בקצרה:נקודות אי רציפות של פונקציה הן הנקודות שבהן הגרף שלה "נשבר", ובקורס ממיינים אותן לשלושה סוגי אי רציפות לפי מה שקורה לפונקציה משני צידי הנקודה. באי רציפות סליקה הגבול בנקודה קיים וסופי, ורק הערך בנקודה חסר או שונה ממנו, ולכן תיקון של נקודה אחת מסלק את הבעיה. ההבדל בין אי רציפות ממין ראשון (קפיצה) וממין שני הוא בגבולות החד־צדדיים: בקפיצה שניהם קיימים וסופיים אך שונים זה מזה, ובמין שני לפחות אחד מהם אינו קיים או שהוא אינסופי. כדי למצוא את הנקודות האלה בודקים בדרך כלל את הנקודות שבהן הפונקציה אינה מוגדרת ואת נקודות התפר של פונקציה מפוצלת, ובכל אחת מהן מחשבים את שני הגבולות החד־צדדיים.
▶ ההרצאה: מיון נקודות אי רציפות
שלושת סוגי אי הרציפות, על הפונקציות מהדוגמאות בדף. (a) [math]\displaystyle{ [x]+[-x] }[/math]: בכל מספר שלם הגבול הוא [math]\displaystyle{ -1 }[/math] (העיגולים החלולים), אבל ערך הפונקציה הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math] (הנקודות המלאות). את הפער (הקו התכלת) סוגרים בתיקון של נקודה אחת, ולכן זו אי רציפות סליקה. (b) [math]\displaystyle{ \frac{1}{1+e^{1/x}} }[/math]: ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] הגבול משמאל הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math] והגבול מימין הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math], שניהם סופיים ושונים (הקו התכלת הוא גובה הקפיצה): אי רציפות קפיצתית, כלומר ממין ראשון. (c) [math]\displaystyle{ e^{1/x} }[/math]: ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] הגבול משמאל הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math], אבל מימין הפונקציה שואפת ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math] (החץ האדום): אי רציפות ממין שני, אף שגם כאן הגבולות החד־צדדיים "שונים". הקווים המנוקדים הם האסימפטוטות האופקיות [math]\displaystyle{ y=\frac{1}{2} }[/math] (ב־b) ו־[math]\displaystyle{ y=1 }[/math] (ב־c).
יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].
[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקראת נקודת רציפות של [math]\displaystyle{ f }[/math] אם [math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדרת ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) }[/math].
[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקראת נקודת אי-רציפות סליקה של [math]\displaystyle{ f }[/math] אם הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x) }[/math] קיים וסופי, ו־[math]\displaystyle{ f }[/math] אינה מוגדרת ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] או ש [math]\displaystyle{ f(x_0)\ne\lim_{x\to x_0}f(x) }[/math].
[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקראת נקודת אי-רציפות קפיצתית (מין ראשון) של [math]\displaystyle{ f }[/math] אם הגבולות [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^+}f(x) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^-}f(x) }[/math] קיימים, סופיים ושונים זה מזה.
[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקראת נקודת אי-רציפות עיקרית (מין שני) של [math]\displaystyle{ f }[/math] אם לפחות אחד מהגבולות [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^+}f(x) }[/math], [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^-}f(x) }[/math] אינו קיים או אינו סופי.
פונקציה אינה רציפה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אם ורק אם מתקיים לפחות אחד מהתנאים הבאים:
הגבול של הפונקציה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אינו קיים במובן הצר;
הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math];
הגבול קיים במובן הצר והפונקציה מוגדרת, אבל ערך הפונקציה שונה מהגבול בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].
אי רציפות סליקה: הפונקציה אינה רציפה בנקודה, אבל הגבול שלה בנקודה קיים במובן הצר. במקרה זה אפשר לתקן את הפונקציה בנקודה ולקבל פונקציה רציפה בה:
אי רציפות ממין ראשון: הגבולות החד-צדדיים בנקודה קיימים במובן הצר ושונים (קפיצה). במקרה זה אפשר לחלק את הפונקציה לשתי פונקציות, אחת רציפה מימין בנקודה והשנייה רציפה משמאל.
