משפט ערך הביניים ומשפט ויירשטראס - תרגילים עם פתרונות (אינפי 1)
הופריכו = הוכיחו או הפריכו: קבעו אם הטענה נכונה, ואז הוכיחו אותה או תנו דוגמה נגדית. מספרי התרגילים הם כמו בקובץ ה-PDF של האוסף.
חומר עיוני: אינפי 1/משפט ערך הביניים · אינפי 1/משפטי וויירשטראס לפונקציות רציפות
תרגיל 9: נקודת שבת לפונקציה רציפה
תהי [math]\displaystyle{ f:\left[ a,b \right]\to [a,b] }[/math] פונקציה רציפה, הופריכו: קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in [a,b] }[/math] עבורה [math]\displaystyle{ f\left( c \right)=c }[/math].
הוכחה: נעביר אגף ונבנה פונקציה [math]\displaystyle{ h\left( x \right)=f\left( x \right)-x }[/math], צ"ל שקיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in \left[ a,b \right] }[/math] עבור [math]\displaystyle{ h\left( c \right)=0 }[/math].
הפונקציה [math]\displaystyle{ h }[/math] רציפה כצירוף של רציפות בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], לכן לפי משפט ערך הביניים מספיק למצוא נקודה מעל הציר ונקודה מתחת לציר על מנת להוכיח שקיים חיתוך עם הציר.
נציב את קצוות הקטע
- [math]\displaystyle{ h\left( a \right)=f\left( a \right)-a\ge 0 }[/math]
זה נכון כיוון ש [math]\displaystyle{ f\left( x \right)\in [a,b] }[/math] לפי הנתון, ולכן בפרט [math]\displaystyle{ f\left( a \right)\ge a }[/math]
באופן דומה
- [math]\displaystyle{ h\left( b \right)=f\left( b \right)-b\le 0 }[/math]
וסיימנו.
תרגיל 13: חסם מלרע לפונקציה רציפה בקטע סגור
תהי [math]\displaystyle{ f:\left[ a,b \right]\to \mathbb{R} }[/math] פונקציה רציפה ויהי [math]\displaystyle{ m\in \mathbb{R} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in [a,b] }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f\left( x \right)>m }[/math], הופריכו: קיים [math]\displaystyle{ \varepsilon >0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in [a,b] }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f\left( x \right)>m+\varepsilon }[/math].
הוכחה: לפי משפט ויירשטראס [math]\displaystyle{ II }[/math] הפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] מקבלת מינימום כיוון שהיא רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], בנקודה [math]\displaystyle{ c\in [a,b] }[/math].
כלומר לכל [math]\displaystyle{ x\in [a,b] }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f\left( c \right)\le f(x) }[/math].
כעת, לפי הנתון
- [math]\displaystyle{ m<f(c) }[/math]
ניקח את חצי המרחק
- [math]\displaystyle{ \varepsilon=\frac{f\left( c \right)-m}{2} }[/math]
ולכן
- [math]\displaystyle{ m+\varepsilon }[/math]
- [math]\displaystyle{ =m+\frac{f\left( c \right)-m}{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{f\left( c \right)+m}{2} }[/math]
הוא בדיוק אמצע הקטע בין [math]\displaystyle{ m<m+\varepsilon <f(c) }[/math]
ולכן אכן לכל [math]\displaystyle{ x\in \left[ a,b \right] }[/math] מתקיים כי
- [math]\displaystyle{ m+\varepsilon <f(x) }[/math]
תרגיל 14: פונקציה רציפה בלי קיצון מקומי
תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] רציפה בכל הממשיים, כך שאין לה קיצון מקומי, הופריכו: [math]\displaystyle{ f }[/math] מונוטונית (עולה או יורדת).
