בקצרה: משפט ויירשטראס לפונקציות רציפות הוא למעשה זוג משפטים, משפט ויירשטראס (הראשון והשני): פונקציה רציפה בקטע סגור חסומה ומקבלת מקסימום ומינימום. בתמונה: הגרף של פונקציה רציפה מעל קטע סגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כלוא בין שני קווים אופקיים ונוגע בשניהם, כלומר יש נקודה שבה מתקבל הערך הגבוה ביותר ויש נקודה שבה מתקבל הערך הנמוך ביותר; על זה נשענים משפט רול ושאלות מבחן רבות. שתי ההנחות נחוצות: בקטע פתוח הפונקציה יכולה לברוח לאינסוף ליד הקצה, ופונקציה שאינה רציפה יכולה להתקרב לחסם העליון שלה בלי להגיע אליו. לא לבלבל עם משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרות (לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת): זה משפט אחר, ודווקא הוא הכלי המרכזי בהוכחה של שני המשפטים כאן.
▶ ההרצאה: משפטי ויירשטראס
משמאל: פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. לפי המשפט הראשון היא חסומה, ולפי המשפט השני היא מקבלת מקסימום [math]\displaystyle{ M=f(c) }[/math] ומינימום [math]\displaystyle{ m=f(d) }[/math]: הגרף כלוא במלבן התכול ונוגע גם בצלע העליונה שלו וגם בצלע התחתונה. כאן המינימום מתקבל דווקא בקצה הקטע ([math]\displaystyle{ d=b }[/math]), והשקע שבאמצע (מינימום מקומי) גבוה מ־[math]\displaystyle{ m }[/math]. מימין: הדוגמה מהסרטון, [math]\displaystyle{ g(x)=x }[/math] עבור [math]\displaystyle{ 0\le x<1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g(1)=0 }[/math]. היא חסומה ומקבלת מינימום [math]\displaystyle{ 0 }[/math], אבל החסם העליון [math]\displaystyle{ 1 }[/math] אינו מתקבל (העיגול החלול), כי [math]\displaystyle{ g }[/math] אינה רציפה ב־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] (ראו דוגמה 1).
יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים, ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].
אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], כלומר קיימים [math]\displaystyle{ m,M\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ m\le f(x)\le M }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math].
יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים, ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].
כלומר, קיימות נקודות [math]\displaystyle{ c,d\in[a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(d)\le f(x)\le f(c) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math].
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: האם יש סתירה למשפטי ויירשטראס?
(א) הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x} }[/math] רציפה בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math]. הראו שהיא חסומה מלרע בקטע, אבל אינה חסומה מלעיל. (ב) תהי [math]\displaystyle{ g:[0,1]\to\mathbb R }[/math] הפונקציה [math]\displaystyle{ g(x)=\begin{cases}x & 0\le x<1\\ 0 & x=1\end{cases} }[/math]. הראו ש [math]\displaystyle{ g }[/math] חסומה ומקבלת מינימום בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math], אבל אינה מקבלת בו מקסימום. (ג) מדוע שתי הדוגמאות אינן סותרות את משפטי ויירשטראס?
(א) לכל [math]\displaystyle{ x\in(0,1) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{1}{x}>1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה מלרע. היא אינה חסומה מלעיל: יהי [math]\displaystyle{ M\in\mathbb R }[/math], ונבחר [math]\displaystyle{ x=\frac{1}{|M|+2} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ x\in(0,1) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(x)=|M|+2>M }[/math], כלומר אף מספר [math]\displaystyle{ M }[/math] אינו חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ f }[/math] בקטע.
(ב) לכל [math]\displaystyle{ x\in[0,1] }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 0\le g(x)<1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ g }[/math] חסומה. כמו כן [math]\displaystyle{ g(0)=g(1)=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ 0 }[/math] הוא המינימום של [math]\displaystyle{ g }[/math], והוא מתקבל ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] וב־[math]\displaystyle{ 1 }[/math].
[math]\displaystyle{ g }[/math] אינה מקבלת מקסימום: תהי [math]\displaystyle{ c\in[0,1] }[/math]. אם [math]\displaystyle{ c<1 }[/math], הנקודה [math]\displaystyle{ x=\frac{c+1}{2} }[/math] מקיימת [math]\displaystyle{ c<x<1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ g(x)=x>c }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ g(x)>g(c) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ c=1 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} }[/math] גדול מ־[math]\displaystyle{ g(1)=0 }[/math]. בשני המקרים [math]\displaystyle{ c }[/math] אינה נקודת מקסימום.