אי רציפות ממין שני: כל נקודת אי רציפות אחרת, למשל כשאחד הגבולות החד-צדדיים אינו קיים, או כשהפונקציה אינה חסומה באף סביבה של הנקודה. לדוגמה, [math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{1}{x}\right) }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ 0 }[/math].
▶ סרטון נוסף: אי רציפות
תרגילים פתורים
תרגיל 1: תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה. מצאו וסווגו את נקודות אי הרציפות של
[math]\displaystyle{ g }[/math] היא מנה של פונקציות רציפות (הרכבת הערך המוחלט על פונקציה רציפה היא רציפה), ולכן [math]\displaystyle{ g }[/math] רציפה בכל נקודה שבה [math]\displaystyle{ f\ne0 }[/math]. עוד מתקיים
אם בסביבה מנוקבת כלשהי של הנקודה [math]\displaystyle{ f>0 }[/math], זו נקודת אי רציפות סליקה (הגבול שם הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math]); וכך גם אם בסביבה מנוקבת כלשהי [math]\displaystyle{ f<0 }[/math] (הגבול [math]\displaystyle{ -1 }[/math]).
אם קיימת סביבה ימנית שבה [math]\displaystyle{ f>0 }[/math] וסביבה שמאלית שבה [math]\displaystyle{ f<0 }[/math] (או להפך), זו נקודת אי רציפות ממין ראשון: גבול חד-צדדי אחד שווה [math]\displaystyle{ 1 }[/math] והשני [math]\displaystyle{ -1 }[/math].
בכל מצב אחר (באחד הצדדים לפחות, בכל סביבה, יש אינסוף אפסים או אינסוף החלפות סימן) לא קיים ל־[math]\displaystyle{ g }[/math] גבול חד-צדדי מאותו צד, וזו נקודת אי רציפות ממין שני.
דוגמה: לפונקציה [math]\displaystyle{ \frac{\sin(x)}{|\sin(x)|} }[/math] יש נקודות אי רציפות ממין ראשון בכל כפולה שלמה של [math]\displaystyle{ \pi }[/math].
תרגיל 2: מצאו וסווגו את נקודות אי הרציפות של [math]\displaystyle{ f(x)=e^{-\frac{1}{\sin(x^2)}} }[/math].
[math]\displaystyle{ f }[/math] היא הרכבה של מנה של הרכבה של פונקציות רציפות, ולכן היא רציפה בכל נקודה שבה כל הפונקציות מוגדרות והמכנה שונה מ־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]. נקודות אי הרציפות הן לכן הנקודות שבהן [math]\displaystyle{ \sin(x^2)=0 }[/math]:
[math]\displaystyle{ k=0 }[/math]: בסביבה מנוקבת של [math]\displaystyle{ 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 0<x^2<\pi }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \sin(x^2)>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sin(x^2)}\to\infty }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ f(x)\to0 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] היא נקודת אי רציפות סליקה.
[math]\displaystyle{ k\ge1 }[/math]: [math]\displaystyle{ \sin(x^2) }[/math] חיובי מצד אחד של הנקודה ושלילי מהצד השני, ולכן בצד שבו הוא שלילי [math]\displaystyle{ f(x)\to\infty }[/math] והפונקציה אינה חסומה. אלה נקודות אי רציפות ממין שני.
דוגמאות נוספות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: מציאת כל נקודות אי הרציפות: פונקציה רציונלית
מצאו את כל נקודות אי הרציפות של הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}}{\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}} }[/math], ומיינו כל אחת מהן.
הנקודות החשודות. הפונקציות שאנו עובדים איתן רציפות בכל תחום הגדרתן, ולכן חושדים בנקודות שבהן [math]\displaystyle{ f }[/math] אינה מוגדרת. השברים [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{1}{x+1} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{1}{x-1} }[/math] מוגדרים לכל [math]\displaystyle{ x\notin\{-1,0,1\} }[/math], ושם המכנה הראשי שונה מאפס: [math]\displaystyle{ \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{x(x-1)}\ne0 }[/math]. לכן תחום ההגדרה הוא [math]\displaystyle{ \mathbb R\setminus\{-1,0,1\} }[/math], ו־[math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בכל נקודה בו. החשודות הן [math]\displaystyle{ -1,0,1 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדרת בסביבה מנוקבת של כל אחת מהן.