הוכחה: נב"ש כי הפונקציה אינה עולה ואינה יורדת, לכן קיימים שני זוגות של נקודות
- [math]\displaystyle{ {x}_{1}<{x}_{2}, {x}_{3}<{x}_{4} }[/math]
כך ש
- [math]\displaystyle{ f\left( {x}_{1} \right)<f\left( {x}_{2} \right), f\left( {x}_{3} \right)>f\left( {x}_{4} \right) }[/math]
נביט בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ {x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},{x}_{4}\in (a,b) }[/math].
לפי משפט ויירשטראס [math]\displaystyle{ II }[/math] הפונקציה מקבלת מינימום ומקסימום בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וכיוון שאין קיצון מקומי המקסימום והמינימום מתקבלים רק בקצוות.
אם [math]\displaystyle{ f\left( a \right)=f(b) }[/math] הפונקציה קבועה בקטע (כי המקסימום שווה למינימום) ולכן כל הנקודות בקטע הפתוח הן קיצון מקומי בסתירה. לכן [math]\displaystyle{ f\left( a \right)>f(b) }[/math] או [math]\displaystyle{ f\left( b \right)>f(a) }[/math].
נניח כי [math]\displaystyle{ f\left( a \right)>f(b) }[/math] (ההוכחה עבור המקרה השני דומה).
נביט בקטע [math]\displaystyle{ [a,{x}_{2}] }[/math]. שוב לפי ווירשטראס הפונקציה מקבלת מקסימום ומינימום בקטע.
כיוון ש [math]\displaystyle{ f\left( {x}_{1} \right)<f({x}_{2}) }[/math] המינימום לא מתקבל בקצה הימני.
כמו כן, כיוון ש[math]\displaystyle{ f(a) }[/math] היא המקסימום ב[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] נובע כי [math]\displaystyle{ f\left( a \right)>f({x}_{1}) }[/math].
לכן המינימום בקטע [math]\displaystyle{ [a,{x}_{2}] }[/math] לא מתקבל בקצוות, אלא בפנים הקטע (בנקודה בה הערך קטן או שווה ל[math]\displaystyle{ f({x}_{1}) }[/math]), ולכן יש מינימום מקומי, בסתירה.
תרגיל 19: נקודת שבת של f ושל f(f(x))
תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] רציפה בכל הממשיים, הוכיחו כי קיים פתרון למשוואה [math]\displaystyle{ f\left( x \right)=x }[/math] אם ורק אם קיים פתרון למשוואה [math]\displaystyle{ f\left( f\left( x \right) \right)=x }[/math].
הוכחה:
בכיוון ראשון, נניח כי קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c }[/math] עבורה [math]\displaystyle{ f\left( c \right)=c }[/math]
לכן
- [math]\displaystyle{ f\left( f\left( c \right) \right)=f\left( c \right)=c }[/math]
ואותה נקודה הינה פתרון למשוואה השנייה.
בכיוון השני, נניח כי קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c }[/math] עבורה [math]\displaystyle{ f\left( f\left( c \right) \right)=c }[/math]
כעת עלינו להוכיח כי קיים פתרון למשוואה [math]\displaystyle{ f\left( x \right)=x }[/math]. נעביר אגף ונבנה פונקציה
- [math]\displaystyle{ h\left( x \right)=f\left( x \right)-x }[/math]
עלינו להוכיח של[math]\displaystyle{ h }[/math] יש חיתוך עם ציר האיקס.
[math]\displaystyle{ h }[/math] רציפה כצירוף של רציפות, ולכן לפי משפט ערך הביניים מספיק למצוא נקודה מעל הציר ונקודה מתחת לציר.
נציב בפונקציה את [math]\displaystyle{ c,f(c) }[/math]
- [math]\displaystyle{ h\left( c \right)=f\left( c \right)-c }[/math]
- [math]\displaystyle{ h\left( f\left( c \right) \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =f\left( f\left( c \right) \right)-f\left( c \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =c-f\left( c \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =-h(c) }[/math]
כיוון שמצאנו שני ערכים של הפונקציה [math]\displaystyle{ h\left( c \right),h\left( f\left( c \right) \right) }[/math] עם סימנים מנוגדים, סיימנו.
