אינפי 1/גבול של הרכבת פונקציות (סופרפוזיציה)

📄 דף מעודכן על הנושא: רציפות: הגדרות ומשפטים מהקורס, סרטון, דוגמאות פתורות ותרגול.

משפט

תהיינה [math]\displaystyle{ f:A\to B , g:B\to \mathbb{R} , A,B\subseteq \mathbb{R} }[/math] ונניח כי

1.[math]\displaystyle{ \lim_{x\to p} f(x)=q }[/math]

2.[math]\displaystyle{ \lim_{x\to q} g(x)=l }[/math]

3. קיימת סביבה של [math]\displaystyle{ p }[/math] שבה [math]\displaystyle{ f(x)\neq q }[/math]

אזי אם נגדיר [math]\displaystyle{ h=g\circ f }[/math] יהיה קיים הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\to p} h(x) }[/math] והוא יהיה שווה ל- [math]\displaystyle{ l }[/math]

דוגמה למה תנאי 3 הוא הכרחי

נניח [math]\displaystyle{ f(x)\equiv 0 }[/math] ו- [math]\displaystyle{ g(x)=\begin{cases} 0\ \text{if}\ x\neq 0 \\ 1\ \text{if}\ x=0\end{cases} }[/math] .

נראה כי [math]\displaystyle{ h(x)\equiv 1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0} h(x)=1 }[/math] למרות ש-

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0} f(x) = 0 }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0} g(x) = 0 }[/math]

הוכחה.

נשתמש בעקרון היינה: תהי [math]\displaystyle{ x_n\to p , x_n \neq p }[/math] . נגדיר [math]\displaystyle{ y_n=f(x_n) }[/math] ואז [math]\displaystyle{ y_n\to q }[/math] ומהנתון השלישי [math]\displaystyle{ y_n\neq q }[/math], מכאן ש- [math]\displaystyle{ h(x_n)=g(f(x_n))=g(y_n)\to l }[/math] , כדרוש

∎

דוגמה דוגמאות חישוב גבולות

1. \begin{displaymjx}\lim_{x\to 0} \frac{\sin ax} {x} = \{y=ax\} = \lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{\frac{y}{a}} = a\lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} = a\end{displaymjx}

2. \begin{displaymjx}\lim_{x\to 0} \frac{\sin \sin x} {\sin x} = \{y=\sin x\} = \lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} = 1\end{displaymjx}