פישוט. לכל [math]\displaystyle{ x\notin\{-1,0,1\} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{x(x+1)} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{x(x-1)}{x(x+1)}=\frac{x-1}{x+1} }[/math].
[math]\displaystyle{ x_0=0 }[/math]: בסביבה מנוקבת של [math]\displaystyle{ 0 }[/math] הפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] שווה לפונקציה [math]\displaystyle{ \frac{x-1}{x+1} }[/math], שרציפה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0}f(x)=\frac{0-1}{0+1}=-1 }[/math]. הגבול קיים וסופי, ו־[math]\displaystyle{ f }[/math] אינה מוגדרת ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]: אי רציפות סליקה.
[math]\displaystyle{ x_0=1 }[/math]: באותו אופן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to1}f(x)=\frac{1-1}{1+1}=0 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ f }[/math] אינה מוגדרת ב־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]: אי רציפות סליקה.
[math]\displaystyle{ x_0=-1 }[/math]: המונה [math]\displaystyle{ x-1 }[/math] שואף ל־[math]\displaystyle{ -2 }[/math] והמכנה [math]\displaystyle{ x+1 }[/math] שואף ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]. מימין [math]\displaystyle{ x+1>0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to-1^+}f(x)=-\infty }[/math] (ומשמאל [math]\displaystyle{ +\infty }[/math]). יש גבול חד־צדדי אינסופי, ולכן זו אי רציפות ממין שני.
התיקון. אם נגדיר [math]\displaystyle{ f(0)=-1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(1)=0 }[/math], נקבל את הפונקציה [math]\displaystyle{ \frac{x-1}{x+1} }[/math], שרציפה בכל [math]\displaystyle{ x\ne-1 }[/math]. ב־[math]\displaystyle{ -1 }[/math] שום ערך לא יעזור, כי הגבולות החד־צדדיים שם אינסופיים.
מקור: מערך התרגול של לואי ומני, תרגול 11 עמ' 3 (Infi1LMTirgul11.pdf, פתרון מלא באותה דרך: פישוט ל־(x−1)/(x+1), 0 ו־1 סליקות, −1 ממין שני; שם הסליקה מוגדרת כתת־סוג של מין ראשון, וכאן הסיווג לפי הקורס); סיכומי התרגול של אריאל ויצמן, תיכוניסטים תשפ"א (W6a P1s Les9–12, הווריאנט עם 1/x−1/(x−1) במכנה); מאגר ת4-071 (ק' 1–3, בוחן ✓ ר1, 2 דק' לפונקציה). שיטת הנקודות החשודות: תמליל 57 (3zwjxNNr5tc) 03:04–04:16 (https://www.youtube.com/watch?v=3zwjxNNr5tc&t=184s): "הפונקציות שאנו רגילים לעבוד איתן רציפות בכל תחום הגדרתן" (03:11), "קודם כל בנקודת אי הגדרה" (03:20), נקודות תפר של פונקציה מפוצלת (03:44); התיקון של הנקודה ("סתמנו את החור הזה עם מסטיק") 06:46–07:24 (t=406s).
דוגמה 2: שאלת בוחן: [math]\displaystyle{ e^{1/x} }[/math] מול [math]\displaystyle{ \frac{1}{1+e^{1/x}} }[/math]
מיינו את הנקודה [math]\displaystyle{ x_0=0 }[/math] עבור כל אחת מהפונקציות [math]\displaystyle{ f(x)=e^{1/x} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g(x)=\frac{1}{1+e^{1/x}} }[/math], המוגדרות לכל [math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math].
כלים.[math]\displaystyle{ \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=\infty }[/math]. כמו כן ידוע ש [math]\displaystyle{ e^{t}\to\infty }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ t\to\infty }[/math], ו־[math]\displaystyle{ e^{t}\to0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ t\to-\infty }[/math] (כי [math]\displaystyle{ e^{t}=\frac{1}{e^{-t}} }[/math] והמכנה שואף ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math]).
