו במובן הרחב. למשל הסדרה [math]\displaystyle{ (-2)^n }[/math] אינה חסומה, כי [math]\displaystyle{ |(-2)^n|=2^n\to\infty }[/math], ולכן אינה מתכנסת (משפט 2.1.14); והיא אינה שואפת ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math] או ל־[math]\displaystyle{ -\infty }[/math], כי אחרי כל מקום [math]\displaystyle{ K }[/math] יש מקום אי־זוגי שבו האיבר שלילי ומקום זוגי שבו האיבר חיובי.
מקור: מחברת ההרצאות תשע"ז עמ' 25 (G1-52 ו־G1 E30: הדוגמאות (1.5)^n→∞, (ln2)^n→0 עם הנימוק ln2<ln e=1, (0.5)^n→0, ו"אם |q|<1 אזי q^n→0" דרך הערך המוחלט); לוח תשפ"ד ל5 ע28 (R5: 2^n, 0.12^n, 1.0001^n); XI X17 (G3; המופע 2^{n+3}/5^{n−2}=200(2/5)^n, פתרון ארז); מאגר 2.6-01, 2.6-02, 2.6-06 (◆, ק' 1, בוחן ✓); הערת המרצה למסקנה 2.6.2 (|q|<1 עם טענה 2.2.1; q≤−1 בלי גבול גם במובן הרחב)
(א) נסמן [math]\displaystyle{ a_n=\frac{3n-2}{2n+1} }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 3n-2\ge1>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 2n+1>0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math]. נחלק מונה ומכנה ב־[math]\displaystyle{ n }[/math]: [math]\displaystyle{ a_n=\frac{3-\frac2n}{2+\frac1n} }[/math] [math]\displaystyle{ \to\frac{3-0}{2+0}=\frac32 }[/math] (אריתמטיקה של גבולות: [math]\displaystyle{ \frac1n\to0 }[/math], וגבול המכנה [math]\displaystyle{ 2\ne0 }[/math]). כיוון ש [math]\displaystyle{ \frac32>1 }[/math], לפי משפט 2.6.1(א) [math]\displaystyle{ (a_n)^n\to\infty }[/math].
(ב) נסמן [math]\displaystyle{ b_n=\frac{n^2+5}{3n^2+1} }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ b_n>0 }[/math]. נחלק מונה ומכנה ב־[math]\displaystyle{ n^2 }[/math]: [math]\displaystyle{ b_n=\frac{1+\frac5{n^2}}{3+\frac1{n^2}} }[/math] [math]\displaystyle{ \to\frac{1+0}{3+0}=\frac13 }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ \frac13<1 }[/math], לפי משפט 2.6.1(ב) [math]\displaystyle{ (b_n)^n\to0 }[/math].
האיברים הראשונים אינם משנים דבר: [math]\displaystyle{ a_1=\frac13 }[/math], [math]\displaystyle{ a_2=\frac45 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_3=1 }[/math] אינם גדולים מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ואילו [math]\displaystyle{ b_1=\frac32>1 }[/math], ובכל זאת התשובות הן [math]\displaystyle{ \infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]. המשפט דורש רק שהגבול של הבסיס יהיה גדול מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] או קטן מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math].
הנימוק אינו "מציבים את הגבול בבסיס": הצבה חלקית כזו אסורה, כי עם הבסיס [math]\displaystyle{ 1+\frac1n\to1 }[/math] היא הייתה נותנת [math]\displaystyle{ 1^n=1 }[/math], ואילו [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n\to e }[/math] (סעיף 2.9). הנימוק הוא משפט 2.6.1, והוא חל רק כי גבול הבסיס שונה מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math].
מקור: דף תרגילי החזרה לבוחן של ארז, 25.12.2016 (HazaraBohanInfi12016.pdf, שאלה 6א: ((n²+5)/(3n²+1))^n, תשובה 0, עם פתרון; W6c); חוברת התרגילים של צבאן TB 3.6 (G7: ((3n−2)/(2n+1))^n→∞, "מלכודת: הבסיס שואף ל־3/2"); מאגר 2.8-04 (◆, ק' 2, בוחן ✓); תמליל 17 (hFa7Nv5o05M) 01:52–02:26 (t=112s): המרצה מדגיש שהדרישה היא על הגבול של הסדרה ולא על איבריה; האזהרה מפני הצבה חלקית: הערת המרצה להגדרה 2.12.2 ולוח 15.11.20 (R1: "(1+1/n)^n≠1^n")
דוגמה 3: שני גבולות ממבחנים: [math]\displaystyle{ \frac{7^n}{2^{n^2}} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{6^n}{5^n+4^n} }[/math]
(א) כיוון ש [math]\displaystyle{ 2^{n^2}=\left(2^n\right)^n }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{7^n}{2^{n^2}}=\left(\frac7{2^n}\right)^n }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ c_n=\frac7{2^n} }[/math]; זו סדרה חיובית.
