אינפי 1/משפט ערך הביניים

📄 דף מעודכן על הנושא: משפט ערך הביניים: הגדרות ומשפטים מהקורס, סרטון, דוגמאות פתורות ותרגול.

משפט

נניח [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math] רציפה בקטע (כלומר רציפה בכל נק’ בקטע)
אזי לכל [math]\displaystyle{ y\in [f(a),f(b)] \cup [f(b),f(a)] }[/math] קיים [math]\displaystyle{ c\in [a,b] }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ f(c)=y }[/math] .
(הערה: אנו לא יודעים אם [math]\displaystyle{ f(a)<f(b) }[/math] או [math]\displaystyle{ f(b)<f(a) }[/math] אבל בכל מקרה אם אחד מהם מתקיים אז אחת מהקבוצות שבאיחוד המתואר היא ריקה)

הוכחה.

נניח בה"כ ש- [math]\displaystyle{ f(a)<f(b) }[/math] . יהי [math]\displaystyle{ y\in [f(a),f(b)] }[/math], ונגדיר את [math]\displaystyle{ g(x)=f(x)-y }[/math].
נשים לב ש- [math]\displaystyle{ f(c)=y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ g(c)=0 }[/math] ולכן נוכיח שקיים [math]\displaystyle{ c }[/math] שמאפס את [math]\displaystyle{ g }[/math].
כעת נגדיר [math]\displaystyle{ E=\{x\in [a,b] | g(x)\leq 0\} }[/math] ונשים לב ש- [math]\displaystyle{ a\in E }[/math].
נגדיר [math]\displaystyle{ c=\sup E }[/math] ומכאן ש- [math]\displaystyle{ \forall n\in \mathbb{N} \exists x_n \in E : c-\frac{1}{n} <x_n \leq c }[/math] .
בעצם [math]\displaystyle{ c_n\to c }[/math] ומהרציפות של [math]\displaystyle{ g }[/math] כסכום של רציפות נובע ש- [math]\displaystyle{ g(c_n)=g(c) }[/math] וכיוון ש- [math]\displaystyle{ g(c_n)\leq 0 }[/math] גם [math]\displaystyle{ g(c)\leq 0 }[/math]. כעת נניח בשלילה ש- [math]\displaystyle{ g(c)<0 }[/math] ואז מהרציפות \begin{displaymjx}\exists \delta>0 \forall 0<x-c<\delta : |g(x)-g(c)| <-\frac{g(c)}{2} \Rightarrow g(x)<\frac{g(c)}{2} <0\end{displaymjx} אבל זה סותר את זה ש- [math]\displaystyle{ c=\sup E }[/math] משום שיש טווח של [math]\displaystyle{ x }[/math]ים שגדולים ממנו ועדיין [math]\displaystyle{ g(x)<0 }[/math]. מכאן שבהכרח [math]\displaystyle{ g(c)=0 }[/math] ומצאנו את הדרוש

∎