נגזרת - תרגילים עם פתרונות (אינפי 1)
הופריכו = הוכיחו או הפריכו: קבעו אם הטענה נכונה, ואז הוכיחו אותה או תנו דוגמה נגדית. מספרי התרגילים הם כמו בקובץ ה-PDF של האוסף. התרגילים המסומנים ב-★ קשים יותר (★★★ = אתגר).
חומר עיוני: אינפי 1/נגזרת, דיפרנציאל ומשיק · אינפי 1/נגזרת של הרכבת פונקציות (כלל שרשרת) · אינפי 1/נק' אי הרציפות של הנגזרת - למת דרבו
תרגיל 39: נגזרת גדולה מ-1 וסדרת איטרציות
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( x \right)>1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math], יהי [math]\displaystyle{ {a}_{1}\in \mathbb{R} }[/math] ונגדיר סדרה ע"י [math]\displaystyle{ {a}_{n+1}=f({a}_{n}) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math]. הופריכו: [math]\displaystyle{ |{a}_{n}|\to \infty }[/math].
הפרכה:
נביט בפונקציה [math]\displaystyle{ f\left( x \right)=2x }[/math] שנגזרתה היא [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( x \right)=2>1 }[/math].
נציב את האיבר הראשון [math]\displaystyle{ {a}_{1}=0 }[/math] ונקבל את הסדרה הקבועה [math]\displaystyle{ {a}_{n}\to 0 }[/math].
תרגיל 43: הסימן של f כש-f·f' אי-שלילי
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] עבורה [math]\displaystyle{ f\left( x \right){f}^{'}\left( x \right)\ge 0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math], הופריכו: לכל [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f\left( x \right)\ge 0 }[/math].
הפרכה: כל פונקציה שלילית ויורדת תהווה דוגמא נגדית, למשל [math]\displaystyle{ f\left( x \right)=-{e}^{x} }[/math]
אכן [math]\displaystyle{ f\left( x \right)<0 }[/math] אך [math]\displaystyle{ f\left( x \right){f}^{'}\left( x \right)={\left( -{e}^{x} \right)}^{2}\ge 0 }[/math].
תרגיל 44: הנגזרת של f בריבוע
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] עבורה [math]\displaystyle{ f\left( x \right){f}^{'}\left( x \right)\ge 0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math], וכן [math]\displaystyle{ f\left( 0 \right)=0 }[/math] הופריכו: לכל [math]\displaystyle{ x<0 }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f\left( x \right)=0 }[/math].
הוכחה: נשים לב כי
- [math]\displaystyle{ {\left( \frac{{f}^{2}\left( x \right)}{2} \right)}^{'} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{1}{2}\cdot 2f\left( x \right){f}^{'}\left( x \right)\ge 0 }[/math]
לכן הפונקציה [math]\displaystyle{ {f}^{2}(x) }[/math] מונוטונית עולה בכל הממשיים.
כיוון שנתון כי [math]\displaystyle{ f\left( 0 \right)=0 }[/math] נובע כי [math]\displaystyle{ {f}^{2}\left( 0 \right)=0 }[/math].
ביחד, לכל [math]\displaystyle{ x<0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ 0\le {f}^{2}\left( x \right)\le {f}^{2}\left( 0 \right)=0 }[/math]
(כיוון ש [math]\displaystyle{ {f}^{2}(x) }[/math] עולה וכמובן אי שלילית.)
כלומר [math]\displaystyle{ {f}^{2}\left( x \right)=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f\left( x \right)=0 }[/math], כפי שרצינו.
תרגיל 45: f(f(x))=f(x) והנגזרת
תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] הגזירה בכל הממשיים כך ש[math]\displaystyle{ f\left( f\left( x \right) \right)=f\left( x \right) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math]. הופריכו: קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in \mathbb{R} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ {\left( {f}^{'}\left( c \right) \right)}^{2}-f'\left( c \right)=0 }[/math].
הוכחה: נגזור את שני צידי השיוויון [math]\displaystyle{ f\left( f\left( x \right) \right)=f(x) }[/math] ונקבל כי
- [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( f\left( x \right) \right){f}^{'}\left( x \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ ={f}^{'}\left( x \right) }[/math]
נעביר אגף ונוציא גורם משותף
- [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( x \right)\left( {f}^{'}\left( f\left( x \right) \right)-1 \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =0 }[/math]
יהי [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math]. אם [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( x \right)=0 }[/math] נבחר [math]\displaystyle{ c=x }[/math] וסיימנו.
אחרת, [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( f\left( x \right) \right)=1 }[/math], נבחר [math]\displaystyle{ c=f(x) }[/math] וסיימנו.