לפי היינה: לכל סדרה [math]\displaystyle{ x_n\to0 }[/math] עם [math]\displaystyle{ x_n<0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{1}{x_n}\to-\infty }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ e^{1/x_n}\to0 }[/math]; ולכל סדרה [math]\displaystyle{ x_n\to0 }[/math] עם [math]\displaystyle{ x_n>0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{1}{x_n}\to\infty }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ e^{1/x_n}\to\infty }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0^-}e^{1/x}=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \lim_{x\to0^+}e^{1/x}=\infty }[/math].
[math]\displaystyle{ f(x)=e^{1/x} }[/math]: הגבול משמאל הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math], ועד כאן כל סוג עוד אפשרי: הכול תלוי בגבול מהצד השני. הגבול מימין הוא [math]\displaystyle{ \infty }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ 0 }[/math] היא נקודת אי רציפות ממין שני (עיקרית). זו לא קפיצה, אף ששני הגבולות "שונים": בקפיצה שניהם חייבים להיות סופיים.
[math]\displaystyle{ g(x)=\frac{1}{1+e^{1/x}} }[/math]: משמאל [math]\displaystyle{ e^{1/x}\to0 }[/math], ולכן לפי חשבון גבולות [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0^-}g(x)=\frac{1}{1+0}=1 }[/math]. מימין [math]\displaystyle{ 1+e^{1/x}\to\infty }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0^+}g(x)=0 }[/math].
שני הגבולות החד־צדדיים של [math]\displaystyle{ g }[/math] קיימים, סופיים ושונים ([math]\displaystyle{ 1\ne0 }[/math]), ולכן [math]\displaystyle{ 0 }[/math] היא נקודת אי רציפות קפיצתית (מין ראשון). הגבול הדו־צדדי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0}g(x) }[/math] אינו קיים (טענה 4.3.5), ובכל זאת זו קפיצה ולא מין שני.
המסקנה. העטיפה של [math]\displaystyle{ e^{1/x} }[/math] בתוך [math]\displaystyle{ \frac{1}{1+e^{1/x}} }[/math] הפכה את הגבול האינסופי מימין לגבול הסופי [math]\displaystyle{ 0 }[/math], ולכן סוג אי הרציפות השתנה ממין שני לקפיצה.
מקור: תמליל 57 (3zwjxNNr5tc) 08:50–09:55 (https://www.youtube.com/watch?v=3zwjxNNr5tc&t=530s): e^{1/x} ב־0, "עד עכשיו ייתכן שמדובר באי רציפות סליקה, באי רציפות קפיצתית או באי רציפות ממין שני, הכל תלוי במה יקרה בגבול מהצד השני" (09:25–09:33), "וברגע שאנחנו רואים אינסוף באחד הצדדים זו אי רציפות עיקרית" (09:48); ההדגשה שבקפיצה הגבולות סופיים, "לא אין סוף, אסור דבר כזה" (08:36). מאגר ת4-068 (וריאנט e^{1/x} מ־V57, ק' 1–2, בוחן ✓ ר1, 2 דק' לפונקציה) ות4-072 (הווריאנטים 1/(1+e^{1/x}) ב־0 ו־1/(1+e^{1/(x−1)}) ב־1: קפיצה); ש"ב 9 בוגרים תש"ף (W6a P2 ש"ב9 ש'3–6, עם פתרון בוויקי: 1/(1+e^{1/(x−1)}), "אין a" שעבורו הפונקציה רציפה).
דוגמה 3: שאלת מבחן: [math]\displaystyle{ [x]+[-x] }[/math]
(מועד א' תשע"ט, תיכוניסטים, שאלה 4) עבור [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math] נסמן ב־[math]\displaystyle{ [a]=\max\{k\in\mathbb Z\mid k\le a\} }[/math] את הערך השלם של [math]\displaystyle{ a }[/math] (למשל [math]\displaystyle{ [2.5]=2 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ [-2.5]=-3 }[/math]). מצאו את הנקודות שבהן הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=[x]+[-x] }[/math] אינה רציפה, ומצאו את סוג אי הרציפות של כל אחת מהן.