תרגיל 20: שורש לפולינום ממעלה אי-זוגית
הופריכו: לכל פולינום מדרגה אי זוגית יש שורש ממשי.
הוכחה: יהי פולינום
- [math]\displaystyle{ p\left( x \right)={a}_{2n+1}{x}^{2n+1}+\ldots+{a}_{0} }[/math]
כך ש [math]\displaystyle{ {a}_{2n+1}>0 }[/math] (ההוכחה עבור מקדם שלילי דומה).
מה עושים בחדו"א שלא יודעים להציב? מחשבים גבול!
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}{p(x)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\lim_{x\to \infty}{{x}^{2n+1}\left( {a}_{2n+1}+\frac{{a}_{2n}}{x}+\ldots+\frac{{a}_{0}}{{x}^{2n+1}} \right)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left\{ \infty \cdot {a}_{2n+1} \right\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\infty }[/math]
באופן דומה
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \left( -\infty \right)}{p\left( x \right)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\lim_{x\to \left( -\infty \right)}{{x}^{2n+1}\left( {a}_{2n+1}+\frac{{a}_{2n}}{x}+\ldots+\frac{{a}_{0}}{{x}^{2n+1}} \right)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left\{ -\infty \cdot {a}_{2n+1} \right\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =-\infty }[/math]
לכן קיימות נקודות כך ש
- [math]\displaystyle{ p\left( {x}_{1} \right)>0 p\left( {x}_{2} \right)<0 }[/math]
וכיוון שפולינום הוא פונקציה רציפה לפי משפט ערך הביניים הוא חייב לחתוך את הציר.
תרגיל 24: פונקציה מחזורית
תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] רציפה בכל הממשיים ויהי [math]\displaystyle{ 0<T\in \mathbb{R} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f\left( x+T \right)=f(x) }[/math].
הופריכו: קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in \mathbb{R} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f\left( c \right)=f\left( c+\frac{T}{2} \right) }[/math].
הוכחה: נעביר אגף ונבנה פונקציה
- [math]\displaystyle{ h\left( x \right)=f\left( x \right)-f\left( x+\frac{T}{2} \right) }[/math]
עלינו להוכיח שהפונקציה [math]\displaystyle{ h }[/math] חותכת את ציר האיקס.
הפונקציה [math]\displaystyle{ h }[/math] רציפה כצירוף רציפות, ולכן לפי משפט ערך הביניים מספיק למצוא נקודה מעל הציר ונקודה מתחתיו.
נציב את הנקודות [math]\displaystyle{ 0,\frac{T}{2} }[/math] ונזכור שלפי הנתון
- [math]\displaystyle{ f\left( T \right)=f\left( 0+T \right)=f(0) }[/math]
- [math]\displaystyle{ h\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)-f\left( \frac{T}{2} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ h\left( \frac{T}{2} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =f\left( \frac{T}{2} \right)-f\left( T \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =f\left( \frac{T}{2} \right)-f\left( 0 \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =-h(0) }[/math]
מצאנו שתי נקודות עליהן הפונקציה מקבלת סימנים מנוגדים ולכן סיימנו.
תרגיל 25: משפט המיתר האוניברסלי
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב[math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f\left( 0 \right)=f(1) }[/math], הופריכו: לכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in [0,1] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f\left( c \right)=f\left( c+\frac{1}{n} \right) }[/math].
הוכחה: יהי [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] נעביר אגף ונבנה פונקציה
- [math]\displaystyle{ h\left( x \right)=f\left( x \right)-f\left( x+\frac{1}{n} \right) }[/math]
צריך להוכיח שקיימת נקודה [math]\displaystyle{ c }[/math] עבורה [math]\displaystyle{ h\left( c \right)=0 }[/math].
