גבולות ורציפות של פונקציות - תרגילים עם פתרונות (אינפי 1)
הופריכו = הוכיחו או הפריכו: קבעו אם הטענה נכונה, ואז הוכיחו אותה או תנו דוגמה נגדית. מספרי התרגילים הם כמו בקובץ ה-PDF של האוסף. התרגילים המסומנים ב-★ קשים יותר (★★★ = אתגר).
חומר עיוני: אינפי 1/הגדרת הגבול לפי קושי · אינפי 1/הגדרת הגבול לפי היינה · אינפי 1/פונקציות רציפות · אינפי 1/מיון נק' אי רציפות · אינפי 1/רציפות במ"ש
תרגיל 10: נקודת שבת לפונקציה עולה ★★
תהי [math]\displaystyle{ f:\left[ a,b \right]\to [a,b] }[/math] פונקציה עולה (לאו דווקא רציפה), הופריכו: קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in [a,b] }[/math] עבורה [math]\displaystyle{ f\left( c \right)=c }[/math].
הוכחה:
כיוון ש[math]\displaystyle{ f\left( a \right)\in [a,b] }[/math] נובע כי [math]\displaystyle{ a\le f(a) }[/math].
נביט בקבוצה
- [math]\displaystyle{ A=\left\{ x\in [a,b]|x\le f(x) \right\} }[/math]
הרגע הוכחנו שהיא אינה ריקה, וכמובן שהיא חסומה ולכן קיים לה חסם עליון
- [math]\displaystyle{ M=\sup {A}\in [a,b] }[/math]
לכל [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ x\le M }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f\left( x \right)\le f(M) }[/math] (כי הפונקציה עולה).
אבל כיוון ש [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] נובע כי
- [math]\displaystyle{ x\le f\left( x \right)\le f(M) }[/math]
כלומר [math]\displaystyle{ f(M) }[/math] היא חסם מלעיל של הקבוצה A, ומכיוון ש[math]\displaystyle{ M }[/math] הוא החסם העליון הוא חסם המלעיל הקטן ביותר ונובע כי:
- [math]\displaystyle{ M\le f\left( M \right) }[/math]
לכן, שוב כיוון שהפונקציה עולה,
- [math]\displaystyle{ f\left( M \right)\le f\left( f\left( M \right) \right) }[/math]
כלומר בעצם [math]\displaystyle{ f\left( M \right)\in A }[/math], ולכן היא קטנה מהחסם העליון של הקבוצה כלומר [math]\displaystyle{ f\left( M \right)\le M }[/math] וביחד סה"כ [math]\displaystyle{ M=f\left( M \right) }[/math].
נבחר [math]\displaystyle{ c=M }[/math] וקיבלנו בדיוק את מה שרצינו.
תרגיל 11: נקודת שבת שבה הפונקציה רציפה ★★★
תהי [math]\displaystyle{ f:\left[ a,b \right]\to [a,b] }[/math] פונקציה עולה (לאו דווקא רציפה), הופריכו: קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in [a,b] }[/math] עבורה [math]\displaystyle{ f\left( c \right)=c }[/math],
כך ש [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בנקודה [math]\displaystyle{ c }[/math] (אם [math]\displaystyle{ c }[/math] בקצה, אזי ברציפות אנחנו מתכוונים שהגובה בנקודה שווה לגבול החד צדדי בנקודה).
הוכחה: כיוון שהפונקציה עולה וחסומה בכל נקודה קיימים גבולות חד צדדיים סופיים.
נגדיר סדרת קטעים באופן הבא;
הקטע הראשון הוא [math]\displaystyle{ \left[ {a}_{1},{b}_{1} \right]=[a,b] }[/math]
אם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {a}_{1}^{+}}{f(x)}={a}_{1} }[/math] אזי כיוון שהפונקציה מונוטונית וחסומה מלמטה ע"י [math]\displaystyle{ {a}_{1}=a }[/math] נובע כי [math]\displaystyle{ f\left( {a}_{1} \right)={a}_{1} }[/math] ולכן הפונקציה רציפה בקצה זה וכן [math]\displaystyle{ f\left( {a}_{1} \right)={a}_{1} }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ c={a}_{1} }[/math] וסיימנו. אחרת, מתקיים כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {a}_{1}^{+}}{f(x)}>{a}_{1} }[/math].
