אינפי 1/משפטי וויירשטראס לפונקציות רציפות

📄 דף מעודכן על הנושא: משפט ויירשטראס לפונקציות רציפות: הגדרות ומשפטים מהקורס, סרטון, דוגמאות פתורות ותרגול.

משפט

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי:

1. [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]
2. \begin{displaymjx}\exists x_{\text{min}},x_{\text{max}}  : f(x_{\text{min}})=\inf_{x\in[a,b]} f(x) , f(x_{\text{max}})=\sup_{x\in[a,b]} f(x)\end{displaymjx}

במילים אחרות, פונקציה רציפה בקטע סגור חסומה שם ומקבלת את המקסימום והמינימום שלה.

הוכחה.

1. נניח בשלילה ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] לא חסומה. אזי [math]\displaystyle{ \forall n \exists_{x_n} : |f(x_n)|>n }[/math] אבל [math]\displaystyle{ a\leq x_n \leq b }[/math] ולכן זוהי סדרה חסומה ולפי בולצאנו ווירשטראס יש לה תת סדרה מתכנסת
   

[math]\displaystyle{ x_{n_k}\to x_0 }[/math] אבל מהרציפות של [math]\displaystyle{ f }[/math] נקבל ש- [math]\displaystyle{ f(x_{n_k})\to f(x_0) }[/math] למרות שמההגדרה של [math]\displaystyle{ x_{n_k} }[/math], מתקיים ש- [math]\displaystyle{ |f(x_{n_k})|\to \infty }[/math] בסתירה.

1. נסמן את החסמים בתור [math]\displaystyle{ M,m }[/math] ונשים לב ש- [math]\displaystyle{ -m }[/math] החסם העליון של [math]\displaystyle{ -f }[/math] ולכן אם נוכיח את הטענה עבור החסם העליון, הטענה ל-[math]\displaystyle{ m }[/math] תתקבל ישירות.
   

נניח בשלילה ש- [math]\displaystyle{ f }[/math] לא מקבלת את הערך [math]\displaystyle{ M }[/math], לכן אפשר להגדיר את [math]\displaystyle{ g(x)=\frac{1}{M-f(x)} }[/math] והיא תהיה רציפה משום שהמכנה לא מתאפס. אבל לפי משפט 1 [math]\displaystyle{ g }[/math] חסומה ומכאן ש- \begin{displaymjx}\frac{1}{M-f(x)}<C \Rightarrow M-f(x)>\frac{1}{C} \Rightarrow M-\frac{1}{C}>f(x)\end{displaymjx} בסתירה להגדרה ש- [math]\displaystyle{ M }[/math] חסם עליון

∎