הפונקציה [math]\displaystyle{ h }[/math] רציפה בתחום [math]\displaystyle{ \left[ 0,1-\frac{1}{n} \right] }[/math] כצירוף של רציפות, ולכן לפי משפט ערך הביניים מספיק למצוא בתחום זה נקודה מעל הציר ונקודה מתחתיו על מנת לסיים את ההוכחה.
נציב ב[math]\displaystyle{ h }[/math] את הנקודות [math]\displaystyle{ 0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n-1}{n}\in \left[ 0,1-\frac{1}{n} \right] }[/math]
- [math]\displaystyle{ h\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)-f\left( \frac{1}{n} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ h\left( \frac{1}{n} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =f\left( \frac{1}{n} \right)-f\left( \frac{2}{n} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ ⋮ }[/math]
- [math]\displaystyle{ h\left( \frac{n-1}{n} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =f\left( \frac{n-1}{n} \right)-f\left( 1 \right) }[/math]
כעת נסכום את כל הערכים שמצאנו:
- [math]\displaystyle{ h\left( 0 \right)+h\left( \frac{1}{n} \right)+\ldots+h\left( \frac{n-1}{n} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =f\left( 0 \right)-f\left( \frac{1}{n} \right)+f\left( \frac{1}{n} \right)-f\left( \frac{2}{n} \right)+\ldots+f\left( \frac{n-1}{n} \right)-f(1) }[/math]
מרבית האיברים מצטמצמים ואנחנו נותרים עם [math]\displaystyle{ f\left( 0 \right)-f\left( 1 \right) }[/math], אך לפי הנתון [math]\displaystyle{ f\left( 0 \right)=f(1) }[/math] ולכן סה"כ מצאנו כי
- [math]\displaystyle{ h\left( 0 \right)+h\left( \frac{1}{n} \right)+\ldots+h\left( \frac{n-1}{n} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =0 }[/math]
כעת חייבים להיות שני איברים בעלי סימנים מנוגדים, או שכולם מתאפסים.
כך או כך הוכחנו שהפונקציה h מתאפסת, כפי שרצינו.
תרגיל 28: בדיוק שני מקורות לכל ערך
הופריכו: קיימת [math]\displaystyle{ f:\left[ a,b \right]\to [c,d] }[/math] רציפה, כך שלכל [math]\displaystyle{ y\in [c,d] }[/math] קיימים בדיוק שני מקורות [math]\displaystyle{ {x}_{1}\ne {x}_{2}\in [a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f\left( {x}_{1} \right)=f\left( {x}_{2} \right)=y }[/math].
הפרכה: נב"ש כי קיימת פונקציה כזו.
נסמן את המקורות של [math]\displaystyle{ c }[/math] ב [math]\displaystyle{ {a}_{1}<{a}_{2} }[/math] ואת המקורות של [math]\displaystyle{ d }[/math] ב[math]\displaystyle{ {b}_{1}<{b}_{2} }[/math].
נחלק למקרים שונים של הסדר בין ארבעת הנקודות ונראה שכולם מובילים לסתירה.
מקרה ראשון [math]\displaystyle{ {a}_{1}<{a}_{2}<{b}_{1}<{b}_{2} }[/math]
ניקח נקודה כלשהי [math]\displaystyle{ x }[/math] בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ ({a}_{1},{a}_{2}) }[/math], כיוון שלכל איבר יש בדיוק שני מקורות ולא יותר
וכיוון ש[math]\displaystyle{ f\left( x \right)\in [c,d] }[/math] נובע כי [math]\displaystyle{ c<f\left( x \right)<d }[/math].
יהי גובה [math]\displaystyle{ m }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ c<m<f(x) }[/math].
לפי משפט ערך הביניים, כיוון שהפונקציה רציפה, חייבים להיות ל[math]\displaystyle{ m }[/math] מקורות בשלושת הקטעים [math]\displaystyle{ \left( {a}_{1},x \right),\left( x,{a}_{2} \right),({a}_{2},{b}_{1}) }[/math] בסתירה.