לפי מסקנה 2.6.2(א) [math]\displaystyle{ 2^n\to\infty }[/math], ולכן לפי משפט 2.1.9 [math]\displaystyle{ \frac1{2^n}\to0 }[/math], ולפי אריתמטיקה של גבולות [math]\displaystyle{ c_n=7\cdot\frac1{2^n}\to0 }[/math]. הגבול [math]\displaystyle{ 0 }[/math] קטן מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן לפי משפט 2.6.1(ב) [math]\displaystyle{ \frac{7^n}{2^{n^2}}=(c_n)^n\to0 }[/math].
דרך נוספת, בלי משפט 2.6.1: לכל [math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 2^n\ge8 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ 0<c_n\le\frac78 }[/math], ומכאן [math]\displaystyle{ 0<(c_n)^n\le\left(\frac78\right)^n }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ \left(\frac78\right)^n\to0 }[/math] (מסקנה 2.6.2(ב)), לפי משפט הסנדביץ' [math]\displaystyle{ (c_n)^n\to0 }[/math] (לפי מסקנה 2.1.17 מספיק שאי־השוויון מתקיים החל ממקום מסוים).
(ב) לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 4^n\le5^n }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ 5^n+4^n\le2\cdot5^n }[/math], ומכאן [math]\displaystyle{ \frac{6^n}{5^n+4^n}\ge\frac{6^n}{2\cdot5^n} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac12\left(\frac65\right)^n }[/math].
כיוון ש [math]\displaystyle{ \frac65>1 }[/math], לפי מסקנה 2.6.2(א) [math]\displaystyle{ \left(\frac65\right)^n\to\infty }[/math]. מכאן גם [math]\displaystyle{ \frac12\left(\frac65\right)^n\to\infty }[/math]: יהי [math]\displaystyle{ M>0 }[/math]; קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left(\frac65\right)^n>2M }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \frac12\left(\frac65\right)^n>M }[/math].
לפי חצי סנדביץ' [math]\displaystyle{ \frac{6^n}{5^n+4^n}\to\infty }[/math]. החזקה עם הבסיס הגדול ביותר היא שקובעת: [math]\displaystyle{ 6^n }[/math] במונה מול [math]\displaystyle{ 5^n }[/math] במכנה.
מקור: (א) מבחן דמה תשע"ז, 88-132 (מתמטיקה, ארז), שאלה 1ג: 17Infi1DumbTest.pdf ופתרון 17Infi1DumbTestSol.pdf (W4a, E17D-1ג: "(7/2^n)^n → 0^∞ = 0"); מאגר 2.6-04 (◆, ק' 1–2, בוחן ✓; שם גם 3^n/2^{n²} ≤ (3/4)^n, HW-A 3.1ה). (ב) מועד א' תשפ"א, החממה (88-132, מבחן XI), שאלה 2ב, גרסת הוויקי (W4a, H21A-2ב: 6^n/(5^n+4^n), תשובה ∞, פתרון לוח של ארז); טיוטת "מבחנים לפי נושא" §2.4; החסם מלמטה וחצי סנדביץ' כמו בהוכחת משפט 2.6.1(א) בתמליל 17 (hFa7Nv5o05M) 04:11–04:24 (t=251s)
דוגמה 4: שאלת בוחן: מה קורה כשגבול הבסיס הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math]?
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית כך ש [math]\displaystyle{ a_n>1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to1 }[/math]. הוכיחו או הפריכו: (א) [math]\displaystyle{ (a_n)^n\to1 }[/math]. (ב) [math]\displaystyle{ (a_n)^n\to\infty }[/math].
שתי הטענות אינן נכונות: גבול הבסיס הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן משפט 2.6.1 אינו חל, ונמצא דוגמה נגדית לכל אחת.
(א) תהי [math]\displaystyle{ a_n=1+\frac1{\sqrt n} }[/math]. הסדרה [math]\displaystyle{ \sqrt n }[/math] שואפת לאינסוף: יהי [math]\displaystyle{ M>0 }[/math]; לפי ארכימדס קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ K>M^2 }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \sqrt n>\sqrt{M^2}=M }[/math]. לכן לפי משפט 2.1.9 [math]\displaystyle{ \frac1{\sqrt n}\to0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_n\to1 }[/math], וכמובן [math]\displaystyle{ a_n>1 }[/math].