(הרי הן [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( c \right)=0 }[/math] והן [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( c \right)=1 }[/math] מאפסות את [math]\displaystyle{ {\left( {f}^{'}\left( c \right) \right)}^{2}-f'(c) }[/math].)
תרגיל 46: f(f(x))=f(x): קבועה או זהות ★
תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] הגזירה בכל הממשיים כך ש[math]\displaystyle{ f\left( f\left( x \right) \right)=f\left( x \right) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math]. הופריכו: [math]\displaystyle{ f }[/math] הינה פונקציה קבועה או שהינה פונקצית הזהות.
הוכחה: נניח ש[math]\displaystyle{ f }[/math] אינה פונקציה קבועה, ונוכיח שלכל [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f\left( x \right)=x }[/math].
ראשית, לכל איבר בתמונה [math]\displaystyle{ x\in Im(f) }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ x=f(t) }[/math] ולכן
- [math]\displaystyle{ f\left( x \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =f\left( f\left( t \right) \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =f\left( t \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =x }[/math]
כלומר הפונקציה חייבת לשלוח כל איבר בתמונה לעצמו, ואנחנו רוצים להוכיח כי [math]\displaystyle{ Im\left( f \right)=\mathbb{R} }[/math] ולכן מדובר בפונקצית הזהות, הרי לכל [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math] יתקיים [math]\displaystyle{ x\in Im(f) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f\left( x \right)=x }[/math].
כיוון שהפונקציה גזירה היא רציפה, ולכן לכל שתי נקודות [math]\displaystyle{ a,b\in Im(f) }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ \left[ a,b \right]\subseteq Im(f) }[/math] לפי משפט ערך הביניים.
מכאן נובע דיי בקלות כי אם [math]\displaystyle{ Im(f) }[/math] אינה חסומה מלעיל ומלרע אזי בהכרח [math]\displaystyle{ \mathbb{R}=Im(f) }[/math], הרי לכל נקודה יש איבר גדול ממנו בתמונה (כי אינה חסומה מלעיל) ואיבר קטן ממנה בתמונה (כי אינה חסומה מלרע) ולכן כל הקטע בינהן מוכל בתמונה וכך גם הנקודה שלנו.
נב"ש כי התמונה חסומה מלרע (הוכחה עבור חסם מלעיל דומה), ונסמן את החסם התחתון שלה ב
- [math]\displaystyle{ m=\inf {\left( f\left( x \right) \right)} }[/math]
נוכיח ראשית כי [math]\displaystyle{ f\left( m \right)=m }[/math].
אחרת, [math]\displaystyle{ m\notin Im(f) }[/math], ולכן ניתן לקחת סדרת נקודות [math]\displaystyle{ m\ne {a}_{n}\in Im(f) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ {a}_{n}\to m }[/math].
כיוון שהפונקציה רציפה,
- [math]\displaystyle{ f\left( {a}_{n} \right)\to f(m) }[/math]
אך כיוון ש[math]\displaystyle{ {a}_{n}\in Im\left( f \right) }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f\left( {a}_{n} \right)={a}_{n} }[/math] וביחד עם העובדה ש [math]\displaystyle{ {a}_{n}\to m }[/math]
נובע כי [math]\displaystyle{ f\left( m \right)=m }[/math] בסתירה.
כיוון שהנחנו שהפונקציה אינה קבועה, קיים ערך נוסף בתמונה [math]\displaystyle{ m<b\in Im(f) }[/math].
לכל [math]\displaystyle{ x\in [m,b] }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f\left( x \right)=x }[/math] וביחד עם הנתון שהפונקציה גזירה אנו מקבלים כי
- [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( m \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\lim_{x\to m}{\frac{f\left( x \right)-f(m)}{x-m}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\lim_{x\to {m}^{+}}{\frac{x-m}{x-m}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =1 }[/math]
אבל, כיוון ש[math]\displaystyle{ m }[/math] הוא המינימום של התמונה, לכל [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f\left( x \right)\ge m }[/math], ולכן:
- [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( m \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\lim_{x\to m}{\frac{f\left( x \right)-f(m)}{x-m}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\lim_{x\to {m}^{-}}{\frac{f\left( x \right)-f(m)}{x-m}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\lim_{x\to {m}^{-}}{\frac{f\left( x \right)-m}{x-m}}\le 0 }[/math]
(אי השיוויון האחרון הוא כיוון שהמונה אי שלילי והמכנה שלילי.)
וקיבלנו כי [math]\displaystyle{ 1={f}^{'}\left( m \right)\le 0 }[/math], בסתירה.
