📄
דף מעודכן על הנושא: המספר e: הגדרות ומשפטים מהקורס, סרטון, דוגמאות פתורות ותרגול.
הגדרה
נגדיר את [math]\displaystyle{ x_n=(1+\frac{1}{n})^n }[/math] .
משפט
קיים הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} x_n }[/math] , לגבול הזה קוראים [math]\displaystyle{ e }[/math].
הוכחה.
נוכיח שהסדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל.
עולה מונוטונית:
\begin{displaymjx}\frac{x_n}{x_{n-1}} = \frac{(1+\frac{1}{n})^{n}}{(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}}=\frac{(\frac{n+1}{n})^{n}}{(\frac{n}{n-1})^{n-1}}=\frac{(n+1)^n (n-1)^{n-1}}{n^n n^{n-1}}=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}\frac{(n^2-1)^n n}{n^{2n}(n-1)}=(1-\frac{1}{n^2})^n \frac{n}{n-1}\end{displaymjx}
לפי אי שיוויון ברנולי, זה גדול או שווה לביטוי הבא: \begin{displaymjx}(1+n(-\frac{1}{n^2})) \cdot \frac{n}{n-1} = \frac{(n-1)n}{n(n-1)} = 1\end{displaymjx} מכאן שזוהי סדרה מונוטונית עולה.
חסומה מלעיל:
[math]\displaystyle{ x_n=(1+\frac{1}{n})^n }[/math]
ואם נפתח את הביטוי לפי הבינום של ניוטון נקבל \begin{displaymjx}x_n=1+\binom{n}{1} \frac{1}{n} + \binom {n}{2} \frac{1}{n^2} + \cdots + \frac{1}{n^n}\end{displaymjx} איבר טיפוסי בסכום הזה הוא מהצורה \begin{displaymjx}\binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{n!}{(n-k)! k!} \frac{1}{n^k} \leq \frac{n^n}{n^{n-k} k!} \frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!}\end{displaymjx} ולכן \begin{displaymjx}x_n \leq 2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}\leq 2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}\end{displaymjx}
כל מה שאחרי ה-2 זה סדרה הנדסית אינסופית שסכומה 1 ולכן נקבל ש- [math]\displaystyle{ x_n\leq 3 }[/math]
אז זוהי סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת.
∎
תכונות של [math]\displaystyle{ e }[/math]
משפט
[math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots + \frac{1}{n!}=e }[/math]
הוכחה.
נגדיר [math]\displaystyle{ e_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} }[/math] . צריך להראות ש- [math]\displaystyle{ e_n\to e }[/math] . אם נשתמש באותה סדרה [math]\displaystyle{ x_n }[/math] שהגדרנו אז ראינו בהוכחה של המשפט הקודם ש- [math]\displaystyle{ x_n\leq e_n }[/math]. מצד שני אם נכתוב את [math]\displaystyle{ x_n }[/math] בצורה מפורשת אפשר גם לראות ש- \begin{displaymjx}x_n=1+1+\cdots + \frac{1\left ( 1-\frac{1}{n} \right ) \cdots \left ( 1-\frac{n-1}{n} \right )}{n!}\end{displaymjx} ולכן אם נקבע [math]\displaystyle{ k }[/math] ספציפי וניקח [math]\displaystyle{ n>k }[/math] נקבל ש- \begin{displaymjx}x_n \geq 1+1+\cdots + \frac{1\left ( 1-\frac{1}{n} \right ) \cdots \left ( 1-\frac{k-1}{n} \right )}{k!}\end{displaymjx} ואם נשאיף את [math]\displaystyle{ n\to \infty }[/math] אז נקבל בצד ימין בדיוק את [math]\displaystyle{ e_k }[/math] ובצד שמאל את [math]\displaystyle{ e }[/math]. גבול שומר על אי שיוויון חלש ולכן נקבל \begin{displaymjx}x_n\leq e_n \leq e\end{displaymjx} ולפי משפט הסנדוויץ’ נקבל את הדרוש.
∎
נשים לב שאם נגדיר [math]\displaystyle{ e_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} }[/math] אז אם [math]\displaystyle{ N>n }[/math] מתקיים
\begin{displaymjx}e_N-e_n=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots \frac{1}{N!}\leq \frac{1}{(n+1)!}+(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\cdots + \frac{1}{(n+2)^{N-n-1}})=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}\frac{1}{(n+1)!}\cdot \frac{\frac{1}{n+2}((\frac{1}{n+2})^{N-n} - 1)}{\frac{1}{n+2} - 1 } \leq \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{1-\frac{1}{n+2}} = \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1}\end{displaymjx}
כעת נשתמש בזה בשביל להוכיח:
משפט
[math]\displaystyle{ e\not\in \mathbb{Q} }[/math]
הוכחה.
נניח [math]\displaystyle{ e=\frac{p}{q} =1+\cdots +\frac{1}{n!}+\alpha_n }[/math] ומכאן [math]\displaystyle{ |\alpha_n|<\frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1} }[/math] וע"י כפל של 2 האגפים נקבל \begin{displaymjx}(n+1)!\frac{p}{q}=(n+1)!(1+\cdots+\frac{1}{n!})+(n+1)!\alpha_n\end{displaymjx} וזה נכון לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], בפרט ל- [math]\displaystyle{ n>q }[/math] . במקרה זה, אגף שמאל שלם ואגף ימין מורכב ממשהו שהוא שלם ועוד [math]\displaystyle{ (n+1)!\alpha_n }[/math] אבל החלק האחרון הזה הוא לא שלם משום שקטן מ- [math]\displaystyle{ \frac{1}{n+1} }[/math]. אגף שמאל, שהוא שלם הוא סכום של משהו שלם ומשהו שהוא לא שלם. סתירה
∎