נחשב את [math]\displaystyle{ f }[/math]. אם [math]\displaystyle{ x\in\mathbb Z }[/math], אזי [math]\displaystyle{ [x]=x }[/math] ו־[math]\displaystyle{ [-x]=-x }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f(x)=x+(-x)=0 }[/math].
אם [math]\displaystyle{ x\notin\mathbb Z }[/math], נסמן [math]\displaystyle{ k=[x] }[/math]. מהגדרת המקסימום [math]\displaystyle{ k\le x<k+1 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ k\ne x }[/math] כי [math]\displaystyle{ x }[/math] אינו שלם; לכן [math]\displaystyle{ k<x<k+1 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ -(k+1)<-x<-k }[/math]. המספר השלם [math]\displaystyle{ -(k+1) }[/math] קטן מ־[math]\displaystyle{ -x }[/math], והשלם שאחריו, [math]\displaystyle{ -k }[/math], כבר גדול מ־[math]\displaystyle{ -x }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ [-x]=-(k+1) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(x)=k-(k+1)=-1 }[/math].
סיכום: [math]\displaystyle{ f(x)=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb Z }[/math], ו־[math]\displaystyle{ f(x)=-1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\notin\mathbb Z }[/math].
נקודה [math]\displaystyle{ x_0\notin\mathbb Z }[/math]: בקטע [math]\displaystyle{ ([x_0],[x_0]+1) }[/math], שמכיל את [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], אין מספרים שלמים, ולכן בו [math]\displaystyle{ f\equiv-1 }[/math]. מכאן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=-1=f(x_0) }[/math], ו־[math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math].
נקודה [math]\displaystyle{ n\in\mathbb Z }[/math]: בסביבה המנוקבת [math]\displaystyle{ (n-1,n+1)\setminus\{n\} }[/math] אין מספרים שלמים, ולכן בה [math]\displaystyle{ f\equiv-1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \lim_{x\to n}f(x)=-1 }[/math]. הגבול קיים וסופי, אבל [math]\displaystyle{ f(n)=0\ne-1 }[/math], ולכן בכל מספר שלם יש אי רציפות סליקה (ובכל נקודה אחרת [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה). התיקון: הפונקציה הקבועה [math]\displaystyle{ -1 }[/math] שווה ל־[math]\displaystyle{ f }[/math] בכל נקודה שאינה שלמה, והיא רציפה.
הערה. לכל אחד מהמחוברים יש קפיצה בכל מספר שלם [math]\displaystyle{ n }[/math]: [math]\displaystyle{ \lim_{x\to n^+}[x]=n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \lim_{x\to n^-}[x]=n-1 }[/math], וכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to n^+}[-x]=-n-1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \lim_{x\to n^-}[-x]=-n }[/math]. בסכום שתי הקפיצות מבטלות זו את זו (משני הצדדים מתקבל [math]\displaystyle{ -1 }[/math]), ונשאר רק הערך הבודד [math]\displaystyle{ f(n)=0 }[/math].
מקור: מועד א' 88-132 תשע"ט, תיכוניסטים/החממה (15.2.19; צבאן וקוניאבסקי, לא מבחן של ארז), שאלה 4 (Infi1_tihon_2019A.pdf עמ' 5; ההגדרה של הערך השלם לקוחה מנוסח השאלה), עם הפתרון של ארז (Infi1_tihon_2019Asol.pdf עמ' 3: אותה חלוקה x∈ℤ / k<x<k+1, ו"הפונקציה קבועה −1 בכל הנקודות שאינן שלמות, ולכן יש לה אי רציפות סליקה בכל מספר שלם"); הצעת הפתרון של לירן ויונתן (W5c S4 ע'4 ש'4); מאגר ת4-070 (משפחת הערך השלם, ק' 1–2, בוחן ✓ ר1, 5 דק'). הגבולות החד־צדדיים של [x] בשלמים: תרגול 11 של לואי ומני עמ' 4 (W2b-63).