מקרה שני [math]\displaystyle{ {a}_{1}<{b}_{1}<{a}_{2}<{b}_{2} }[/math]
עבור [math]\displaystyle{ m=\frac{c+d}{2} }[/math] חייבים להיות מקורות בשלושת הקטעים [math]\displaystyle{ \left( {a}_{1},{b}_{1} \right),\left( {b}_{1},{a}_{2} \right),({a}_{2},{b}_{2}) }[/math] בסתירה.
מקרה שלישי [math]\displaystyle{ {a}_{1}<{b}_{1}<{b}_{2}<{a}_{2} }[/math]
תהי נקודה [math]\displaystyle{ x\in ({b}_{1},{b}_{2}) }[/math] אזי ל[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] יש עוד שני מקורות נוספים בקטעים [math]\displaystyle{ \left( {a}_{1},{b}_{1} \right),({b}_{2},{a}_{2}) }[/math] בסתירה.
מקרה רביעי [math]\displaystyle{ {b}_{1}<{a}_{1}<{b}_{2}<{a}_{2} }[/math] דומה לשני, והמקרה החמישי [math]\displaystyle{ {b}_{1}<{b}_{2}<{a}_{1}<{a}_{2} }[/math] דומה לראשון.
השלמה (נוספה בהעברה לוויקי, חסר מקרה בפתרון המקורי): המקרה השישי [math]\displaystyle{ {b}_{1}<{a}_{1}<{a}_{2}<{b}_{2} }[/math] דומה לשלישי בהחלפת התפקידים של [math]\displaystyle{ c }[/math] ו[math]\displaystyle{ d }[/math]: תהי נקודה [math]\displaystyle{ x\in ({a}_{1},{a}_{2}) }[/math], אזי [math]\displaystyle{ c<f(x)<d }[/math], ולפי משפט ערך הביניים יש ל[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] עוד שני מקורות נוספים בקטעים [math]\displaystyle{ \left( {b}_{1},{a}_{1} \right),({a}_{2},{b}_{2}) }[/math] בסתירה.
תרגיל 29: פונקציה רציפה עם ערכים רציונליים
תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] רציפה בכל הממשיים כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f(x)\in \mathbb{Q} }[/math]. הופריכו: [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה קבועה.
הוכחה: נב"ש כי הפונקציה אינה קבועה, לכן קיימות שתי נקודות כך ש[math]\displaystyle{ f\left( {x}_{1} \right)\ne f({x}_{2}) }[/math]
בין [math]\displaystyle{ f\left( {x}_{1} \right),f({x}_{2}) }[/math] קיים מספר אי רציונלי, ולפי משפט ערך הביניים חייב להיות לו מקור כי הפונקציה רציפה, בסתירה לכך ש[math]\displaystyle{ f(x)\in \mathbb{Q} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math].
תרגיל 31: פונקציה רציפה וחח"ע
תהי [math]\displaystyle{ f:\left[ a,b \right]\to \mathbb{R} }[/math] רציפה וחח"ע. הופריכו: [math]\displaystyle{ f }[/math] מונוטונית (עולה או יורדת).
הוכחה: כיוון שהפונקציה חח"ע [math]\displaystyle{ f\left( a \right)\ne f(b) }[/math], נניח כי [math]\displaystyle{ f\left( b \right)>f(a) }[/math] ונוכיח כי הפונקציה עולה בקטע (אם [math]\displaystyle{ f\left( a \right)>f(b) }[/math] ניתן להוכיח באופן דומה כי הפונקציה מונוטונית יורדת).
נב"ש שהפונקציה אינה עולה, לכן קיימות [math]\displaystyle{ {x}_{1}<{x}_{2}\in \left[ a,b \right] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f\left( {x}_{1} \right)>f({x}_{2}) }[/math].
