קמירות וקעירות - תרגילים עם פתרונות (אינפי 1)
הופריכו = הוכיחו או הפריכו: קבעו אם הטענה נכונה, ואז הוכיחו אותה או תנו דוגמה נגדית. מספרי התרגילים הם כמו בקובץ ה-PDF של האוסף.
חומר עיוני: אינפי 1/פונקציות קמורות וקעורות
תרגיל 40: פונקציה קעורה: גבול באינסוף
תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( 0 \right)=1 }[/math], יהי [math]\displaystyle{ m>1 }[/math] וכן לכל [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ {f}^{''}\left( x \right)\le 0 }[/math]. חשבו את [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}{\left( f\left( x \right)-mx \right)} }[/math].
פתרון –
כיוון ש [math]\displaystyle{ {f}^{''}\le 0 }[/math] הנגזרת הראשונה מונוטונית יורדת.
לכן לכל [math]\displaystyle{ x\ge 0 }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( x \right)\le 1 }[/math]
נעביר אגף [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( x \right)-1\le 0 }[/math], ונביט בפונקציה הקדומה
- [math]\displaystyle{ h\left( x \right)=f\left( x \right)-x }[/math]
כלומר ראינו כי [math]\displaystyle{ {h}^{'}\left( x \right)\le 0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\ge 0 }[/math] ולכן הפונקציה יורדת בתחום ולכל [math]\displaystyle{ x\ge 0 }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ h\left( x \right)\le h(0) }[/math].
במילים אחרות, לכל [math]\displaystyle{ x\ge 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ f\left( x \right)-x\le f\left( 0 \right)-0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ f\left( x \right)\le x+f\left( 0 \right) }[/math]
נחזור לשאלה,
- [math]\displaystyle{ f\left( x \right)-mx\le x+f\left( 0 \right)-mx }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left( 1-m \right)x+f\left( 0 \right)\to-\infty }[/math]
הגבול הוא מינוס אינסוף כיוון ש [math]\displaystyle{ 1-m<0 }[/math]
ולכן לפי חצי סנדוויץ'
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}{f\left( x \right)-mx}=-\infty }[/math]
תרגיל 47: קעורה וחיובית עם גבול 1
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ f\left( x \right)>0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ {f}^{''}\left( x \right)<0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ 0<x\in \mathbb{R} }[/math]. הופריכו: בהכרח לא מתקיים כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}{f(x)}=1 }[/math].
הפרכה: עלינו למצוא פונקציה חיובית ובוכה בעלת אסימפטוטה אופקית [math]\displaystyle{ y=1 }[/math] מימין.
- [math]\displaystyle{ f\left( x \right)=\frac{1}{\pi}\arctan {\left( x \right)}+\frac{1}{2} }[/math]
קל לוודא שהיא מקיימת את כל הדרוש.
תרגיל 48: קעורה וחיובית על כל הישר
הופריכו: קיימת פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ f\left( x \right)>0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ {f}^{''}\left( x \right)<0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math].
הפרכה: נב"ש כי קיימת פונקציה כזו. כיוון שהנגזרת השנייה שלילית, הנגזרת הראשונה יורדת.
ראשית, נניח כי קיימת נקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] בה [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( a \right)<0 }[/math].
כיוון שהפונקציה יורדת מתקיים כי לכל [math]\displaystyle{ x\ge a }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( x \right)\le {f}^{'}\left( a \right) }[/math].
נעביר אגף ונביט בפונקציה הקדומה
- [math]\displaystyle{ h\left( x \right)=f\left( x \right)-{f}^{'}\left( a \right)x }[/math]
מהנתונים נובע כי
- [math]\displaystyle{ {h}^{'}\left( x \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ ={f}^{'}\left( x \right)-{f}^{'}\left( a \right)\le 0 }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ h(x) }[/math] יורדת ולכל [math]\displaystyle{ x\ge a }[/math] מתקיים כי
- [math]\displaystyle{ h\left( x \right)\le h\left( a \right) }[/math]
כלומר
- [math]\displaystyle{ f\left( x \right)-{f}^{'}\left( a \right)x\le f\left( a \right)-{f}^{'}\left( a \right)a }[/math]
ולכן לכל [math]\displaystyle{ x\ge a }[/math]
- [math]\displaystyle{ f\left( x \right)\le {f}^{'}\left( a \right)x+f\left( a \right)-{f}^{'}\left( a \right)a }[/math]
כיוון ש [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( a \right)<0 }[/math] הצד הימני שואף למינוס אינסוף כאשר [math]\displaystyle{ x\to \infty }[/math] ולכן לפי חצי סנדוויץ' גם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}{f(x)}=-\infty }[/math] בסתירה לכך שהפונקציה חיובית בכל הממשיים.
כעת, נניח כי קיימת נקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] עבורה [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( a \right)>0 }[/math].
כיוון ש[math]\displaystyle{ f' }[/math] יורדת, נובע כי לכל [math]\displaystyle{ x\le a }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( x \right)\ge f'(a) }[/math].
