בקצרה:פונקציה הופכית מבצעת את הפעולה ההפוכה לזו של הפונקציה המקורית ומחזירה כל ערך למקור שלו (ההופכית של "הוסף 1" היא "הורד 1"), וכך מוגדרות גם הדוגמאות החשובות בקורס לפונקציה הופכית: arcsin, arccos, arctan (ארקסינוס, ארקקוסינוס, ארקטנגנס). כדי שתהיה לפונקציה הופכית היא צריכה להיות פונקציה הפיכה, כלומר חח"ע ועל, כך שלכל ערך יש מקור אחד בדיוק; סינוס, קוסינוס וטנגנס אינן חח"ע, ולכן מצמצמים כל אחת מהן לקטע שבו היא הפיכה, וזה קובע את הערכים של ההופכית. ומה זה arctan: הזווית היחידה בין מינוס חצי פאי לחצי פאי שהטנגנס שלה הוא המספר הנתון, למשל [math]\displaystyle{ \arctan(1)=\frac{\pi}{4} }[/math], ולא "אחד חלקי טנגנס". המשפט על רציפות הפונקציה ההופכית אומר שההופכית של פונקציה רציפה והפיכה בקטע סגור רציפה גם היא, ומכאן ש־arcsin, arccos ו־arctan רציפות, וזה מה שמצדיק הצבה של arcsin x או arctan x במשתנה חדש בחישוב גבולות.
שלוש הפונקציות הטריגונומטריות ההופכיות (בירוק) והפונקציות המקוריות בתחום המצומצם שבו הן הפיכות (בתכלת). הגרף של פונקציה הופכית הוא שיקוף של הגרף המקורי ביחס לישר [math]\displaystyle{ y=x }[/math] (הקו המנוקד), כי [math]\displaystyle{ f(x)=y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=f^{-1}(y) }[/math]: הנקודה [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] על הגרף התכלת עוברת לנקודה [math]\displaystyle{ (y,x) }[/math] על הגרף הירוק (הקטעים המקווקווים הקצרים). משמאל לימין: [math]\displaystyle{ \arcsin }[/math] מקבלת ערכים ב־[math]\displaystyle{ [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] }[/math] ועולה; [math]\displaystyle{ \arccos }[/math] מקבלת ערכים ב־[math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math] ויורדת; [math]\displaystyle{ \arctan }[/math] מוגדרת על כל הישר ומקבלת ערכים בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) }[/math]. הישרים המקווקווים [math]\displaystyle{ y=\pm\frac{\pi}{2} }[/math] הם אסימפטוטות אופקיות של [math]\displaystyle{ \arctan }[/math], והשיקוף שלהם, [math]\displaystyle{ x=\pm\frac{\pi}{2} }[/math], הוא האסימפטוטות האנכיות של [math]\displaystyle{ \tan }[/math].
הגדרה 4.5.7פונקציה הפיכה ופונקציה הופכית▶ סרטון 1:11
יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c<d }[/math] מספרים ממשיים, ותהי [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to[c,d] }[/math] פונקציה.
[math]\displaystyle{ f }[/math]הפיכה אם ורק אם היא חח"ע ועל.
אם [math]\displaystyle{ f }[/math] הפיכה, הפונקציה ההופכית שלה היא הפונקציה [math]\displaystyle{ f^{-1}:[c,d]\to[a,b] }[/math] המקיימת: לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ y\in[c,d] }[/math], [math]\displaystyle{ f(x)=y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=f^{-1}(y) }[/math].
(הוכחות והגדרות מדויקות בבדידה.)
הגדרה 4.5.8הפונקציות הטריגונומטריות ההופכיות▶ סרטון 3:16
כל אחת מהפונקציות [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] הבאות היא חח"ע ועל, וההופכית שלה היא הפונקציה [math]\displaystyle{ f^{-1}:B\to A }[/math] המקיימת: לכל [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ y\in B }[/math], [math]\displaystyle{ f(x)=y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=f^{-1}(y) }[/math].
[math]\displaystyle{ \sin:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to[-1,1] }[/math]; ההופכית היא [math]\displaystyle{ \arcsin:[-1,1]\to[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] }[/math].
[math]\displaystyle{ \cos:[0,\pi]\to[-1,1] }[/math]; ההופכית היא [math]\displaystyle{ \arccos:[-1,1]\to[0,\pi] }[/math].