באופן דומה, אם לא סיימנו אז [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {b}_{1}^{-}}{f(x)}<{b}_{1} }[/math].
נשמור על התכונה של הקטעים בה הגבול של הקצה השמאלי גדול מערך ציר האיקס של הקצה השמאלי, והגבול של הקצה הימני קטן מערך ציר האיקס של הקצה הימני.
נביט באמצע הקטע [math]\displaystyle{ {d}_{1}=\frac{{a}_{1}+{b}_{1}}{2} }[/math].
אם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {d}_{1}^{-}}{f(x)}<{d}_{1} }[/math] אזי נגדיר את הקטע הבא להיות
- [math]\displaystyle{ \left[ {a}_{2},{b}_{2} \right]=\left[ {a}_{1},{d}_{1} \right] }[/math]
אם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {d}_{1}^{+}}{f(x)}>d_1 }[/math] אזי נגדיר את הקטע הבא להיות
- [math]\displaystyle{ \left[ {a}_{2},{b}_{2} \right]=[{d}_{1},{b}_{1}] }[/math]
אחרת, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {d}_{1}^{-}}{f(x)}\ge {d}_{1} }[/math]וכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {d}_{1}^{+}}{f(x)}\le d_1 }[/math] וכיוון שהפונקציה מונוטונית עולה נובע כי
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {d}_{1}^{-}}{f(x)}=\lim_{x\to {d}_{1}^{+}}{f(x)}={d}_{1} }[/math]
וכיוון שבהכרח
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {d}_{1}^{-}}{f\left( x \right)}\le f\left( {d}_{1} \right)\le \lim_{x\to {d}_{1}^{+}}{f\left( x \right)} }[/math]
נובע כי [math]\displaystyle{ f\left( {d}_{1} \right)={d}_{1} }[/math] והפונקציה רציפה בנקודה זו, ונבחר [math]\displaystyle{ c={d}_{1} }[/math] וסיימנו.
כך אם לא נסיים אחר מספר סופי של צעדים, נבנה סדרת קטעים אינסופית. (בדומה להוכחת משפט ערך הביניים) הצדדים השמאליים של הקטעים מהווים סדרה מונוטונית עולה, הצדדים הימניים של הקטעים מהווים סדרה מונוטונית יורדת, שתי הסדרות חסומות ב[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], ואורך הקטעים שואף לאפס.
לכן קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in [a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ {a}_{n},{b}_{n}\to c }[/math]
לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים כי
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {c}^{-}}{f\left( x \right)}\ge \lim_{x\to {a}_{n}^{+}}{f\left( x \right)}>{a}_{n} }[/math]
וכיוון ש [math]\displaystyle{ {a}_{n}\to c }[/math] נובע כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {c}^{-}}{f(x)}\ge c }[/math]
באופן דומה לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים כי
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {c}^{+}}{f(x)}\le \lim_{x\to {b}_{n}^{-}}{f\left( x \right)}<{b}_{n} }[/math]
וכיוון ש [math]\displaystyle{ {b}_{n}\to c }[/math] נובע כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {c}^{+}}{f(x)}\le c }[/math]
סה"כ כיוון שהפונקציה עולה נקבל כי
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {c}^{-}}{f\left( x \right)}=\lim_{x\to {c}^{+}}{f(x)}=c }[/math]
ולכן
- [math]\displaystyle{ f\left( c \right)=c }[/math]
והפונקציה רציפה בנקודה זו.
תרגיל 12: גבול של f(x)/x ★★
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] המקיימת כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}{f(x)}=0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}{\frac{f\left( 2x \right)-f(x)}{x}}=0 }[/math], הופריכו: [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}{\frac{f\left( x \right)}{x}}=0 }[/math].