נעביר אגף ונביט בפונקציה הקדומה
- [math]\displaystyle{ h\left( x \right)=f\left( x \right)-{f}^{'}\left( a \right)x }[/math]
לכל [math]\displaystyle{ x\le a }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ {h}^{'}\left( x \right)\ge 0 }[/math]
לכן לכל [math]\displaystyle{ x\le a }[/math] מתקיים כי
- [math]\displaystyle{ h\left( x \right)\le h\left( a \right) }[/math]
כלומר
- [math]\displaystyle{ f\left( x \right)-{f}^{'}\left( a \right)x\le f\left( a \right)-{f}^{'}\left( a \right)a }[/math]
ומכאן לכל [math]\displaystyle{ x\le a }[/math] מתקיים
- [math]\displaystyle{ f\left( x \right)\le {f}^{'}\left( a \right)x+f\left( a \right)-{f}^{'}\left( a \right)a }[/math]
כיוון ש [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( a \right)>0 }[/math] נובע כי
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty}{{f}^{'}\left( a \right)x+f\left( a \right)-{f}^{'}\left( a \right)a} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =-\infty }[/math]
ולכן לפי חצי סנדוויץ' נובע כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty}{f(x)}=-\infty }[/math]בסתירה לכך שהפונקציה חיובית בכל הממשיים.
לבסוף, נותרנו עם המצב לפיו הנגזרת קבועה אפס, ומכאן גם הנגזרת השנייה קבועה אפס בסתירה.
תרגיל 49: קעורה וחיובית עם גבול 0
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ f\left( x \right)>0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ {f}^{''}\left( x \right)<0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ 0<x\in \mathbb{R} }[/math]. הופריכו: בהכרח לא מתקיים כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}{f(x)}=0 }[/math].
הוכחה: מדובר בפונקציה חיובית ובוכה, נוכיח שלא ייתכן שהיא יורדת לכיוון אסימפטוטה אופקית [math]\displaystyle{ y=0 }[/math] מימין, אלא בתנאי השאלה נוכיח שהפונקציה חייבת לעלות (אחרת מתישהו היא תחתוך את ציר איקס).
נב"ש כי קיימת נקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] בה [math]\displaystyle{ m={f}^{'}\left( a \right)<0 }[/math].
כיוון ש[math]\displaystyle{ {f}^{''}<0 }[/math] נובע כי הנגזרת הראשונה יורדת ולכן לכל [math]\displaystyle{ x\ge a }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( x \right)\le m }[/math].
נעביר אגף [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( x \right)-m\le 0 }[/math] ונביט בפונקציה הקדומה
- [math]\displaystyle{ h\left( x \right)=f\left( x \right)-mx }[/math]
כלומר [math]\displaystyle{ h }[/math] יורדת בתחום [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] ולכן לכל [math]\displaystyle{ x\ge a }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ h\left( x \right)\le h(a) }[/math]
ובמילים אחרות לכל [math]\displaystyle{ x\ge a }[/math]
- [math]\displaystyle{ f\left( x \right)-mx\le f\left( a \right)-ma }[/math]
- [math]\displaystyle{ f\left( x \right)\le mx+f\left( a \right)-ma }[/math]
כיוון שמימין יש לנו ישר עם שיפוע שלילי, הוא שואף למינוס אינסוף:
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}{mx+f\left( a \right)-ma}=-\infty }[/math]
ולכן לפי חצי סנדוויץ' גם
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}{f(x)}=-\infty }[/math]
בסתירה לכך שמדובר בפונקציה חיובית.
לכן סה"כ הפונקציה עולה בתחום, ולכן הגבול שלה באינסוף גדול או שווה מכל ערך שהיא מקבלת.
כיוון ש[math]\displaystyle{ f\left( x \right)>0 }[/math] בכל נקודה, נציב נקודה כלשהי ונקבל שהגבול באינסוף חייב להיות גדול או שווה לערך בנקודה זו, ולכן בפרט הגבול לא יכול להיות אפס.
תרגיל 50: קעורה עם גבול אינסופי באפס
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ {f}^{''}\left( x \right)<0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in (0,1) }[/math], הופריכו: בהכרח לא מתקיים כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {0}^{+}}{f(x)}=\infty }[/math].
הוכחה: למעשה בשאלה זו נראה כי לא ייתכן שלפונקציה יש אסימפטוטה אנכית בתחום בו היא בוכה.
תהי [math]\displaystyle{ a\in (0,1) }[/math] נקודה כלשהי בקטע.
כיוון ש [math]\displaystyle{ {f}^{''}<0 }[/math] הנגזרת הראשונה יורדת, ולכן לכל [math]\displaystyle{ 0<x<a }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( x \right)>f'(a) }[/math].