[math]\displaystyle{ \tan:(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to\mathbb R }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} }[/math]; ההופכית היא [math]\displaystyle{ \arctan:\mathbb R\to(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) }[/math].
חשבו (או הסבירו מדוע הביטוי אינו מוגדר): (א) [math]\displaystyle{ \arcsin(1) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \arccos(1) }[/math]; (ב) [math]\displaystyle{ \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) }[/math]; (ג) [math]\displaystyle{ \arctan(1) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \arcsin(2) }[/math]; (ד) [math]\displaystyle{ \arcsin\left(\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right) }[/math].
השיטה (לפי ההגדרה: [math]\displaystyle{ f(x)=y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=f^{-1}(y) }[/math]): כדי לחשב [math]\displaystyle{ \arcsin(y) }[/math] שואלים "את מי סינוס שולחת ל־[math]\displaystyle{ y }[/math]?", ומחפשים את התשובה רק בקטע [math]\displaystyle{ [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ \arccos }[/math] מחפשים בקטע [math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math], ועבור [math]\displaystyle{ \arctan }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) }[/math].
(א) [math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \arcsin(1)=\frac{\pi}{2} }[/math]. למשוואה [math]\displaystyle{ \sin(x)=1 }[/math] יש אינסוף פתרונות, אבל רק אחד מהם בקטע המצומצם. כמו כן [math]\displaystyle{ \cos(0)=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 0\in[0,\pi] }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \arccos(1)=0 }[/math].
(ב) [math]\displaystyle{ \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ -\frac{\pi}{6} }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6} }[/math]. לעומת זאת [math]\displaystyle{ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}\in[0,\pi] }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3} }[/math], ולא [math]\displaystyle{ -\frac{\pi}{3} }[/math]: גם [math]\displaystyle{ \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} }[/math] וגם [math]\displaystyle{ -\frac{\pi}{3}\notin[0,\pi] }[/math].
(ג) [math]\displaystyle{ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1 }[/math] (כי [math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) }[/math]) ו־[math]\displaystyle{ \frac{\pi}{4} }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \arctan(1)=\frac{\pi}{4} }[/math]. הביטוי [math]\displaystyle{ \arcsin(2) }[/math] אינו מוגדר: [math]\displaystyle{ |\sin(x)|\le1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math], ולכן ל־[math]\displaystyle{ 2 }[/math] אין מקור, ותחום ההגדרה של [math]\displaystyle{ \arcsin }[/math] הוא [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math].
(ד) [math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \arcsin\left(\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right) }[/math] [math]\displaystyle{ =\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi}{4} }[/math], ולא [math]\displaystyle{ \frac{3\pi}{4} }[/math], כי [math]\displaystyle{ \frac{3\pi}{4} }[/math] אינו בקטע [math]\displaystyle{ [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] }[/math].
באופן כללי [math]\displaystyle{ \sin(\arcsin(y))=y }[/math] לכל [math]\displaystyle{ y\in[-1,1] }[/math], אבל [math]\displaystyle{ \arcsin(\sin(x))=x }[/math] רק עבור [math]\displaystyle{ x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] }[/math]: שתי ההרכבות הן "הזהות", כל אחת על תחום אחר.
מקור: תמליל 56 (qjSueXDanYs) 04:02–04:27 (t=242s): מהו ארק סינוס של אחד, "את מי סינוס שלחה לאחד", ובאופן כללי יש אינסוף תשובות אבל בתחום המצומצם רק אחת, [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math]; 04:57–05:09 (t=297s): ארק קוסינוס של אחד הוא אפס; לוח הרצאה 28.12.20, אינפי 1 מדמ"ח תשפ"א (R2-E65 ו־L81–84: פתרון משוואות בעזרת ההופכית, [math]\displaystyle{ \arctan(1)=x }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ 1=\tan(x) }[/math]; L52–57, R2-4.12: שתי ההרכבות הן זהות, אבל על תחומים שונים); מאגר ת4-089 (סרטון/הרצאה, ק' 1, בוחן ✓)
דוגמה 2: [math]\displaystyle{ \arcsin }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \arctan }[/math] אי־זוגיות, [math]\displaystyle{ \arccos }[/math] לא
תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb R }[/math] קבוצה סימטרית (לכל [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ -x\in A }[/math]), ותהי [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] פונקציה הפיכה ואי־זוגית, כלומר [math]\displaystyle{ f(-x)=-f(x) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in A }[/math]. (א) הוכיחו ש [math]\displaystyle{ f^{-1}:B\to A }[/math] אי־זוגית. (ב) הסיקו ש [math]\displaystyle{ \arcsin }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \arctan }[/math] אי־זוגיות, ובפרט לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \arctan\left(\frac{(-1)^n}{n}\right) }[/math] [math]\displaystyle{ =(-1)^n\arctan\left(\frac{1}{n}\right) }[/math]. (ג) האם [math]\displaystyle{ \arccos }[/math] אי־זוגית?