החסם העליון של ערכי [math]\displaystyle{ g }[/math] הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math]: לכל [math]\displaystyle{ t<1 }[/math] הנקודה [math]\displaystyle{ x=\max\left\{0,\frac{1+t}{2}\right\} }[/math] נמצאת ב־[math]\displaystyle{ [0,1) }[/math] ומקיימת [math]\displaystyle{ g(x)>t }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ \sup g=1 }[/math], אבל אף נקודה אינה מקבלת את הערך [math]\displaystyle{ 1 }[/math].
(ג) בכל דוגמה חסרה אחת מהנחות המשפטים. ב־(א) הקטע אינו סגור: [math]\displaystyle{ f }[/math] אינה מוגדרת ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], ואי אפשר להגדיר אותה שם כך שתהיה רציפה, כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=\infty }[/math]. ב־(ב) הקטע סגור, אבל [math]\displaystyle{ g }[/math] אינה רציפה ב־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]: [math]\displaystyle{ \lim_{x\to1^-}g(x)=1 }[/math], ואילו [math]\displaystyle{ g(1)=0 }[/math].
מקור: תמליל 70 (FPlpOmNQiAE): הפונקציה 1/x ב־(0,1), 01:05–02:05 (https://www.youtube.com/watch?v=FPlpOmNQiAE&t=65s; "איך זה לא סותר את משפט ויירשטרס הראשון? ... הפונקציה אינה רציפה בקטע סגור אלא בקטע הפתוח"); הפונקציה g, 07:34–09:24 (https://www.youtube.com/watch?v=FPlpOmNQiAE&t=454s; "החסם העליון הוא 1 אבל הוא לא מקסימום", "הגבול שלה ב-1 משמאל הוא 1 אבל הגובה שלה ב-1 הוא 0"); remark_text של 6.2.1 ו־6.2.2; מאגר ת6-026 (סרטון/מבחן, ק' 1, ✓ בוחן 2 דק'; גם G2 עמ' 96).
דוגמה 2: שאלה ממבחן: מ"כמעט 1" לערך 1
(מועד א' קיץ תשפ"א, מדמ"ח, שאלה 4א) תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math], ונניח שלכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] קיימת נקודה [math]\displaystyle{ x\in[0,1] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(x)>1-\varepsilon }[/math]. הוכיחו שקיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in[0,1] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(c)\ge1 }[/math].
[math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math], ולכן לפי משפט ויירשטראס השני היא מקבלת בו מקסימום: קיימת [math]\displaystyle{ c\in[0,1] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(x)\le f(c) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in[0,1] }[/math]. נראה ש [math]\displaystyle{ f(c)\ge1 }[/math].
לפי הנתון קיימת [math]\displaystyle{ x\in[0,1] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(x)>1-\varepsilon }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ f(x)>1-\frac{1-f(c)}{2} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1+f(c)}{2} }[/math].
כיוון ש [math]\displaystyle{ f(c)<1 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{1+f(c)}{2}>\frac{f(c)+f(c)}{2} }[/math] [math]\displaystyle{ =f(c) }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ f(x)>f(c) }[/math], בסתירה לכך ש [math]\displaystyle{ f(c) }[/math] הוא המקסימום של [math]\displaystyle{ f }[/math] בקטע. מכאן ש [math]\displaystyle{ f(c)\ge1 }[/math].
הרציפות נחוצה: הפונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math] מדוגמה 1(ב) מקיימת את הנתון (לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] הנקודה [math]\displaystyle{ x=\max\left\{0,1-\frac{\varepsilon}{2}\right\} }[/math] מקיימת [math]\displaystyle{ g(x)>1-\varepsilon }[/math]), אבל [math]\displaystyle{ g(x)<1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in[0,1] }[/math].
מקור: מבחן מועד א' קיץ תשפ"א, אינפי 1 למדמ"ח (ארז, 30.9.21), שאלה 4א (21Infi1CSSummerA.pdf); פתרון של ארז (21Infi1CSSummerASol.pdf): "לפי ווירשטראס, הפונקציה מקבלת מקסימום בקטע, נניח בנקודה c. נב"ש ש f(c)<1 ... (עבור ε=(1−f(c))/2) בסתירה לכך ש f(c) היא המקסימום"; מאגר ת6-029 (מבחן, ק' 2, ✓ בוחן 5 דק'); W4b E2-Q4א. סעיף 4ב (משפט ערך הביניים) הושמט.
