אינפי 1/פונקציות רציפות

📄 דף מעודכן על הנושא: רציפות: הגדרות ומשפטים מהקורס, סרטון, דוגמאות פתורות ותרגול.
ראו גם: נקודות אי רציפות

הגדרה

אומרים ש- [math]\displaystyle{ f:A\to \mathbb{R} }[/math] רציפה בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] אם קיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a} f(x) }[/math] והוא שווה ל- [math]\displaystyle{ f(a) }[/math] . האינטואיציה מאחורי זה היא שאפשר לצייר את גרף הפונקציה בלי להרים את העט מהדף. בהגדרת הגבול של קושי ההגבלה [math]\displaystyle{ 0<|x-a|<\delta }[/math] מתחלף ב- [math]\displaystyle{ |x-a|<\delta }[/math] (כי מותר ש- [math]\displaystyle{ x=a }[/math] ) ובהגדרת הגבול של היינה כל סדרה ששואפת ל-[math]\displaystyle{ a }[/math] בסדר, לא רק סדרות שתמיד שונות מ- [math]\displaystyle{ a }[/math]

משפט

אריתמטיקה של רציפות: אם [math]\displaystyle{ f,g }[/math] רציפות ב- [math]\displaystyle{ a }[/math] אזי גם הפונקציות הבאות רציפות ב- [math]\displaystyle{ a }[/math]:

1. [math]\displaystyle{ \alpha f + \beta g }[/math] עבור [math]\displaystyle{ \alpha,\beta }[/math] קבועים ממשיים.
2. [math]\displaystyle{ f\cdot g }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \frac{f}{g} }[/math] בהנתן העובדה ש- [math]\displaystyle{ g(a)\neq 0 }[/math]

הוכחה.

נשתמש פשוט באריתמטיקה של גבולות ונקבל את הדרוש

∎

משפט

תהיינה [math]\displaystyle{ f:A\to B, g:B\to \mathbb{R} }[/math] ונניח ש- [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] רציפה ב- [math]\displaystyle{ a }[/math] ו- [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] רציפה ב- [math]\displaystyle{ f(a) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ h=g\circ f }[/math] רציפה ב- [math]\displaystyle{ a }[/math]

הוכחה.

נשתמש בעקרון היינה: נניח [math]\displaystyle{ x_n\to a }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ y_n=f(x_n)\to f(a) }[/math] ומכאן ש- [math]\displaystyle{ h(x_n)=g(f(x_n))=g(y_n)\to g(f(a))=h(a) }[/math] , ומהגדרת הגבול של היינה נקבל ש- [math]\displaystyle{ h }[/math] רציפה ב- [math]\displaystyle{ a }[/math]

∎