הוכחה:
יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon >0 }[/math]
כיוון ש [math]\displaystyle{ \frac{f\left( 2x \right)-f(x)}{x}\to 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ {\delta}_{1}>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ \left| x \right|<{\delta}_{1} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ \left| \frac{f\left( 2x \right)-f(x)}{x} \right|<\frac{\varepsilon}{2} }[/math]
כעת, לכל [math]\displaystyle{ n>0 }[/math] נביט בביטוי הבא:
- [math]\displaystyle{ \left| \frac{f\left( x \right)}{x} \right| }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left| \frac{f\left( x \right)-f\left( \frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}}x \right)+f\left( \frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}}x \right)-f\left( \frac{{2}^{n-2}}{{2}^{n}}x \right)+f\left( \frac{{2}^{n-2}}{{2}^{n}}x \right)-\ldots-f\left( \frac{1}{{2}^{n}}x \right)+f\left( \frac{1}{{2}^{n}}x \right)}{x} \right|\le }[/math]
- [math]\displaystyle{ \le \frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}}\left| \frac{f\left( x \right)-f\left( \frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}}x \right)}{\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}}x} \right|+\frac{{2}^{n-2}}{{2}^{n}}\left| \frac{f\left( \frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}}x \right)-f\left( \frac{{2}^{n-2}}{{2}^{n}}x \right)}{\frac{{2}^{n-2}}{{2}^{n}}x} \right|+\ldots+\frac{1}{{2}^{n}}\left| \frac{f\left( \frac{2}{{2}^{n}}x \right)-f\left( \frac{1}{{2}^{n}}x \right)}{\frac{x}{{2}^{n}}} \right|+\left| \frac{f\left( \frac{1}{{2}^{n}}x \right)}{x} \right| }[/math]
אם [math]\displaystyle{ \left| x \right|<{\delta}_{1} }[/math] אז לכל [math]\displaystyle{ 1\le k\le n }[/math] מתקיים כי
- [math]\displaystyle{ \frac{{2}^{k-1}}{{2}^{n}}\left| \frac{f\left( \frac{{2}^{k}}{{2}^{n}}x \right)-f\left( \frac{{2}^{k-1}}{{2}^{n}}x \right)}{\frac{{2}^{k-1}}{{2}^{n}}x} \right| }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{{2}^{k-1}}{{2}^{n}}\left| \frac{f\left( 2\cdot \frac{{2}^{k-1}}{{2}^{n}}x \right)-f\left( \frac{{2}^{k-1}}{{2}^{n}}x \right)}{\frac{{2}^{k-1}}{{2}^{n}}x} \right|\le \frac{{2}^{k-1}}{{2}^{n}}\cdot \frac{\varepsilon}{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{1}{{2}^{n-k+1}}\cdot \frac{\varepsilon}{2} }[/math]
ולכן
- [math]\displaystyle{ \frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}}\left| \frac{f\left( x \right)-f\left( \frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}}x \right)}{\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}}x} \right|+\frac{{2}^{n-2}}{{2}^{n}}\left| \frac{f\left( \frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}}x \right)-f\left( \frac{{2}^{n-2}}{{2}^{n}}x \right)}{\frac{{2}^{n-2}}{{2}^{n}}x} \right|+\ldots+\frac{1}{{2}^{n}}\left| \frac{f\left( \frac{2}{{2}^{n}}x \right)-f\left( \frac{1}{{2}^{n}}x \right)}{\frac{x}{{2}^{n}}} \right|\le }[/math]
- [math]\displaystyle{ \le \left( \frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\ldots+\frac{1}{{2}^{n}} \right)\frac{\varepsilon}{2}<\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\ldots+\frac{1}{{2}^{n}}+\ldots \right)\frac{\varepsilon}{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =1\cdot \frac{\varepsilon}{2} }[/math]
(המעבר האחרון הוא סכום סדרה הנדסית אינסופית.)
כעת, יהי [math]\displaystyle{ {x}_{0} }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ \left| {x}_{0} \right|<{\delta}_{1} }[/math].
כיוון ש[math]\displaystyle{ f\left( x \right)\to 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ {\delta}_{2}>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ \left| x \right|<{\delta}_{2} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ \left| \frac{f\left( x \right)}{{x}_{0}} \right|<\frac{\varepsilon}{2} }[/math].
נבחר [math]\displaystyle{ n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \left| \frac{{x}_{0}}{{2}^{n}} \right|<{\delta}_{2} }[/math] ולכן
- [math]\displaystyle{ \left| \frac{f\left( \frac{1}{{2}^{n}}{x}_{0} \right)}{{x}_{0}} \right|<\frac{\varepsilon}{2} }[/math]
ביחד, לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] המקיים כי [math]\displaystyle{ \left| x \right|<{\delta}_{1} }[/math] מתקיים כי
- [math]\displaystyle{ \left| \frac{f\left( x \right)}{x} \right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\varepsilon }[/math]
כפי שרצינו.