(א) יהי [math]\displaystyle{ y\in B }[/math], ונסמן [math]\displaystyle{ x=f^{-1}(y) }[/math]. לפי הגדרת ההופכית [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(x)=y }[/math]. כיוון ש־[math]\displaystyle{ A }[/math] סימטרית, [math]\displaystyle{ -x\in A }[/math], ולפי האי־זוגיות [math]\displaystyle{ f(-x)=-f(x)=-y }[/math]; בפרט [math]\displaystyle{ -y\in B }[/math].
שוב לפי הגדרת ההופכית ([math]\displaystyle{ f(x')=y' }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x'=f^{-1}(y') }[/math]), מ־[math]\displaystyle{ f(-x)=-y }[/math] נובע [math]\displaystyle{ f^{-1}(-y)=-x=-f^{-1}(y) }[/math]. זה נכון לכל [math]\displaystyle{ y\in B }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] אי־זוגית.
(ב) הפונקציה [math]\displaystyle{ \sin:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to[-1,1] }[/math] הפיכה (הגדרה 4.5.8), הקטע סימטרי, ולפי טענה 4.4.2 [math]\displaystyle{ \sin(-x)=-\sin(x) }[/math]; לכן לפי (א) [math]\displaystyle{ \arcsin }[/math] אי־זוגית. גם [math]\displaystyle{ \tan:(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to\mathbb R }[/math] הפיכה וגם הקטע הזה סימטרי, ולכל [math]\displaystyle{ x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) }[/math] מתקיים לפי טענה 4.4.2 [math]\displaystyle{ \tan(-x)=\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}=-\tan(x) }[/math], ולכן גם [math]\displaystyle{ \arctan }[/math] אי־זוגית.
עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי שני האגפים שווים ל־[math]\displaystyle{ \arctan\left(\frac{1}{n}\right) }[/math], ועבור [math]\displaystyle{ n }[/math] אי־זוגי [math]\displaystyle{ \arctan\left(-\frac{1}{n}\right)=-\arctan\left(\frac{1}{n}\right) }[/math] לפי האי־זוגיות. (זה הצעד הראשון בשאלה 2ב של מועד א' תשע"ז, על הטור [math]\displaystyle{ \sum\arctan\left(\frac{(-1)^n}{n}\right) }[/math].)
(ג) לא: [math]\displaystyle{ \arccos(-1)=\pi }[/math], אבל [math]\displaystyle{ -\arccos(1)=0 }[/math] ([math]\displaystyle{ \cos }[/math] זוגית ולא אי־זוגית). הקשר הנכון הוא [math]\displaystyle{ \arccos(-y)=\pi-\arccos(y) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ y\in[-1,1] }[/math]: אם [math]\displaystyle{ x=\arccos(y) }[/math], אזי [math]\displaystyle{ x\in[0,\pi] }[/math], ולכן גם [math]\displaystyle{ \pi-x\in[0,\pi] }[/math], ולפי טענות 4.4.3 ו־4.4.2 (עם [math]\displaystyle{ \cos(\pi)=-1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sin(\pi)=0 }[/math]) [math]\displaystyle{ \cos(\pi-x) }[/math] [math]\displaystyle{ =\cos(\pi)\cos(-x) }[/math] [math]\displaystyle{ \quad-\sin(\pi)\sin(-x) }[/math] [math]\displaystyle{ =-\cos(x) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \cos(\pi-x)=-y }[/math]. לפי ההגדרה [math]\displaystyle{ \arccos(-y)=\pi-x }[/math].