טעויות נפוצות
לקרוא לאי רציפות סליקה "מין ראשון": בקורס מין ראשון פירושו קפיצה בלבד, כלומר שני גבולות חד־צדדיים סופיים ושונים. בחלק מהמקורות (למשל בתרגול 11 של לואי ומני) הסליקה נחשבת לתת־סוג של מין ראשון, אבל בבחנים ובמבחנים של הקורס עונים לפי ההגדרה שבדף.
לסווג גבול אינסופי כקפיצה: ב־[math]\displaystyle{ e^{1/x} }[/math] הגבול משמאל ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ומימין [math]\displaystyle{ \infty }[/math], ואף שהם "שונים", זו אי רציפות ממין שני, כי בקפיצה שני הגבולות חייבים להיות סופיים.
להסיק "מין שני" רק מכך שהגבול הדו־צדדי אינו קיים: ל־[math]\displaystyle{ \frac{1}{1+e^{1/x}} }[/math] אין גבול ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], ובכל זאת זו קפיצה. תמיד מחשבים את שני הגבולות החד־צדדיים בנפרד.
לחפש רק נקודות שבהן הפונקציה אינה מוגדרת: גם נקודות התפר של פונקציה מפוצלת חשודות, למשל המספרים השלמים עבור [math]\displaystyle{ [x] }[/math]; הפונקציה [math]\displaystyle{ [x]+[-x] }[/math] מוגדרת בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], ובכל זאת אינה רציפה באף מספר שלם.
לצמצם את הנוסחה ולשכוח את הנקודות שהוצאו מהתחום: גם אחרי הצמצום [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{x-1}{x+1} }[/math] בדוגמה הראשונה, הנקודות [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] אינן בתחום ההגדרה של [math]\displaystyle{ f }[/math], ולכן הן נקודות אי רציפות סליקה ולא נקודות רציפות.
מועד ג' תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה מיטיבה 8: לאילו [math]\displaystyle{ a,b }[/math] יש לפונקציה מפוצלת (עם [math]\displaystyle{ \arctan }[/math] ועם שורשים) אי רציפות קפיצתית ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]. תשובה סופית מספיקה; בקובץ הפתרון אין פתרון לשאלות המיטיבות. קושי 2–3.
מועד א' תשפ"ו (מתמטיקה, בועז צבאן) · שאלה 3ד: כל נקודת אי רציפות של פונקציה עולה היא קפיצה (בסעיפים הקודמים הגבולות החד־צדדיים מתקבלים כ־[math]\displaystyle{ \sup }[/math] וכ־[math]\displaystyle{ \inf }[/math]; כולל פתרון). קושי 3.
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הפונקציות.
תרגול 11 (לואי ומני) · עמ' 3–4: מיון נקודות אי רציפות, כולל הדוגמה הראשונה בדף ו־[math]\displaystyle{ [x]\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) }[/math], עם פתרונות. שימו לב: שם הסליקה נחשבת לתת־סוג של מין ראשון, ובקורס מין ראשון הוא קפיצה בלבד.
![שלושת סוגי אי הרציפות, על הפונקציות מהדוגמאות בדף. (a) [math]\displaystyle{ [x]+[-x] }[/math]: בכל מספר שלם הגבול הוא [math]\displaystyle{ -1 }[/math] (העיגולים החלולים), אבל ערך הפונקציה הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math] (הנקודות המלאות). את הפער (הקו התכלת) סוגרים בתיקון של נקודה אחת, ולכן זו אי רציפות סליקה. (b) [math]\displaystyle{ \frac{1}{1+e^{1/x}} }[/math]: ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] הגבול משמאל הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math] והגבול מימין הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math], שניהם סופיים ושונים (הקו התכלת הוא גובה הקפיצה): אי רציפות קפיצתית, כלומר ממין ראשון. (c) [math]\displaystyle{ e^{1/x} }[/math]: ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] הגבול משמאל הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math], אבל מימין הפונקציה שואפת ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math] (החץ האדום): אי רציפות ממין שני, אף שגם כאן הגבולות החד־צדדיים "שונים". הקווים המנוקדים הם האסימפטוטות האופקיות [math]\displaystyle{ y=\frac{1}{2} }[/math] (ב־b) ו־[math]\displaystyle{ y=1 }[/math] (ב־c).](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c4-08.png)