תרגיל 15: פונקציה מונוטונית ומקסימום
תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] רציפה בכל הממשיים, כך שהיא מונוטונית (עולה או יורדת), הופריכו: אין ל[math]\displaystyle{ f }[/math] מקסימום.
הפרכה: פונקציה קבועה הינה מונוטונית ומקבלת את המקסימום (והמינימום) בכל נקודה.
תרגיל 16: גבול באינסוף של פונקציה מונוטונית וחסומה
תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] מונוטונית עולה וחסומה, הופריכו: [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}{f(x)} }[/math] קיים וסופי.
הוכחה: ההוכחה דומה לסדרות מונוטוניות וחסומות.
נסמן את החסם העליון של הפונקציה ב[math]\displaystyle{ M }[/math].
לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon >0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ K\in \mathbb{R} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ M-\varepsilon <f\left( K \right)\le M }[/math] וכיוון שהפונקציה עולה לכל [math]\displaystyle{ x>K }[/math] מתקיים כי
- [math]\displaystyle{ M-\varepsilon <f\left( K \right)\le f\left( x \right)\le M<M+\varepsilon }[/math]
והוכחנו כי
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}{f\left( x \right)}=M }[/math]
אפשר להוכיח באופן דומה כי אם הפונקציה אינה חסומה מלעיל היא שואפת לאינסוף באינסוף.
תרגיל 17: תנאי ליפשיץ ורציפות
יהי [math]\displaystyle{ K\in \mathbb{R} }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] המקיימת לכל [math]\displaystyle{ {x}_{1},{x}_{2}\in [a,b] }[/math] כי [math]\displaystyle{ \left| f\left( {x}_{1} \right)-f\left( {x}_{2} \right) \right|\le K|{x}_{1}-{x}_{2}| }[/math], הופריכו: [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].
הוכחה:
תהי [math]\displaystyle{ {x}_{n}\in [a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ {x}_{n}\to {x}_{0} }[/math] צ"ל כי [math]\displaystyle{ f\left( {x}_{n} \right)\to f\left( {x}_{0} \right) }[/math]
זה שקול לכך ש [math]\displaystyle{ f\left( {x}_{n} \right)-f\left( {x}_{0} \right)\to 0 }[/math] אכן
- [math]\displaystyle{ \left| f\left( {x}_{n} \right)-f\left( {x}_{0} \right) \right|\le K\left| {x}_{n}-{x}_{0} \right|\to 0 }[/math]
ולפי חצי סנדוויץ' על הרצפה סיימנו.
תרגיל 18: רציפות לעומת רציפות במידה שווה
תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] רציפה בכל הממשיים, ותהיינה סדרות [math]\displaystyle{ {a}_{n},{b}_{n} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ {a}_{n}-{b}_{n}\to 0 }[/math], הופריכו: [math]\displaystyle{ f\left( {a}_{n} \right)-f\left( {b}_{n} \right)\to 0 }[/math].
הפרכה:
נביט בפונקציה [math]\displaystyle{ f\left( x \right)={x}^{2} }[/math] שהינה רציפה בכל הממשיים, ונביט בזוג הסדרות
- [math]\displaystyle{ {a}_{n}=n+\frac{1}{n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ {b}_{n}=n }[/math]
כעת
- [math]\displaystyle{ {a}_{n}-{b}_{n}=\frac{1}{n}\to 0 }[/math]
אך
- [math]\displaystyle{ f\left( {a}_{n} \right)-f\left( {b}_{n} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ ={\left( n+\frac{1}{n} \right)}^{2}-{n}^{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =2+\frac{1}{{n}^{2}}\to 2\ne 0 }[/math]
תרגיל 21: פונקציות רציפות ששוות ברציונליים
תהיינה [math]\displaystyle{ f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] רציפות בכל הממשיים כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{Q} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f\left( x \right)=g(x) }[/math], הופריכו: [math]\displaystyle{ f=g }[/math].
הוכחה:
תהי נקודה [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math] נבחר סדרה [math]\displaystyle{ {x}_{n}\to x }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ {x}_{n}\in \mathbb{Q} }[/math]
כיוון שהפונקציות רציפות מתקיים
- [math]\displaystyle{ f\left( {x}_{n} \right)\to f\left( x \right), g\left( {x}_{n} \right)\to g\left( x \right) }[/math]
אך לפי הנתון [math]\displaystyle{ f\left( {x}_{n} \right)=g({x}_{n}) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f\left( x \right)=g(x) }[/math].