לפי אי־שוויון ברנולי עם [math]\displaystyle{ x=\frac1{\sqrt n}>-1 }[/math]: [math]\displaystyle{ (a_n)^n\ge1+\frac{n}{\sqrt n}=1+\sqrt n }[/math] [math]\displaystyle{ >\sqrt n }[/math], ולכן לפי חצי סנדביץ' [math]\displaystyle{ (a_n)^n\to\infty }[/math], ולפי יחידות הגבול היא אינה שואפת ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math].
(ב) תהי [math]\displaystyle{ b_n=1+\frac1{n^2} }[/math]; אזי [math]\displaystyle{ b_n>1 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ b_n\to1 }[/math] כי [math]\displaystyle{ \frac1{n^2}=\frac1n\cdot\frac1n\to0 }[/math]. נעבור להופכי, כמו בהוכחת סעיף (ב) של המשפט: [math]\displaystyle{ \frac1{b_n}=\frac{n^2}{n^2+1} }[/math] [math]\displaystyle{ =1-\frac1{n^2+1} }[/math]. לפי ברנולי עם [math]\displaystyle{ x=-\frac1{n^2+1}>-1 }[/math]: [math]\displaystyle{ \left(\frac1{b_n}\right)^n\ge1-\frac{n}{n^2+1} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{n^2-n+1}{n^2+1}>0 }[/math]. שני האגפים חיוביים, והמעבר להופכיים הופך את אי־השוויון. יחד עם [math]\displaystyle{ (b_n)^n\ge1 }[/math] (כי [math]\displaystyle{ b_n>1 }[/math]) מתקבל לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]: [math]\displaystyle{ 1\le(b_n)^n\le\frac{n^2+1}{n^2-n+1} }[/math]. האגף הימני שואף ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] (חלוקת מונה ומכנה ב־[math]\displaystyle{ n^2 }[/math] ואריתמטיקה של גבולות), ולכן לפי משפט הסנדביץ' [math]\displaystyle{ (b_n)^n\to1 }[/math], ולפי יחידות הגבול היא אינה שואפת לאינסוף.
המסקנה: הגבול של [math]\displaystyle{ (a_n)^n }[/math] אינו נקבע לפי [math]\displaystyle{ a_n\to1 }[/math] בלבד, ולכן "[math]\displaystyle{ 1^\infty }[/math]" הוא מקרה בעייתי. כמו שנאמר בסרטון, הגבול יכול להיות אינסוף, [math]\displaystyle{ 1 }[/math], וגם [math]\displaystyle{ e }[/math]: [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n\to e }[/math] (סעיף 2.9), אף שברנולי נותן רק [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n\ge2 }[/math].
מקור: הערת המרצה למשפט 2.6.1 ("ייתכן ו־1<a_n→1 ... '1^∞' אינו נקבע"); תמליל 17 (hFa7Nv5o05M) 02:03–02:24 (t=123s): "ייתכן שאיברי הסדרה an כולם גדולים מאחד אבל שואפים כלפי מטה ל-1 ... יכול להיות שהיא שואפת לאינסוף, יכול להיות שהיא שואפת ל-1, וגם יכול להיות שהיא שואפת ל-e" (הכתיב תוקן משגיאות התמלול); לוח הרצאה 10.11.20, מדמ"ח תשפ"א (R1-X25: למה (1+1/n)^n אינה שואפת לאינסוף? "אמרנו שאם הבסיס שואף ל1, המשפט לא אומר כלום"; ברנולי נותן רק ≥2); מאגר 2.4-25 (◆, ק' 1, בוחן ✓: "a_n→1 ⇒ a_n^n→1" אינו נכון, HW-A, TB 2.3). הדוגמאות הנגדיות 1+1/√n ו־1+1/n² וההוכחה ב־(ב) (ברנולי על ההופכי) נכתבו כאן, באותה שיטה כמו הוכחת המשפט בסרטון (02:34, 04:41)
טעויות נפוצות
לחשוב ש־[math]\displaystyle{ 1.001^n\to1 }[/math] כי הבסיס קרוב ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] (בסרטון, 0:44: "ממבט ראשון נוטים לחשוב שזה שואף לאחד, אבל זו טעות"): כל בסיס קבוע הגדול מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], קרוב ככל שיהיה, נותן חזקות ששואפות לאינסוף (מסקנה 2.6.2).
להפעיל את המשפט כשגבול הבסיס הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math]: כל איברי [math]\displaystyle{ 1+\frac1n }[/math] גדולים מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], אבל הגבול הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן אי אפשר להסיק ש [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n\to\infty }[/math], וגם לא ש [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n=1^n\to1 }[/math] (בפועל הגבול הוא [math]\displaystyle{ e }[/math]); בלוח ההרצאה (10.11.20): "אמרנו שאם הבסיס שואף ל1, המשפט לא אומר כלום".
