אינפי 1/התכנסות בהחלט והתכנסות בתנאי

📄 דף מעודכן על הנושא: התכנסות בהחלט ובתנאי: הגדרות ומשפטים מהקורס, סרטון, דוגמאות פתורות ותרגול.

התכנסות בהחלט

הגדרה

אומרים שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס בהחלט אם [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty |a_n| }[/math] מתכנס.

משפט

טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס.

הוכחה.

נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ-[math]\displaystyle{ 0 }[/math], אז אנחנו יודעים ש- \begin{displaymjx}\exists_N \forall_{n>m>N} \left |\sum_{k=m}^n |a_k| \right | < \epsilon\end{displaymjx} אם כך, [math]\displaystyle{ \left |\sum_{k=m}^n a_k \right | \leq \sum_{k=m}^n |a_k| }[/math] פשוט מאי שיוויון המשולש, וכיוון שכל האיברים בסכום חיוביים זה בדיוק שווה ל- [math]\displaystyle{ \left |\sum_{k=m}^n |a_k| \right | }[/math] שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- [math]\displaystyle{ N }[/math] שאנחנו מחפשים כדי להוכיח שזה סדרת קושי פשוט להיות אותו [math]\displaystyle{ N }[/math] וסיימנו!

∎

דוגמה

הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2^n } {n^2} }[/math] מתכנס משום ש- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty |\frac{\sin 2^n}{n^2}| \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} }[/math] וממבחן ההשוואה הראשון, הטור מתכנס בהחלט, לכן מתכנס.

התכנסות בתנאי

הגדרה

אומרים שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס בתנאי אם הוא מתכנס אבל לא מתכנס בהחלט.

דוגמה

הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots }[/math] מתכנס בתנאי (ראינו שלא מתכנס בהחלט כי טור הערכים המוחלטים זה הטור ההרמוני, למה הוא מתכנס נראה עוד מעט).