תרגיל 22: פונקציה שנקבעת לפי ערכיה ברציונליים
תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] רציפה לכל [math]\displaystyle{ x\ne 1 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ p,q\in \mathbb{Z} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ q\ne 0,q\ne p }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f\left( \frac{p}{q} \right)=\frac{q}{q-p} }[/math].
הופריכו: [math]\displaystyle{ f\left( x \right)=\frac{1}{1-x} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ 1\ne x\in \mathbb{R} }[/math].
הוכחה:
תהי [math]\displaystyle{ 1\ne x\in \mathbb{Q} }[/math]. קיימים [math]\displaystyle{ p,q\in \mathbb{Z} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ q\ne 0,q\ne p }[/math] וכן [math]\displaystyle{ x=\frac{p}{q} }[/math]. לכן
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{1-x} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{1}{1-\frac{p}{q}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{q}{q-p} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =f\left( \frac{p}{q} \right) }[/math]
כיוון שהפונקציות [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{1}{1-x} }[/math] רציפות לכל [math]\displaystyle{ x\ne 1 }[/math] ושוות על הרציונאליים ששונים מ1 הן שוות לכל [math]\displaystyle{ x\ne 1 }[/math] (בדומה לתרגיל קודם).
תרגיל 23: הרחבה רציפה מהרציונליים
תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] הרציפה בכל [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{Q} }[/math] הופריכו: קיימת [math]\displaystyle{ g:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] רציפה בכל הממשיים כך ש[math]\displaystyle{ f\left( x \right)=g(x) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{Q} }[/math].
הפרכה:
הפונקציה [math]\displaystyle{ f\left( x \right)=\frac{1}{x-\sqrt{2}} }[/math] רציפה בכל הרציונאליים. תהי [math]\displaystyle{ g }[/math] השווה ל[math]\displaystyle{ f }[/math] בכל הרציונאליים.
תהי [math]\displaystyle{ \sqrt{2}<{x}_{n}\to \sqrt{2} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ {x}_{n}\in \mathbb{Q} }[/math] אזי
- [math]\displaystyle{ g\left( {x}_{n} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =f\left( {x}_{n} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{1}{{x}_{n}-\sqrt{2}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left\{ \frac{1}{{0}^{+}} \right\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\infty }[/math]
לכן לפונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math] אין גבול סופי בנקודה [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math] ולכן אינה רציפה שם.
תרגיל 26: נקודות אי-רציפות של פונקציה מונוטונית
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] מונוטונית עולה המוגדרת בכל הממשיים, הופריכו: כל נקודת אי רציפות שלה היא ממין ראשון (קפיצתית).
הוכחה: ראשית נוכיח כי לא תתכן נקודת אי רציפות סליקה.
תהי [math]\displaystyle{ {x}_{0} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {x}_{0}}{f(x)}=L }[/math] קיים וסופי, נוכיח כי [math]\displaystyle{ L=f({x}_{0}) }[/math] ולכן הפונקציה רציפה בנקודה זו (ולכן לא תתכן נקודת אי רציפות סליקה).
כיוון שהפונקציה עולה, לכל [math]\displaystyle{ x<{x}_{0} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f\left( x \right)\le f({x}_{0}) }[/math] ולכן
- [math]\displaystyle{ L }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\lim_{x\to {x}_{0}^{-}}{f\left( x \right)}\le f\left( {x}_{0} \right) }[/math]
באופן דומה
- [math]\displaystyle{ L=\lim_{x\to {x}_{0}^{+}}{f\left( x \right)}\ge f({x}_{0}) }[/math]
וסה"כ קיבלנו כי [math]\displaystyle{ L\le f({x}_{0}) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ L\ge f({x}_{0}) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ L=f({x}_{0}) }[/math] כפי שרצינו.
תהי [math]\displaystyle{ {x}_{0} }[/math] כלשהי אזי כיוון שהפונקציה מונוטונית עולה.
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {x}_{0}^{-}}{f\left( x \right)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\sup_{x\in \left( -\infty,{x}_{0} \right)}{f\left( x \right)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {x}_{0}^{+}}{f\left( x \right)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\inf_{x\in \left( {x}_{0},\infty \right)}{f\left( x \right)} }[/math]
שימו לב שבקטע [math]\displaystyle{ (-\infty,{x}_{0}) }[/math] הפונקציה חסומה מלעיל ע"י [math]\displaystyle{ f({x}_{0}) }[/math] ובקטע [math]\displaystyle{ ({x}_{0},\infty) }[/math] הפונקציה חסומה מלרע ע"י [math]\displaystyle{ f({x}_{0}) }[/math].