מקור: שיעור החזרה 26.1.21 לפני מועד א' (W4a H21R עמ' 5): "[math]\displaystyle{ f }[/math] אי־זוגית וחח"ע ⇒ [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] אי־זוגית", ההוכחה בהפעלת [math]\displaystyle{ f }[/math] על שני האגפים וחח"ע, והשימוש [math]\displaystyle{ \arctan\left(\frac{(-1)^n}{n}\right)=(-1)^n\arctan\left(\frac{1}{n}\right) }[/math], כהכנה למועד א' תשע"ז (88-132) שאלה 2ב; מאגר ת4-090 (הרצאה, ק' 2, בוחן ✓). סעיף (ג) הוא תוספת (נובע מטענות 4.4.2–4.4.3).
דוגמה 3: גבול בהצבה: [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{\arcsin(x)}{x} }[/math]
חשבו את הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{\arcsin(x)}{x} }[/math], ונמקו כל מעבר.
הפונקציה מוגדרת ב־[math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math] פרט ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], כלומר בסביבה מנוקבת של [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. נשתמש בהגדרת היינה: תהי [math]\displaystyle{ x_n }[/math] סדרה כך ש [math]\displaystyle{ x_n\in[-1,1] }[/math] ו־[math]\displaystyle{ x_n\ne0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], ו־[math]\displaystyle{ x_n\to0 }[/math], ונסמן [math]\displaystyle{ t_n=\arcsin(x_n) }[/math] (זו "ההצבה" [math]\displaystyle{ t=\arcsin(x) }[/math]).
[math]\displaystyle{ t_n\to0 }[/math]: הפונקציה [math]\displaystyle{ \sin:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to[-1,1] }[/math] הפיכה ורציפה בקטע הסגור, ולכן לפי משפט 4.5.9 (רציפות הפונקציה ההופכית) [math]\displaystyle{ \arcsin }[/math] רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math], ובפרט (הגדרה 4.5.2) בנקודה הפנימית [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. לכן לפי טענה 4.5.3 [math]\displaystyle{ t_n\to\arcsin(0)=0 }[/math].
לפי הגדרת ההופכית [math]\displaystyle{ \sin(t_n)=x_n }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \frac{\arcsin(x_n)}{x_n}=\frac{t_n}{\sin(t_n)} }[/math] [math]\displaystyle{ =1\Big/\frac{\sin(t_n)}{t_n} }[/math].
לפי משפט 4.4.4 והגדרת היינה (כי [math]\displaystyle{ t_n\ne0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ t_n\to0 }[/math]) מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{\sin(t_n)}{t_n}\to1 }[/math], ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות [math]\displaystyle{ \frac{\arcsin(x_n)}{x_n}\to\frac{1}{1}=1 }[/math].
זה נכון לכל סדרה כזו, ולכן לפי היינה [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{\arcsin(x)}{x}=1 }[/math]. שימו לב: "ההצבה" מוצדקת בדיוק בזכות שתי העובדות [math]\displaystyle{ t_n\to0 }[/math] (רציפות ההופכית) ו־[math]\displaystyle{ t_n\ne0 }[/math] (חח"ע).
נגדיר [math]\displaystyle{ f:[0,1]\cup(2,3]\to[0,2] }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] עבור [math]\displaystyle{ 0\le x\le1 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ f(x)=x-1 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ 2<x\le3 }[/math]. (א) הראו ש [math]\displaystyle{ f }[/math] הפיכה, ושהיא רציפה בכל אחד משני חלקי התחום. (ב) מצאו את [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] והראו שהיא אינה רציפה ב־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]. (ג) מדוע אין כאן סתירה למשפט רציפות הפונקציה ההופכית?
(א) חח"ע ועל: יהי [math]\displaystyle{ y\in[0,2] }[/math]. אם [math]\displaystyle{ 0\le y\le1 }[/math], המקור היחיד של [math]\displaystyle{ y }[/math] הוא [math]\displaystyle{ y }[/math] עצמו: בחלק [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math], ובחלק [math]\displaystyle{ (2,3] }[/math] הערכים הם [math]\displaystyle{ x-1>1 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ 1<y\le2 }[/math], המקור היחיד הוא [math]\displaystyle{ y+1\in(2,3] }[/math]: בחלק [math]\displaystyle{ (2,3] }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)=y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=y+1 }[/math], ובחלק [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] הערכים הם [math]\displaystyle{ x\le1<y }[/math]. לכן לכל [math]\displaystyle{ y\in[0,2] }[/math] יש מקור יחיד, כלומר [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע ועל, ולכן הפיכה.