לבדוק את האיברים במקום את הגבול: האיבר הראשון של הבסיס [math]\displaystyle{ \frac{n^2+5}{3n^2+1} }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac32>1 }[/math], אבל גבול הבסיס הוא [math]\displaystyle{ \frac13 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \left(\frac{n^2+5}{3n^2+1}\right)^n\to0 }[/math]; המשפט דורש תנאי על הגבול של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] בלבד.
להפעיל את המשפט על בסיס שלילי: המשפט דורש [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ (-0.9)^n }[/math] עוברים לערך המוחלט ([math]\displaystyle{ 0.9^n\to0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ (-0.9)^n\to0 }[/math]), ואילו ל־[math]\displaystyle{ (-2)^n }[/math] אין גבול אפילו במובן הרחב, כי הסימנים מתחלפים, ולא "[math]\displaystyle{ (-2)^n\to\infty }[/math]".
לנסות להוכיח את סעיף (ב) כמו את סעיף (א): ברנולי נותן רק [math]\displaystyle{ (a_n)^n\ge1+n(a_n-1) }[/math], וכאשר [math]\displaystyle{ a<1 }[/math] האגף הימני שואף למינוס אינסוף, וחסם מלרע כזה אינו אומר דבר (בסרטון, 4:24–4:37: "זה לא עוזר לנו בכלל"); לכן, כאשר [math]\displaystyle{ 0<a<1 }[/math], עוברים להופכי: [math]\displaystyle{ \frac1{a_n}\to\frac1a>1 }[/math] (ואם [math]\displaystyle{ a=0 }[/math], החל ממקום מסוים [math]\displaystyle{ 0<(a_n)^n\le a_n }[/math], וסנדביץ').
מועד א' תשפ"א (החממה) · שאלה 2ב: [math]\displaystyle{ \frac{6^n}{5^n+4^n} }[/math], כמו דוגמה 3(ב) (פתרון)
תרגילי חזרה לבוחן תשע"ז (קבוצת ארז) · שאלה 6א, 6ג: [math]\displaystyle{ \left(\frac{n^2+5}{3n^2+1}\right)^n }[/math] (דוגמה 2(ב)) ו־[math]\displaystyle{ \left(\frac{n^2+2n-1}{2n^2-3n-2}\right)^n }[/math], בסיס ששואף לגבול קטן מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], עם פתרונות
מבחן דמה תשע"ג (מדמ"ח) · שאלה 2b: [math]\displaystyle{ \left(\frac1n\right)^{\sqrt n} }[/math], "אפס בחזקת אינסוף" עם מעריך שאינו [math]\displaystyle{ n }[/math] (פתרון)
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הסדרות
התכנסות במובן הרחב · הגדרת השאיפה לאינסוף, ו־[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{n!}\to\infty }[/math] בעזרת חסם מלמטה ששואף לאינסוף: אותו רעיון של חצי סנדביץ' כמו בהוכחת סעיף (א) של המשפט
![משמאל שלוש סדרות חיוביות שמשמשות בסיס: [math]\displaystyle{ a_n=1.2-\frac1n }[/math] (עיגולים מלאים) ששואפת ל־[math]\displaystyle{ 1.2 }[/math], [math]\displaystyle{ c_n=0.8+\frac1n }[/math] (עיגולים חלולים) ששואפת ל־[math]\displaystyle{ 0.8 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ d_n=1+\frac1n }[/math] (מעוינים אפורים) ששואפת ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]. מימין החזקות ה־[math]\displaystyle{ n }[/math]־יות שלהן. ארבעת האיברים הראשונים של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] קטנים מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], אבל הגבול [math]\displaystyle{ 1.2 }[/math] גדול מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן לפי משפט 2.6.1(א) [math]\displaystyle{ (a_n)^n\to\infty }[/math]; ארבעת האיברים הראשונים של [math]\displaystyle{ c_n }[/math] גדולים מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], אבל הגבול [math]\displaystyle{ 0.8 }[/math] קטן מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן לפי משפט 2.6.1(ב) [math]\displaystyle{ (c_n)^n\to0 }[/math]. כל איברי [math]\displaystyle{ d_n }[/math] גדולים מ־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], אבל הגבול שלה הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math] והמשפט אינו חל: החזקות [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n }[/math] אינן שואפות לאינסוף, ונשארות ברצועה התכולה שבין [math]\displaystyle{ 2 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ 3 }[/math] (החסם [math]\displaystyle{ 2 }[/math] נובע מאי־שוויון ברנולי; בסעיף 2.9 נראה שהן שואפות למספר [math]\displaystyle{ e\approx2.718 }[/math]).](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c2-10.png)