(הוכחה דומה לכך בתרגיל קודם, ובהוכחה שסדרות מונוטוניות וחסומות מתכנסות)
כיוון ששני הגבולות החד צדדיים קיימים וסופיים, אם הם שווים מדובר בנקודת רציפות, ואם הם שונים מדובר בנקודת אי רציפות ממין ראשון (קפיצתית).
תרגיל 27: פונקציה מונוטונית ועל
תהי [math]\displaystyle{ f:\left[ a,b \right]\to [a,b] }[/math] מונוטונית ועל, הופריכו: [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].
הוכחה: תהי [math]\displaystyle{ {x}_{0}\in (a,b) }[/math]. בדומה לתרגיל קודם, כיוון שהפונקציה מונוטונית מתקיים כי הגבולות החד צדדיים קיימים וסופיים.
אם הם שווים, אזי כמו בתרגיל קודם, הפונקציה רציפה ב[math]\displaystyle{ {x}_{0} }[/math].
אחרת, אם
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {x}_{0}^{-}}{f\left( x \right)}<\lim_{x\to {x}_{0}^{+}}{f\left( x \right)} }[/math]
כיוון ש
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {x}_{0}^{-}}{f\left( x \right)}\le f\left( {x}_{0} \right)\le \lim_{x\to {x}_{0}^{+}}{f\left( x \right)} }[/math]
נובע שאחד הצדדים לפחות אינו שווה, נטפל באחד המקרים והשני דומה.
נניח [math]\displaystyle{ f\left( {x}_{0} \right)<\lim_{x\to {x}_{0}^{+}}{f(x)} }[/math] נבחר נקודה [math]\displaystyle{ y\in [a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f\left( {x}_{0} \right)<y<\lim_{x\to {x}_{0}^{+}}{f(x)} }[/math] (למשל אמצע הקטע) ונוכיח שלא יכול להיות לה מקור.
כיוון שהפונקציה עולה, לכל [math]\displaystyle{ x\le {x}_{0} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f\left( x \right)\le f\left( {x}_{0} \right)<y }[/math].
כעת, נתון שהפונקציה על ולכן קיים מקור [math]\displaystyle{ {x}_{1} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f\left( {x}_{1} \right)=y }[/math], ולפי מה שראינו הרגע [math]\displaystyle{ {x}_{0}<{x}_{1} }[/math]
ולכן בקטע [math]\displaystyle{ [{x}_{0},{x}_{1}] }[/math] המקסימום הוא [math]\displaystyle{ y=f({x}_{1}) }[/math] כיוון שהפונקציה עולה.
ולכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {x}_{0}^{+}}{f\left( x \right)}\le y }[/math]בסתירה.
באופן דומה אם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {a}^{+}}{f(x)}>f(a) }[/math] או [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {b}^{-}}{f(x)}<f(b) }[/math] אנחנו מקבלים סתירה לכך שהפונקציה על, ולכן סה"כ הפונקציה רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].
תרגיל 30: רציפות של f(f(x))
תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(f\left( x \right)) }[/math] רציפה בכל הממשיים. הופריכו: [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בכל הממשים.
הפרכה:
נביט בפונקצית דיריכלה שאינה רציפה באף נקודה
- [math]\displaystyle{ D\left( x \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left\{ \begin{matrix}1 & x\in \mathbb{Q} \\ 0 & x\notin \mathbb{Q}\end{matrix} \right. }[/math]
כיוון ש [math]\displaystyle{ D\left( 0 \right)=D\left( 1 \right)=1 }[/math] מתקיים לכל [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math] כי
- [math]\displaystyle{ D\left( D\left( x \right) \right)=1 }[/math]
כלומר [math]\displaystyle{ D\left( D\left( x \right) \right) }[/math] היא הפונקציה הקבועה שהינה רציפה בכל הממשיים.
תרגיל 33: אפיון סדרתי של רציפות במידה שווה
תהי [math]\displaystyle{ f:A\to \mathbb{R} }[/math] כך שלכל שתי סדרות המקיימות [math]\displaystyle{ {a}_{n}-{b}_{n}\to 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f\left( {a}_{n} \right)-f({b}_{n})\to 0 }[/math].