רציפות: על כל חלק [math]\displaystyle{ f }[/math] היא פונקציה לינארית, ולכן היא רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math], בכל נקודה של [math]\displaystyle{ (2,3) }[/math], ומשמאל ב־[math]\displaystyle{ 3 }[/math].
(ב) לפי (א) ולפי הגדרת ההופכית, [math]\displaystyle{ f^{-1}(y)=y }[/math] עבור [math]\displaystyle{ 0\le y\le1 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ f^{-1}(y)=y+1 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ 1<y\le2 }[/math].
נבחר [math]\displaystyle{ y_n=1+\frac{1}{n} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ y_n\in(1,2] }[/math] ו־[math]\displaystyle{ y_n\to1 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ f^{-1}(y_n)=2+\frac{1}{n}\to2 }[/math], ואילו [math]\displaystyle{ f^{-1}(1)=1 }[/math]. אילו [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] הייתה רציפה ב־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], לפי טענה 4.5.3 היה מתקיים [math]\displaystyle{ f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(1)=1 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] אינה רציפה ב־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]: הגרף שלה קופץ שם מגובה [math]\displaystyle{ 1 }[/math] לגובה [math]\displaystyle{ 2 }[/math].
(ג) המשפט דורש ש [math]\displaystyle{ f }[/math] תהיה מוגדרת ורציפה בקטע סגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], ותחום ההגדרה כאן, [math]\displaystyle{ [0,1]\cup(2,3] }[/math], אינו קטע. בהוכחת המשפט הגבול החלקי [math]\displaystyle{ L }[/math] של [math]\displaystyle{ f^{-1}(y_n) }[/math] נמצא בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], ושם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה; כאן [math]\displaystyle{ f^{-1}(y_n)=2+\frac{1}{n}\to2 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ 2 }[/math] אינו בתחום ההגדרה של [math]\displaystyle{ f }[/math], ולכן אי אפשר להפעיל עליו את [math]\displaystyle{ f }[/math].
מקור: הערת המרצה למשפט 4.5.9, "נחיצות הקטע" (בדיוק הפונקציה הזו); בלוח הרצאה 28.12.20 (R2-4.15, L74) הטענה נכתבה "אם f הפיכה ורציפה ההופכית רציפה", בלי הנחת הקטע (⚠ סתירה ידועה, מאגר ת4-091); שלב ההוכחה שנכשל: תמליל 56 (qjSueXDanYs) 07:44–07:53 (t=464s), "ניקח איזושהי תת סדרה מתכנסת ... הגבול כמובן גם הוא יהיה בקטע בין A ל־B".
טעויות נפוצות
[math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] אינה [math]\displaystyle{ \frac{1}{f} }[/math]: ההופכית היא ביחס להרכבה ולא ביחס לכפל, ולכן ההופכית של [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math] היא [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math] עצמה ולא [math]\displaystyle{ x }[/math], והכפתור [math]\displaystyle{ \sin^{-1} }[/math] במחשבון הוא [math]\displaystyle{ \arcsin }[/math] ולא [math]\displaystyle{ \frac{1}{\sin} }[/math]; בקורס כותבים [math]\displaystyle{ \arctan }[/math] ולא [math]\displaystyle{ \tan^{-1} }[/math] (בסרטון, 0:43 ו־3:48).
"ל־[math]\displaystyle{ \arcsin(1) }[/math] יש אינסוף תשובות": למשוואה [math]\displaystyle{ \sin(x)=1 }[/math] יש אינסוף פתרונות, אבל [math]\displaystyle{ \arcsin(1) }[/math] הוא הפתרון היחיד בקטע [math]\displaystyle{ [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math]; מאותה סיבה [math]\displaystyle{ \arcsin(\sin(x))=x }[/math] רק עבור [math]\displaystyle{ x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] }[/math].