דוגמה 3: מינימום בקרן: חותכים לקטע סגור
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקרן [math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty }[/math]. (א) הוכיחו ש [math]\displaystyle{ f }[/math] מקבלת מינימום בקרן, כלומר קיימת [math]\displaystyle{ d\ge0 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(d)\le f(x) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\ge0 }[/math]. (ב) האם [math]\displaystyle{ f }[/math] מקבלת בהכרח מקסימום בקרן?
הרעיון: הקרן אינה קטע סגור וחסום, ולכן אי אפשר להפעיל עליה את משפט ויירשטראס ישירות. נחלק אותה לקטע סגור [math]\displaystyle{ [0,M] }[/math], שעליו המשפט פועל, ולזנב [math]\displaystyle{ (M,\infty) }[/math], שבו הפונקציה גבוהה מכדי להשפיע על המינימום.
(א) הקרן [math]\displaystyle{ \left(|f(0)|+1,\infty\right) }[/math] היא סביבה של [math]\displaystyle{ \infty }[/math], ולכן לפי הגדרת הגבול קיים [math]\displaystyle{ M>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x>M }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)>|f(0)|+1 }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ f(x)>f(0) }[/math].
[math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [0,M] }[/math], ולכן לפי משפט ויירשטראס השני קיימת [math]\displaystyle{ d\in[0,M] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(d)\le f(x) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in[0,M] }[/math]. בפרט [math]\displaystyle{ f(d)\le f(0) }[/math], כי [math]\displaystyle{ 0\in[0,M] }[/math].
לכל [math]\displaystyle{ x>M }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)>f(0)\ge f(d) }[/math]. יחד עם השלב הקודם, [math]\displaystyle{ f(d)\le f(x) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\ge0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ f(d) }[/math] הוא המינימום של [math]\displaystyle{ f }[/math] בקרן.
(ב) לא, ואף פונקציה כזו אינה מקבלת מקסימום בקרן: תהי [math]\displaystyle{ c\ge0 }[/math]. לפי הגדרת הגבול, עם הסביבה [math]\displaystyle{ \left(|f(c)|+1,\infty\right) }[/math], קיים [math]\displaystyle{ M'>0 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(x)>|f(c)|+1>f(c) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x>M' }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ c }[/math] אינה נקודת מקסימום. משפט ויירשטראס נותן מקסימום רק בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [0,M] }[/math], לא בכל הקרן.
אותו רעיון עובד על כל הישר: אם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty }[/math], חותכים לקטע [math]\displaystyle{ [-M,M] }[/math] ומקבלים מינימום גלובלי.
מקור: מאגר ת6-031 (ש"ב/מבחן, ק' 2–3, ✓ בוחן 6 דק'): ש"ב HW-B B10.8 (G5) = תרגול 12 של לואי ומני עמ' 1 (W2b T12: "f רציפה ב-[0,∞), lim f=∞ ⇒ f מקבלת מינימום או מקסימום (מינימום)"); הגרסה על כל הישר היא ה"תוספת" בפתרון של ארז למועד ג' תשע"ז חדו"א 1 להנדסה, שאלה 4 (17EngHedva1TestCSol.pdf; R6a E77-C: "נוכיח שאם f רציפה בכל R וכמו כן lim_{x→±∞}f(x)=∞ אזי לפונקציה יש מינימום גלובאלי"); גם R8b EN-B=C ש5.
דוגמה 4: שאלה ממבחן: חסומה מלרע בכל הישר, אבל בלי מינימום
(מבחן דמה תשע"ז, מתמטיקה, שאלה 5) תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0 }[/math]. (א) הוכיחו ש [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה מלרע. (ב) הוכיחו או הפריכו: [math]\displaystyle{ f }[/math] מקבלת בהכרח מינימום.
(א) הקטע [math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math] הוא סביבה של [math]\displaystyle{ 0 }[/math], ולכן לפי הגדרת הגבול ב־[math]\displaystyle{ -\infty }[/math] קיים [math]\displaystyle{ M_1>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x<-M_1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ -1<f(x)<1 }[/math].