הופריכו: לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon >0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta >0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ \left| {x}_{1}-{x}_{2} \right|<\delta }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ \left| f\left( {x}_{1} \right)-f\left( {x}_{2} \right) \right|<\varepsilon }[/math].
הופריכו: לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon >0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta >0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ \left| {x}_{1}-{x}_{2} \right|<\delta }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ \left| f\left( {x}_{1} \right)-f\left( {x}_{2} \right) \right|<\varepsilon }[/math].
הוכחה:
נב"ש כי קיים [math]\displaystyle{ \varepsilon >0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ \delta >0 }[/math] קיים זוג נקודות [math]\displaystyle{ \left| {x}_{1}-{x}_{2} \right|<\delta }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \left| f\left( {x}_{1} \right)-f\left( {x}_{2} \right) \right|\ge \varepsilon }[/math].
לכן, לכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] קיים זוג נקודות [math]\displaystyle{ \left| {a}_{n}-{b}_{n} \right|<\frac{1}{n} }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ \left| f\left( {a}_{n} \right)-f\left( {b}_{n} \right) \right|\ge \varepsilon }[/math].
לכן לפי חצי סנדוויץ' על הרצפה [math]\displaystyle{ \left| {a}_{n}-{b}_{n} \right|\to 0 }[/math] אך [math]\displaystyle{ |f\left( {a}_{n} \right)-f\left( {b}_{n} \right)|\not\to 0 }[/math] בסתירה לנתון.
תרגיל 34: רציפות במידה שווה וגידול לינארי ★
תהי [math]\displaystyle{ f:[1,\infty)\to \mathbb{R} }[/math] המקיימת לכל שתי סדרות [math]\displaystyle{ {a}_{n}-{b}_{n}\to 0 }[/math] כי [math]\displaystyle{ f\left( {a}_{n} \right)-f\left( {b}_{n} \right)\to 0 }[/math], הופריכו: [math]\displaystyle{ \frac{f\left( x \right)}{x} }[/math] חסומה.
הוכחה: לפי תרגיל קודם, לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon >0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta >0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ \left| {x}_{1}-{x}_{2} \right|<\delta }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ \left| f\left( {x}_{1} \right)-f\left( {x}_{2} \right) \right|<\varepsilon }[/math].
לכן בפרט עבור [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math] (יכלנו לבחור כל גודל חיובי כאן), קיים [math]\displaystyle{ \delta >0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ \left| {x}_{1}-{x}_{2} \right|<\delta }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left| f\left( {x}_{1} \right)-f\left( {x}_{2} \right) \right|<1 }[/math].
כיוון ש [math]\displaystyle{ \frac{\delta}{2}<\delta }[/math] נובע כי אם [math]\displaystyle{ \left| {x}_{1}-{x}_{2} \right|\le \frac{\delta}{2} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \left| f\left( {x}_{1} \right)-f\left( {x}_{2} \right) \right|<1 }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ x\in [1,\infty) }[/math], ונביט בסדרת הנקודות:
- [math]\displaystyle{ 1, 1+\frac{\delta}{2}, 1+2\cdot \frac{\delta}{2},\ldots,1+k\cdot \frac{\delta}{2} }[/math]
כך ש
- [math]\displaystyle{ 1+\left( k-1 \right)\cdot \frac{\delta}{2}<x\le 1+k\cdot \frac{\delta}{2} }[/math]
(כלומר המשכנו את סדרת הנקודות עד שהגענו ל[math]\displaystyle{ x }[/math], זה אפשרי כיוון ש [math]\displaystyle{ 1+n\cdot \frac{\delta}{2}\to \infty }[/math]).