טווח הערכים של [math]\displaystyle{ \arccos }[/math] הוא [math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math] ולא [math]\displaystyle{ [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] }[/math] כמו של [math]\displaystyle{ \arcsin }[/math] (שם [math]\displaystyle{ \cos }[/math] אינה חח"ע, כי [math]\displaystyle{ \cos(-x)=\cos(x) }[/math]), ו־[math]\displaystyle{ \arccos }[/math] אינה אי־זוגית: [math]\displaystyle{ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3} }[/math] ולא [math]\displaystyle{ -\frac{\pi}{3} }[/math].
לכתוב [math]\displaystyle{ \tan:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to\mathbb R }[/math]: ב־[math]\displaystyle{ \pm\frac{\pi}{2} }[/math] הקוסינוס מתאפס ו־[math]\displaystyle{ \tan }[/math] אינה מוגדרת, ולכן התחום הוא הקטע הפתוח, וטווח [math]\displaystyle{ \arctan }[/math] הוא [math]\displaystyle{ (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) }[/math]; מאותה סיבה משפט 4.5.9, שעוסק בקטע סגור, חל על [math]\displaystyle{ \tan }[/math] רק אחרי צמצום לקטע סגור [math]\displaystyle{ [-a,a] }[/math] עם [math]\displaystyle{ 0<a<\frac{\pi}{2} }[/math], וכך מקבלים את רציפות [math]\displaystyle{ \arctan }[/math] בכל נקודה [math]\displaystyle{ y_0 }[/math] שמקיימת [math]\displaystyle{ |y_0|<\tan(a) }[/math].
לצטט את משפט 4.5.9 בלי ההנחה שהתחום הוא קטע (בלעדיה הטענה שגויה, ראו דוגמה 4), ולהציב [math]\displaystyle{ t=\arcsin(x) }[/math] בחישוב גבול בלי לנמק ש [math]\displaystyle{ t\to0 }[/math] (רציפות ההופכית) ו־[math]\displaystyle{ t\ne0 }[/math] (חח"ע).
לתרגול
מועד א' תשע"ז (מתמטיקה) · שאלה 2ב: הטור [math]\displaystyle{ \sum\arctan\left(\frac{(-1)^n}{n}\right) }[/math], דרך האי־זוגיות של [math]\displaystyle{ \arctan }[/math] (דוגמה 2) (פתרון)
מבחן דמה תשע"ז (מתמטיקה) · שאלה 4ב: [math]\displaystyle{ \arctan(x)+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math], דרך נגזרת (פרק 6) (פתרון)
מועד א' תשס"ב · שאלה 6 (אמריקאית): פונקציה עולה ממש היא חח"ע, אך לא בהכרח רציפה; בגרסה השנייה של השאלה, גזירות הפונקציה ההופכית (עם פתרון)
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הפונקציות
רציפות ומיון אי רציפות · הדף שמערך התרגול מקשר אליו בנושא רציפות: מנה והרכבה של פונקציות רציפות, ותרגילים פתורים
![שלוש הפונקציות הטריגונומטריות ההופכיות (בירוק) והפונקציות המקוריות בתחום המצומצם שבו הן הפיכות (בתכלת). הגרף של פונקציה הופכית הוא שיקוף של הגרף המקורי ביחס לישר [math]\displaystyle{ y=x }[/math] (הקו המנוקד), כי [math]\displaystyle{ f(x)=y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=f^{-1}(y) }[/math]: הנקודה [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] על הגרף התכלת עוברת לנקודה [math]\displaystyle{ (y,x) }[/math] על הגרף הירוק (הקטעים המקווקווים הקצרים). משמאל לימין: [math]\displaystyle{ \arcsin }[/math] מקבלת ערכים ב־[math]\displaystyle{ [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] }[/math] ועולה; [math]\displaystyle{ \arccos }[/math] מקבלת ערכים ב־[math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math] ויורדת; [math]\displaystyle{ \arctan }[/math] מוגדרת על כל הישר ומקבלת ערכים בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) }[/math]. הישרים המקווקווים [math]\displaystyle{ y=\pm\frac{\pi}{2} }[/math] הם אסימפטוטות אופקיות של [math]\displaystyle{ \arctan }[/math], והשיקוף שלהם, [math]\displaystyle{ x=\pm\frac{\pi}{2} }[/math], הוא האסימפטוטות האנכיות של [math]\displaystyle{ \tan }[/math].](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c4-07.png)