אם [math]\displaystyle{ f\left( a \right)<f({x}_{1}) }[/math] נבחר גובה [math]\displaystyle{ m }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f\left( a \right),f\left( {x}_{2} \right)<m<f({x}_{1}) }[/math] ולפי משפט ערך הביניים כיוון שהפונקציה רציפה קיימים מקורות ל[math]\displaystyle{ m }[/math] בקטעים [math]\displaystyle{ \left( a,{x}_{1} \right),({x}_{1},{x}_{2}) }[/math] בסתירה לחח"ע.
אחרת, [math]\displaystyle{ f\left( a \right)>f({x}_{1}) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f\left( b \right)>f\left( a \right)>f({x}_{1}) }[/math].
נבחר גובה [math]\displaystyle{ m }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f\left( {x}_{2} \right)<m<f\left( {x}_{1} \right),f(b) }[/math] ושוב נקבל שני מקורות שונים ל[math]\displaystyle{ m }[/math] בקטעים [math]\displaystyle{ \left( {x}_{1},{x}_{2} \right),({x}_{2},b) }[/math] בסתירה לחח"ע.
תרגיל 32: חצי מעגל
תהי [math]\displaystyle{ f:\left[ -1,1 \right]\to \mathbb{R} }[/math] רציפה המקיימת לכל [math]\displaystyle{ x\in [-1,1] }[/math] כי [math]\displaystyle{ {x}^{2}+{f}^{2}\left( x \right)=1 }[/math] וכי [math]\displaystyle{ f\left( 0 \right)=1 }[/math].
הופריכו: [math]\displaystyle{ f\left( x \right)=\sqrt{1-{x}^{2}} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in [-1,1] }[/math].
הוכחה:
כיוון ש [math]\displaystyle{ {f}^{2}\left( x \right)=1-{x}^{2} }[/math] נובע כי לכל [math]\displaystyle{ x\in [-1,1] }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f\left( x \right)=\sqrt{1-{x}^{2}} }[/math] או [math]\displaystyle{ f\left( x \right)=-\sqrt{1-{x}^{2}} }[/math]
נשים לב כי כך או כך [math]\displaystyle{ f\left( 1 \right)=f\left( -1 \right)=0 }[/math].
נב"ש כי קיים [math]\displaystyle{ x\in (-1,1) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f\left( x \right)\ne \sqrt{1-{x}^{2}} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f\left( x \right)=-\sqrt{1-{x}^{2}}<0 }[/math].
כיוון ש [math]\displaystyle{ f\left( x \right)<0 }[/math] ונתון [math]\displaystyle{ f\left( 0 \right)>0 }[/math] וכן הפונקציה רציפה, לפי משפט ערך הביניים קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c }[/math] בין [math]\displaystyle{ x }[/math] ל[math]\displaystyle{ 0 }[/math] עבורה [math]\displaystyle{ f\left( c \right)=0 }[/math].
כיוון ש[math]\displaystyle{ x\in (-1,1) }[/math] נובע כי [math]\displaystyle{ c\in (-1,1) }[/math].
נציב בנתון [math]\displaystyle{ {c}^{2}+{f}^{2}\left( c \right)=1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ {c}^{2}=1 }[/math] בסתירה.
תרגיל 35: משפט ערך הביניים ולוגריתם
תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] רציפה בכל הממשיים כך ש[math]\displaystyle{ f\left( 1 \right)=1 }[/math], הופריכו: קיימת [math]\displaystyle{ c\in \mathbb{R} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f\left( c \right)=-\ln (c) }[/math].
הוכחה: נעביר אגף ונבנה פונקציה [math]\displaystyle{ h\left( x \right)=f\left( x \right)+\ln (x) }[/math] הרציפה ב[math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math].
לפי משפט ערך הביניים, מספיק למצוא נקודה מעל הציר ונקודה מתחתיו.