הקרן [math]\displaystyle{ (1,\infty) }[/math] היא סביבה של [math]\displaystyle{ \infty }[/math], ולכן קיים [math]\displaystyle{ M_2>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x>M_2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)>1 }[/math].
נסמן [math]\displaystyle{ M=\max\{M_1,M_2\} }[/math]. [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [-M,M] }[/math], ולכן לפי משפט ויירשטראס הראשון קיים [math]\displaystyle{ m\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(x)\ge m }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in[-M,M] }[/math].
נראה ש [math]\displaystyle{ \min\{m,-1\} }[/math] הוא חסם מלרע של [math]\displaystyle{ f }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math]. אם [math]\displaystyle{ x<-M }[/math], אזי [math]\displaystyle{ x<-M_1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(x)>-1 }[/math]; אם [math]\displaystyle{ x>M }[/math], אזי [math]\displaystyle{ x>M_2 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(x)>1 }[/math]; ואם [math]\displaystyle{ x\in[-M,M] }[/math], אזי [math]\displaystyle{ f(x)\ge m }[/math]. בכל המקרים [math]\displaystyle{ f(x)\ge\min\{m,-1\} }[/math].
(ב) הפרכה: [math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math] רציפה בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}e^x=\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty}e^x=0 }[/math]. אבל לכל [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ e^{x_0-1}<e^{x_0} }[/math], כי [math]\displaystyle{ e^x }[/math] עולה ממש, ולכן [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אינה נקודת מינימום (בלשון הפתרון: [math]\displaystyle{ e^x }[/math] שואפת לאפס ואף פעם אינה שווה לאפס).
ההבדל מדוגמה 3: שם הזנב נשאר גבוה מ־[math]\displaystyle{ f(0) }[/math], ולכן המינימום "נלכד" בקטע הסגור; כאן הזנב השמאלי עלול להתקרב לחסם התחתון בלי להגיע אליו, כמו אצל [math]\displaystyle{ e^x }[/math].
בפתרון המבחן (א) מוכח בשלילה: [math]\displaystyle{ f(a_n)<-n }[/math], תת-סדרה מונוטונית של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ושלוש אפשרויות לגבול שלה. זה בדיוק הרעיון של ההוכחה של משפט ויירשטראס הראשון.
מקור: מבחן דמה תשע"ז, 88-132 אינפי 1 (מתמטיקה, ארז), שאלה 5 (17Infi1DumbTest.pdf); פתרון של ארז 17Infi1DumbTestSol.pdf עמ' 6 ("נב"ש שהפונקציה אינה חסומה מלרע ... ניקח תת סדרה מונוטונית ... שלוש אפשרויות"; 5ב: "הפרכה e^x ... היא שואפת לאפס ואף פעם לא שווה לאפס"); מאגר ת6-030 (משפחה, ק' 3, ✓ בוחן 8–10 דק'; הדרך "קטעים + ויירשטראס" שבפתרון כאן מופיעה במאגר כדרך חלופית); אותה משפחה: מועד ג' תשפ"א מדמ"ח 2א, מועד ב' תשע"ז 5א, תרגיל 71 באוסף תרגילי ההכנה.
טעויות נפוצות
לוותר על אחת ההנחות: בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] הפונקציה [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math] רציפה ואינה חסומה, ובכל הישר [math]\displaystyle{ e^x }[/math] רציפה ואינה מקבלת מינימום, ולכן בשאלה על קרן או על הישר כולו צריך קודם לחתוך לקטע סגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] עם [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb R }[/math] (דוגמאות 3 ו־4).
לבלבל בין חסם עליון למקסימום: המשפט הראשון נותן רק חסם, והשני אומר שהחסם העליון מתקבל, כלומר יש נקודה [math]\displaystyle{ c\in[a,b] }[/math] שבה הערך של [math]\displaystyle{ f }[/math] שווה לו (בסרטון, 08:38: לפונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math] מדוגמה 1 "יש חסם עליון ... אבל הוא לא מקסימום").
