אינפי 1/מיון נק' אי רציפות
נניח [math]\displaystyle{ f:A\to \mathbb{R} }[/math] לא רציפה ב-[math]\displaystyle{ a }[/math] (במקרה הזה נהוג להגיד ש- [math]\displaystyle{ a }[/math] נק’ אי רציפות) ואז לא נכון לומר שקיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a} f(x) }[/math] ששווה ל- [math]\displaystyle{ f(a) }[/math] .
במקרה הזה קיימות 3 אפשרויות:
- קיים הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a} f(x) }[/math] (ובפרט קיימים הגבולות החד צדדיים והם שווים) אבל הוא שונה מ-[math]\displaystyle{ f(a) }[/math] . במקרה זה אומרים ש-[math]\displaystyle{ a }[/math] נק’ אי רציפות סליקה (או "סוג אפס").
- לא קיים הגבול, אבל קיימים הגבולות החד צדדיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^+} f(x) , \lim_{x\to a^-} f(x) }[/math] (ואז זה אומר שהם שונים). במקרה הזה אומרים ש- [math]\displaystyle{ a }[/math] נק’ אי רציפות מסוג ראשון.
- לפחות אחד הגבולות החד צדדיים לא קיים. במקרה זה אומרים ש- [math]\displaystyle{ a }[/math] נק’ אי רציפות מסוג שני
לפונקציה מונוטונית [math]\displaystyle{ f:(a,b)\to \mathbb{R} }[/math] יכולות להיות נק’ אי רציפות מסוג ראשון בלבד
הוכחה.
נניח בה"כ ש- [math]\displaystyle{ f }[/math] מונוטונית עולה ונראה כי \begin{displaymjx}\lim_{x\to x_0^-} f(x) = \sup_{x\in (a,x_0)} f(x)\leq f(x_0) , \lim_{x\to x_0^+} f(x)=\inf_{x\in (x_0,b)}\geq f(x_0)\end{displaymjx} ולכן הגבולות החד צדדיים קיימים.
אבל אם הם שווים ושונים מ- [math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math] נגיע לסתירה משום שאם נניח בה"כ ש-
[math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0} f(x) > f(x_0) }[/math] אז קיים [math]\displaystyle{ \delta }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \forall x : 0<x_0-x<\delta }[/math] מתקיים ש- \begin{displaymjx}\left (\lim_{x\to x_0} f(x)\right ) - f(x) \leq \left (\lim_{x\to x_0} f(x)\right )-f(x_0) \Rightarrow f(x_0)\leq f(x)\end{displaymjx} למרות ש- [math]\displaystyle{ x<x_0 }[/math] וזה בסתירה למונוטוניות של [math]\displaystyle{ f }[/math]
∎