נעביר אגף [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( x \right)-{f}^{'}\left( a \right)>0 }[/math] ונבנה את הפונקציה הקדומה
- [math]\displaystyle{ h\left( x \right)=f\left( x \right)-{f}^{'}\left( a \right)x }[/math]
כלומר ראינו כי [math]\displaystyle{ {h}^{'}>0 }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (0,a) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ h }[/math] עולה ולכן לכל [math]\displaystyle{ 0<x<a }[/math] מתקיים כי
- [math]\displaystyle{ h\left( x \right)<h\left( a \right) }[/math]
כלומר
- [math]\displaystyle{ f\left( x \right)-{f}^{'}\left( a \right)x<f\left( a \right)-{f}^{'}\left( a \right)a }[/math]
ולכן
- [math]\displaystyle{ f\left( x \right)<{f}^{'}\left( a \right)x+f\left( a \right)-{f}^{'}\left( a \right)a }[/math]
הביטוי מימין הוא ישר וגבולו באפס הוא גובה החיתוך עם ציר הy:
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {0}^{+}}{{f}^{'}\left( a \right)x+f\left( a \right)-{f}^{'}\left( a \right)a} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =f\left( a \right)-{f}^{'}\left( a \right)a }[/math]
ולכן אם הגבול של הפונקציה קיים הוא מקיים:
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {0}^{+}}{f(x)}\le f\left( a \right)-{f}^{'}\left( a \right)a }[/math]
ולכן הגבול אינו יכול להיות אינסוף.
תרגיל 51: קעורה ששואפת לאינסוף
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ {f}^{''}\left( x \right)<0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in (1,\infty) }[/math], הופריכו: בהכרח לא מתקיים כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}{f(x)}=\infty }[/math].
הפרכה: פונקציה וודאי יכולה להיות בוכה ולשאוף לאינסוף. דוגמאות - [math]\displaystyle{ \sqrt{x},\ln (x) }[/math].
תרגיל 52: קעורה ויורדת
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ {f}^{''}\left( x \right)<0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( x \right)<0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math]. הופריכו: בהכרח לא מתקיים כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}{f(x)}=-\infty }[/math].
הפרכה: פונקציה יכולה לבכות ולרדת למינוס אינסוף בקלות, למשל [math]\displaystyle{ -{e}^{x} }[/math].
תרגיל 55: פונקציה קמורה: גבול באינסוף
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ {f}^{''}\left( x \right)>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math], הופריכו: [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}{f(x)}=\infty }[/math].
הפרכה: בעצם שואלים אותנו אם פונקציה מחייכת חייבת לשאוף לאינסוף. זה הגיוני, אם אנחנו טועים לחשוב שהיא חייבת להיות עולה.
הפונקציה [math]\displaystyle{ {e}^{-x} }[/math] יורדת לאפס ומחייכת.
תרגיל 56: נגזרת עולה וחיובית: גבול באינסוף
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת נגזרת מונוטונית עולה כך ש [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( x \right)>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math], הופריכו: [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}{f(x)}=\infty }[/math].
הוכחה: הפעם בעצם הפונקציה מחייכת (כי הנגזרת עולה) ועולה (כי הנגזרת חיובית) והגבול הוא אכן אינסוף כמו שציפינו בתרגיל קודם.
נציב נקודה כלשהי, למשל [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] ונסמן
- [math]\displaystyle{ m={f}^{'}\left( 0 \right)>0 }[/math]
כיוון שהנגזרת עולה, לכל [math]\displaystyle{ x\ge 0 }[/math] מתקיים כי
- [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( x \right)\ge {f}^{'}\left( 0 \right)=m }[/math]
נעביר אגף [math]\displaystyle{ {f}^{'}\left( x \right)-m\ge 0 }[/math] ונבנה את הפונקציה הקדומה
- [math]\displaystyle{ h\left( x \right)=f\left( x \right)-mx }[/math]
כיוון שנגזרתה של [math]\displaystyle{ h }[/math] אי שלילית, הפונקציה [math]\displaystyle{ h }[/math] עולה, לכל [math]\displaystyle{ x\ge 0 }[/math]. ולכן לכל [math]\displaystyle{ x\ge 0 }[/math] מתקיים כי
- [math]\displaystyle{ h\left( x \right)\ge h\left( 0 \right) }[/math]
כלומר
- [math]\displaystyle{ f\left( x \right)-mx\ge f\left( 0 \right)-m\cdot 0 }[/math]
ולכן
- [math]\displaystyle{ f\left( x \right)\ge mx+f(0) }[/math]
כיוון ש [math]\displaystyle{ m>0 }[/math] נובע כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}{mx+f(0)}=\infty }[/math] ולכן לפי חצי סנדוויץ':
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}{f\left( x \right)}=\infty }[/math]
כפי שרצינו.
תרגילים בנושאים נוספים
- סדרות וגבולות (8 תרגילים)
- תתי סדרות, גבול עליון וסדרות קושי (7 תרגילים)
- גבולות ורציפות של פונקציות (16 תרגילים)
- משפט ערך הביניים ומשפט ויירשטראס (15 תרגילים)
- נגזרת (10 תרגילים)
- משפט רול ולגראנז' ומונוטוניות (6 תרגילים)
- כל תרגילי ההכנה למבחן · קובץ ה-PDF של האוסף · מבחנים ובחנים עם פתרונות · דף הקורס