- [math]\displaystyle{ h\left( 1 \right)=f\left( 1 \right)+\ln {\left( 1 \right)}=1+0=1>0 }[/math]
כעת, מה עושים בחדו"א שאי אפשר להציב? מחשבים גבול!
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {0}^{+}}{h(x)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left\{ f\left( 0 \right)-\infty \right\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =-\infty }[/math]
לכן קיימת נקודה [math]\displaystyle{ d>0 }[/math] בה [math]\displaystyle{ h\left( d \right)<0 }[/math].
הפונקציה [math]\displaystyle{ h }[/math] רציפה בקטע הסגור שבין [math]\displaystyle{ d,1 }[/math] ולכן לפי משפט ערך הביניים קיימת בקטע נקודה [math]\displaystyle{ c }[/math] עבורה [math]\displaystyle{ h\left( c \right)=0 }[/math].
תרגיל 37: נקודת שבת לפונקציה חיובית
תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] רציפה וחיובית בכל הממשיים כך ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}{\frac{f(x)}{x}}=0 }[/math], הופריכו: קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c }[/math] עבורה [math]\displaystyle{ f\left( c \right)=c }[/math].
הוכחה: נעביר אגף ונבנה פונקציה [math]\displaystyle{ h\left( x \right)=f\left( x \right)-x }[/math] הרציפה בכל הממשיים כצירוף רציפות, נמצא נקודה מעל הציר ומתחת לציר וכך לפי ערך הביניים נוכיח כי [math]\displaystyle{ h }[/math] חותכת את הציר כפי שרצינו.
- [math]\displaystyle{ h\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)-0=f\left( 0 \right)>0 }[/math]
כעת, מה עושים בחדו"א כשאי אפשר להציב? מחשבים גבול!
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}{h\left( x \right)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\lim_{x\to \infty}{\left( f\left( x \right)-x \right)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\lim_{x\to \infty}{x\left( \frac{f\left( x \right)}{x}-1 \right)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left\{ \infty \cdot \left( 0-1 \right) \right\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =-\infty }[/math]
לכן קיימת נקודה [math]\displaystyle{ d>0 }[/math] בה [math]\displaystyle{ h\left( d \right)<0 }[/math].
ולכן לפי ערך הביניים הפונקציה חותכת את הציר בקטע בין [math]\displaystyle{ 0,d }[/math], כפי שרצינו.
תרגיל 38: מקסימום ומינימום בקטע לא חסום
מצאו את המקסימום והמינימום של הפונקציה [math]\displaystyle{ f\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right) }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ \left[ 1,\infty \right) }[/math], או שהוכיחו שאינם קיימים.
פתרון –
ראשית, זה מפתה לגזור את הפונקציה על מנת לחשב את תחומי העלייה והירידה, אך במקרה הזה הנגזרת תוביל אותנו לביטוי מורכב במיוחד.
לכן, במקום 'לגזור כמו חמור', נפשט את הביטוי המקורי קודם כל.
- [math]\displaystyle{ f\left( x \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{1}{2\sqrt{x}}-\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{1}{2\sqrt{x}}-\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right)\cdot \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{x} \right)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{x} \right)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{x} \right)}\cdot \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{1}{2\sqrt{x}{\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{x} \right)}^{2}} }[/math]
הפלא ופלא! קיבלנו אחד חלקי ביטוי חיובי מונוטונית עולה בקטע, ולכן הפונקציה מונוטונית יורדת בתחום.
מכאן, הפונקציה מקבלת את המקסימום שלה בקצה השמאלי של הקטע [math]\displaystyle{ [1,\infty) }[/math] כלומר המקסימום הוא
- [math]\displaystyle{ f\left( 1 \right)=\frac{1}{2{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{2}} }[/math]
כעת מה לגבי מינימום? לא ניתן להציב את הקצה הימני, אז מה עושים בחדו"א כשאי אפשר להציב? מחשבים גבול!