תרגיל 53: חסימות הנגזרת בקטע פתוח
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וגזירה ב[math]\displaystyle{ (a,b) }[/math], הופריכו: [math]\displaystyle{ f' }[/math] חסומה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math].
הפרכה: ויירשטראס מבטיח כי פונקציה רציפה בקטע סגור חסומה בו, ולכן אנו מחפשים נגזרת שאינה רציפה בקטע הסגור.
- [math]\displaystyle{ f\left( x \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left\{ \begin{matrix}{x}^{2}\sin {\left( \frac{1}{{x}^{2}} \right)} & x\ne 0 \\ 0 & x=0\end{matrix} \right. }[/math]
קל לוודא כי הפונקציה רציפה ב[math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] ואף גזירה בכל הממשיים (כאשר הנקודה עליה צריך לשים דגש היא כמובן אפס).
כמו כן, לא קשה לחשב כי
- [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( x \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left\{ \begin{matrix}2x\sin \left( \frac{1}{{x}^{2}} \right)-\frac{2\cos {\left( \frac{1}{{x}^{2}} \right)}}{x} & x\ne 0 \\ 0 & x=0\end{matrix} \right. }[/math]
נביט בסדרה [math]\displaystyle{ 0<{a}_{n}\to 0 }[/math] עליה [math]\displaystyle{ \cos {\left( \frac{1}{{a}_{n}^{2}} \right)}=1 }[/math]. יוצא ש
- [math]\displaystyle{ \lim {{f}^{'}\left( {a}_{n} \right)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\lim {2{a}_{n}\sin {\left( \frac{1}{{a}_{n}^{2}} \right)}}-\frac{2}{{a}_{n}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =0-\infty }[/math]
- [math]\displaystyle{ =-\infty }[/math]
כאשר הביטוי השמאל בסכום הוא מהצורה של אפיסה כפול חסומה, והביטוי הימני מהצורה [math]\displaystyle{ \frac{2}{{0}^{+}} }[/math].
בכך הוכחנו כי הנגזרת אינה חסומה, וכל שנותר הוא למצוא סדרה [math]\displaystyle{ {a}_{n} }[/math] כפי שהבטחנו.
כעת [math]\displaystyle{ \cos {\left( x \right)}=1 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=2\pi k }[/math] עבור [math]\displaystyle{ k\in \mathbb{Z} }[/math].
לכן נבחר סדרה [math]\displaystyle{ {a}_{n} }[/math] כך ש
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{{a}_{n}^{2}}=2\pi n }[/math]
- [math]\displaystyle{ 0<{a}_{n}=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}\to 0 }[/math]
כפי שרצינו.
תרגיל 57: רציפות הנגזרת
תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] גזירה בכל הממשיים, הופריכו: [math]\displaystyle{ f' }[/math] רציפה בכל הממשיים.
הפרכה: נביט בפונקציה
- [math]\displaystyle{ f\left( x \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left\{ \begin{matrix}{x}^{2}\sin {\left( \frac{1}{x} \right)} & x\ne 0 \\ 0 & x=0\end{matrix} \right. }[/math]
ברור שהיא גזירה לכל [math]\displaystyle{ x\ne 0 }[/math] נבדוק את הגזירות ב[math]\displaystyle{ x=0 }[/math] לפי ההגדרה, כלומר נחשב את גבול שיפועי המיתרים.
- [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( 0 \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\lim_{x\to 0}{\frac{f\left( x \right)-f(0)}{x-0}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\lim_{x\to 0}{\frac{{x}^{2}\sin {\left( \frac{1}{x} \right)}}{x}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\lim_{x\to 0}{x\sin \left( \frac{1}{x} \right)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =0 }[/math]
המעבר האחרון הוא כיוון שמדובר באפיסה כפול חסומה.
לכן הפונקציה אכן גזירה בכל הממשיים.
נחשב את הנגזרת
- [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( x \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left\{ \begin{matrix}2x\sin \left( \frac{1}{x} \right)-\cos {\left( \frac{1}{x} \right)} & x\ne 0 \\ 0 & x=0\end{matrix} \right. }[/math]
כעת [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}{2x\sin \left( \frac{1}{x} \right)}=0 }[/math] אך הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}{\cos {\left( \frac{1}{x} \right)}} }[/math] אינו קיים ולכן סה"כ [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}{f'(x)} }[/math] אינו קיים, ובוודאי הנגזרת אינה רציפה
ב[math]\displaystyle{ x=0 }[/math].