בהוכחה בשלילה של המשפט הראשון, "[math]\displaystyle{ f }[/math] אינה חסומה מלעיל" אינו אומר שיש נקודה שבה [math]\displaystyle{ f }[/math] שואפת לאינסוף (בסרטון, 02:36: "לא בהכרח"), אלא רק שלכל [math]\displaystyle{ n }[/math] יש [math]\displaystyle{ a_n\in[a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(a_n)\ge n }[/math]; והסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] עצמה כן חסומה, ומה שאינו חסום הם הערכים [math]\displaystyle{ f(a_n) }[/math] (03:53).
לפי בולצאנו-ויירשטראס יש ל־[math]\displaystyle{ a_n }[/math]תת-סדרה מתכנסת, לא ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math] עצמה מתכנסת; והגבול של תת-הסדרה נמצא ב־[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] רק כי הקטע סגור, ואף ייתכן שהוא קצה הקטע (13:08), ולכן צריך רציפות גם בקצוות.
המשפט פועל בכיוון אחד בלבד: פונקציה שמקבלת מקסימום ומינימום בקטע סגור אינה בהכרח רציפה (למשל [math]\displaystyle{ h(x)=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x<0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ h(x)=1 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x\ge0 }[/math], בקטע [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math]); וגם אין לחפש את נקודות המקסימום והמינימום רק בתוך הקטע, כי הן יכולות להתקבל בקצוות (באיור, המינימום מתקבל ב־[math]\displaystyle{ b }[/math]).
לתרגול
מועד ב' תשע"ז (מתמטיקה) · שאלה 5: פונקציה רציפה ב־[math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math] עם גבולות סופיים בקצוות חסומה, ולכן [math]\displaystyle{ \frac{\sin x}{x} }[/math] חסומה שם; כיוון ש־[math]\displaystyle{ \left|\sin\frac{1}{x}\right|\le1 }[/math], גם [math]\displaystyle{ \sin\frac{1}{x}+\frac{\sin x}{x} }[/math] חסומה (פתרון). קושי 3.
מועד א' תשס"ב · שאלה 12 (גרסת ד"ר הורוביץ): לפונקציה רציפה וחיובית בקטע סגור יש אינפימום חיובי (דף פתרון). קושי 1–2.
מועד א' תש"ף (חדו"א 1 להנדסה) · שאלה 4: [math]\displaystyle{ f>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(x+1)=3f(x) }[/math]; עם רציפות, מינימום חיובי ב־[math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] (פתרון). קושי 3–4. (הנדסה)
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הפונקציות (אין בו דף נפרד למשפטי ויירשטראס).
תרגילי הכנה למבחן: ערך הביניים ומשפט ויירשטראס · תרגיל 13: פונקציה רציפה בקטע סגור שגדולה מ־[math]\displaystyle{ m }[/math] גדולה גם מ־[math]\displaystyle{ m+\varepsilon }[/math], עם פתרון מלא; חסימות מגבולות באינסוף: תרגיל 71.
תרגול 11 (לואי ומני) · עמ' 5–6: שני תרגילים ממבחנים על ויירשטראס (שתי פונקציות רציפות ב־[math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] עם אותו [math]\displaystyle{ \sup }[/math] נפגשות; פונקציה רציפה ושלילית ב־[math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math] עם גבול [math]\displaystyle{ -1 }[/math] באינסוף: [math]\displaystyle{ \sup f<0 }[/math]), עם פתרונות; המינימום בקרן (דוגמה 3) בעמ' 1 של תרגול 12.
![משמאל: פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. לפי המשפט הראשון היא חסומה, ולפי המשפט השני היא מקבלת מקסימום [math]\displaystyle{ M=f(c) }[/math] ומינימום [math]\displaystyle{ m=f(d) }[/math]: הגרף כלוא במלבן התכול ונוגע גם בצלע העליונה שלו וגם בצלע התחתונה. כאן המינימום מתקבל דווקא בקצה הקטע ([math]\displaystyle{ d=b }[/math]), והשקע שבאמצע (מינימום מקומי) גבוה מ־[math]\displaystyle{ m }[/math]. מימין: הדוגמה מהסרטון, [math]\displaystyle{ g(x)=x }[/math] עבור [math]\displaystyle{ 0\le x<1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g(1)=0 }[/math]. היא חסומה ומקבלת מינימום [math]\displaystyle{ 0 }[/math], אבל החסם העליון [math]\displaystyle{ 1 }[/math] אינו מתקבל (העיגול החלול), כי [math]\displaystyle{ g }[/math] אינה רציפה ב־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] (ראו דוגמה 1).](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c6-02.png)