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}{f(x)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\lim_{x\to \infty}{\frac{1}{2\sqrt{x}{\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{x} \right)}^{2}}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left\{ \frac{1}{\infty} \right\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ =0 }[/math]
לכן אם יש מינימום הוא חייב להיות אפס. הרי הפונקציה תהא נמוכה מכל גודל שגדול מאפס, ואם מתישהו הייתה מקבלת ערך שקטן מאפס, כיוון שהיא יורדת הגבול היה צריך להיות קטן מאפס.
וכמובן שהפונקציה לא יכולה להתאפס כיוון שהמונה הוא 1, ולכן אין מינימום.
תרגיל 61: המשוואה f(f(c))=-c
תהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] רציפה בכל הממשיים, הופריכו: קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in \mathbb{R} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f\left( f\left( c \right) \right)\ne-c }[/math].
הוכחה:
נב"ש כי לכל [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f\left( f\left( x \right) \right)=-x }[/math].
תהי נקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] כלשהי אזי נובע כי
- [math]\displaystyle{ f\left( f\left( a \right) \right)=-a }[/math]
ולכן
- [math]\displaystyle{ f\left( -a \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =f\left( f\left( f\left( a \right) \right) \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ =-f(a) }[/math]
בפרט עבור [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] נקבל כי [math]\displaystyle{ f\left( 0 \right)=-f(0) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f\left( 0 \right)=0 }[/math].
כמו כן, אם עבור נקודה כלשהי [math]\displaystyle{ a }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f\left( a \right)=0 }[/math] אזי
- [math]\displaystyle{ 0=f\left( 0 \right)=f\left( f\left( a \right) \right)=-a }[/math]
כלומר סה"כ [math]\displaystyle{ f\left( x \right)=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=0 }[/math].
כעת, ניקח נקודה חיובית כלשהי [math]\displaystyle{ a>0 }[/math], ונסמן [math]\displaystyle{ f\left( a \right)=b }[/math]. נובע כי
- [math]\displaystyle{ f\left( b \right)=f\left( f\left( a \right) \right)=-a }[/math]
אם [math]\displaystyle{ b>0 }[/math], כיוון שהפונקציה רציפה, וכיוון ש [math]\displaystyle{ f\left( a \right)=b>0, f\left( b \right)=-a<0 }[/math] לפי משפט ערך הביניים הפונקציה חותכת את הציר בנקודה בין [math]\displaystyle{ a,b }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ 0<a,b }[/math] נובע כי הפונקציה חותכת את הציר בנקודה גדולה מאפס בסתירה לכך שהיא חותכת את הציר באפס בלבד.
אם [math]\displaystyle{ b<0 }[/math], נשים לב כי [math]\displaystyle{ f\left( -a \right)=-f\left( a \right)=-b }[/math] ולפיכך [math]\displaystyle{ f\left( b \right)=-a<0,f\left( -a \right)=-b>0 }[/math]. שוב מערך הביניים נסיק כי הפונקציה חותכת את ציר האיקס בנקודה בין [math]\displaystyle{ -a,b }[/math] כלומר נקודה שלילית בסתירה.
לבסוף, לא ייתכן כי [math]\displaystyle{ b=0 }[/math] הרי [math]\displaystyle{ a\ne 0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ f\left( a \right)=b }[/math].
סה"כ קיבלנו סתירה, ולכן הוכחנו את הטענה.
תרגילים בנושאים נוספים
- סדרות וגבולות (8 תרגילים)
- תתי סדרות, גבול עליון וסדרות קושי (7 תרגילים)
- גבולות ורציפות של פונקציות (16 תרגילים)
- נגזרת (10 תרגילים)
- משפט רול ולגראנז' ומונוטוניות (6 תרגילים)
- קמירות וקעירות (9 תרגילים)
- כל תרגילי ההכנה למבחן · קובץ ה-PDF של האוסף · מבחנים ובחנים עם פתרונות · דף הקורס