תרגיל 58: חסימות הנגזרת בקטע סגור
תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] גזירה בכל הממשיים, הופריכו: [math]\displaystyle{ f' }[/math] חסומה בכל קטע סופי וסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].
הפרכה: נביט בפונקציה
- [math]\displaystyle{ f\left( x \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left\{ \begin{matrix}{x}^{2}\sin {\left( \frac{1}{{x}^{2}} \right)} & x\ne 0 \\ 0 & x=0\end{matrix} \right. }[/math]
ניתן להוכיח כי היא גזירה בכל הממשיים בדומה לתרגיל קודם, וכי מתקיים שהנגזרת הינה
- [math]\displaystyle{ f'\left( x \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left\{ \begin{matrix}2x\sin \left( \frac{1}{{x}^{2}} \right)-\frac{2\cos {\left( \frac{1}{{x}^{2}} \right)}}{x} & x\ne 0 \\ 0 & x=0\end{matrix} \right. }[/math]
כעת [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}{2x\sin \left( \frac{1}{{x}^{2}} \right)}=0 }[/math]
וכמו כן, עבור הסדרה [math]\displaystyle{ {a}_{n}=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}\to 0 }[/math] מתקיים כי
- [math]\displaystyle{ \frac{2\cos {\left( \frac{1}{{a}_{n}^{2}} \right)}}{{a}_{n}}\to \infty }[/math]
ולכן סה"כ [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math] אינה חסומה בקטע [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math]
(כל קטע שמכיל את אפס, בעצם.)
תרגיל 59: סימן הנגזרת בסביבת נקודה
תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] גזירה בכל הממשיים כך ש [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( 0 \right)>0 }[/math], הופריכו: קיימת סביבה של [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] בה [math]\displaystyle{ {f}^{'}>0 }[/math].
הפרכה: נביט בפונקציה
- [math]\displaystyle{ f\left( x \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left\{ \begin{matrix}{x}^{2}\sin {\left( \frac{1}{{x}^{2}} \right)}+x & x\ne 0 \\ 0 & x=0\end{matrix} \right. }[/math]
נחשב את הנגזרת באפס:
- [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( 0 \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\lim_{x\to 0}{\frac{{x}^{2}\sin {\left( \frac{1}{{x}^{2}} \right)}+x-0}{x-0}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\lim_{x\to 0}{x\sin \left( \frac{1}{{x}^{2}} \right)+1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =1 }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה בכל הממשיים וכן [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( 0 \right)=1>0 }[/math].
- [math]\displaystyle{ f'\left( x \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left\{ \begin{matrix}2x\sin \left( \frac{1}{{x}^{2}} \right)-\frac{2\cos {\left( \frac{1}{{x}^{2}} \right)}}{x}+1 & x\ne 0 \\ 1 & x=0\end{matrix} \right. }[/math]
בדומה לתרגיל קודם, בעזרת סדרת הנקודות [math]\displaystyle{ {a}_{n}=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}} }[/math] ניתן להסיק כי בכל סביבה של אפס הנגזרת אינה חסומה מלרע, ובוודאי לא ניתן להבטיח שהיא חיובית.
תרגיל 60: נגזרת חיובית בנקודה
תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( 0 \right)>0 }[/math], וכן [math]\displaystyle{ f\left( 0 \right)=0 }[/math] הופריכו: קיימת סביבה ימנית של [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] בה [math]\displaystyle{ f>0 }[/math].
הוכחה: לפי הגדרת הנגזרת
- [math]\displaystyle{ 0<{f}^{'}\left( 0 \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\lim_{x\to 0}{\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\lim_{x\to 0}{\frac{f\left( x \right)}{x}} }[/math]
לכן קיימת סביבה של אפס בה [math]\displaystyle{ \frac{f\left( x \right)}{x}>\frac{{f}^{'}\left( 0 \right)}{2} }[/math] ומכאן אם [math]\displaystyle{ x>0 }[/math] בסביבה זו נובע כי [math]\displaystyle{ f\left( x \right)>0 }[/math] כפי שרצינו.
תרגילים בנושאים נוספים
- סדרות וגבולות (8 תרגילים)
- תתי סדרות, גבול עליון וסדרות קושי (7 תרגילים)
- גבולות ורציפות של פונקציות (16 תרגילים)
- משפט ערך הביניים ומשפט ויירשטראס (15 תרגילים)
- משפט רול ולגראנז' ומונוטוניות (6 תרגילים)
- קמירות וקעירות (9 תרגילים)
- כל תרגילי ההכנה למבחן · קובץ ה-PDF של האוסף · מבחנים ובחנים עם פתרונות · דף הקורס