כעת, לפי אי השיוויון השמאלי
- [math]\displaystyle{ \left( k-1 \right)\cdot \frac{\delta}{2}<1+\left( k-1 \right)\cdot \frac{\delta}{2}<x }[/math]
לכן
- [math]\displaystyle{ k-1<\frac{2x}{\delta} }[/math]
ולכן
- [math]\displaystyle{ k<1+\frac{2x}{\delta} }[/math]
כעת,
- [math]\displaystyle{ \left| f\left( x \right)-f\left( 1 \right) \right|= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left| f\left( x \right)-f\left( 1+\left( k-1 \right)\cdot \frac{\delta}{2} \right)+f\left( 1+\left( k-1 \right)\cdot \frac{\delta}{2} \right)-\ldots+f\left( 1+2\cdot \frac{\delta}{2} \right)-f\left( 1+\frac{\delta}{2} \right)+f\left( 1+\frac{\delta}{2} \right)-f\left( 1 \right) \right|\le }[/math]
- [math]\displaystyle{ \le \left| f\left( x \right)-f\left( 1+\left( k-1 \right)\cdot \frac{\delta}{2} \right) \right|+\ldots+\left| f\left( 1+2\cdot \frac{\delta}{2} \right)-f\left( 1+\frac{\delta}{2} \right) \right|+\left| f\left( 1+\frac{\delta}{2} \right)-f\left( 1 \right) \right| }[/math]
כיוון שההפרש בין כל שתי נקודות בציר האיקס שווה [math]\displaystyle{ \frac{\delta}{2} }[/math] (פרט לזוג הראשון בו ההפרש קטן מ[math]\displaystyle{ \frac{\delta}{2} }[/math]), נובע כי ההפרש בציר ה[math]\displaystyle{ y }[/math] קטן מ1.
ומכיוון שישנם [math]\displaystyle{ k }[/math] זוגות, סה"כ אנו מקבלים כי
- [math]\displaystyle{ \left| f\left( x \right)-f\left( 1 \right) \right|<k<1+\frac{2x}{\delta} }[/math]
לכן
- [math]\displaystyle{ f\left( 1 \right)-\left( 1+\frac{2x}{\delta} \right)<f\left( x \right)<f\left( 1 \right)+1+\frac{2x}{\delta} }[/math]
נחלק את כל צידי אי השיוויון בקבוע [math]\displaystyle{ x }[/math] החיובי ונקבל כי
- [math]\displaystyle{ \frac{f\left( 1 \right)-1}{x}-\frac{2}{\delta}<\frac{f\left( x \right)}{x}<\frac{f\left( 1 \right)+1}{x}+\frac{2}{\delta} }[/math]
לבסוף נותר להוכיח שהביטויים [math]\displaystyle{ \frac{f\left( 1 \right)\pm 1}{x} }[/math] חסומים בתחום [math]\displaystyle{ [1,\infty) }[/math] ללא תלות בx, זה נובע למשל מכך ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}{\frac{f\left( 1 \right)\pm 1}{x}}=0 }[/math], אך אפשר להוכיח את זה ישירות בקלות על ידי חלוקה למקרים בהם הביטוי במונה שלילי או חיובי.
סה"כ הוכחנו שיש קבועים [math]\displaystyle{ m,M }[/math] שלא תלויים בנקודה [math]\displaystyle{ x }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ m<\frac{f\left( x \right)}{x}<M }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in [1,\infty) }[/math] כפי שרצינו.
תרגיל 36: פונקציה רציפה בקטע חצי פתוח
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math], הופריכו: [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה מלעיל או שהיא חסומה מלרע.
הפרכה: נביט בפונקציה
- [math]\displaystyle{ f\left( x \right)=\frac{\sin {\left( \frac{1}{x} \right)}}{x} }[/math]
הרציפה בקטע [math]\displaystyle{ (0,1] }[/math].
נביט בסדרות הבאות הנמצאות בקטע
- [math]\displaystyle{ 0<{a}_{n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}\to 0, 0< {b}_{n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{1}{-\frac{\pi}{2}+2\pi n}\to 0 }[/math]
נציב את הסדרות בפונקציה ונקבל
- [math]\displaystyle{ f\left( {a}_{n} \right)=\frac{\pi}{2}+2\pi n\to \infty }[/math]
- [math]\displaystyle{ f\left( {b}_{n} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =-\left( -\frac{\pi}{2}+2\pi n \right)\to-\infty }[/math]
ולכן הפונקציה אינה חסומה מלעיל ואינה חסומה מלרע בקטע.
תרגילים בנושאים נוספים
- סדרות וגבולות (8 תרגילים)
- תתי סדרות, גבול עליון וסדרות קושי (7 תרגילים)
- משפט ערך הביניים ומשפט ויירשטראס (15 תרגילים)
- נגזרת (10 תרגילים)
- משפט רול ולגראנז' ומונוטוניות (6 תרגילים)
- קמירות וקעירות (9 תרגילים)
- כל תרגילי ההכנה למבחן · קובץ ה-PDF של האוסף · מבחנים ובחנים עם פתרונות · דף הקורס