בקצרה:התכנסות בהחלט ובתנאי הן שתי הדרכים שבהן טור יכול להתכנס. טור מתכנס בהחלט אם גם טור הערכים המוחלטים [math]\displaystyle{ \sum|a_k| }[/math] מתכנס, והוא מתכנס בתנאי אם הוא מתכנס רק בזכות ביטולים בין איברים חיוביים לשליליים, בעוד שטור הערכים המוחלטים מתבדר. המשפט המרכזי הוא שהתכנסות בהחלט גוררת התכנסות, ולכן כל טור הוא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר, ובמבחנים שואלים בדיוק את זה. פירוק הטור לסכום האיברים החיוביים ולסכום האיברים השליליים מסביר את ההבדל: בטור שמתכנס בהחלט שני הסכומים סופיים, ובטור שמתכנס בתנאי שניהם אינסופיים.
טור מתכנס בהחלט וטור מתכנס בתנאי
▶ ההרצאה: התכנסות בהחלט ובתנאי
סדרת הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ S_n }[/math] של הטור (נקודות מלאות) וסדרת הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ D_n }[/math] של טור הערכים המוחלטים (עיגולים חלולים). הרצועה הכחולה היא [math]\displaystyle{ [-D_n,D_n] }[/math]; לפי אי־שוויון המשולש [math]\displaystyle{ |S_n|\le D_n }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ S_n }[/math] תמיד בתוכה. משמאל, הטור מדוגמה 1, שמתכנס בהחלט: גם [math]\displaystyle{ D_n }[/math] מתכנסת (ל־[math]\displaystyle{ 0.758\ldots }[/math]), הרצועה מתייצבת, והטור מתכנס ל־[math]\displaystyle{ 0.5928\ldots }[/math], בתוך החסם [math]\displaystyle{ \pm1 }[/math] (הקווים המקווקווים). עבור [math]\displaystyle{ n\le3 }[/math] שתי הנקודות מתלכדות, כי [math]\displaystyle{ \sin1,\sin2,\sin3>0 }[/math]. מימין, הטור מדוגמה 2, שמתכנס בתנאי: [math]\displaystyle{ S_n\to0 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ D_n\to\infty }[/math] והרצועה מתרחבת בלי גבול; רק הביטולים בין האיברים החיוביים לשליליים שומרים על [math]\displaystyle{ S_n }[/math] ליד [math]\displaystyle{ 0 }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית. אם טור הערכים המוחלטים [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty|a_k| }[/math] מתכנס, אזי גם הטור המקורי [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס.
הגדרה 3.2.2מתכנס בהחלט / מתכנס בתנאי / מתבדר▶ סרטון 4:08
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית.
הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] נקרא מתכנס בהחלט אם [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס וגם [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty|a_k| }[/math] מתכנס.
הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] נקרא מתכנס בתנאי אם [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס אך [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty|a_k| }[/math] מתבדר.
הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] נקרא מתבדר אם [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתבדר וגם [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty|a_k| }[/math] מתבדר.
משפט 3.2.3אי-שוויון המשולש לטורים
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית כך שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס בהחלט. אזי
זה אינו טור חיובי, וגם הסימנים שלו אינם מתחלפים: [math]\displaystyle{ \sin1,\sin2,\sin3>0 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ \sin4,\sin5,\sin6<0 }[/math]. לכן נבדוק את טור הערכים המוחלטים.
לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 0\le\frac{|\sin k|}{2^k}\le\frac{1}{2^k} }[/math], כי [math]\displaystyle{ |\sin k|\le1 }[/math].
הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k} }[/math] הוא טור הנדסי עם המנה [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math], ולכן לפי משפט 3.1.9 הוא מתכנס, וסכומו [math]\displaystyle{ \frac{1/2}{1-1/2}=1 }[/math].
לפי מבחן ההשוואה הראשון (משפט 3.3.4) הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{|\sin k|}{2^k} }[/math] מתכנס, ולכן לפי משפט 3.2.1 גם הטור הנתון מתכנס. שני הטורים מתכנסים, כלומר הטור הנתון מתכנס בהחלט.
החסם. לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n\frac{|\sin k|}{2^k}\le\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^k} }[/math] [math]\displaystyle{ =1-\frac{1}{2^n}<1 }[/math] (סכום הנדסי סופי), ולכן במעבר לגבול [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{|\sin k|}{2^k}\le1 }[/math].
שימו לב: מאי־השוויון [math]\displaystyle{ \frac{\sin k}{2^k}\le\frac{1}{2^k} }[/math] לבדו, בלי ערך מוחלט, אי אפשר להסיק דבר, כי מבחן ההשוואה נכון רק לטורים חיוביים.
מקור: מחברת ההרצאות של ארז תשע"ז עמ' 53 (G1-105, E55): אותה שיטה עבור Σ sin(n)/n², "לא טור חיובי! ... Σ|sin n|/n² ≤ Σ1/n² ... מתכנס בהחלט", מיד אחרי טבלת המצבים; לוח 14.12.20 (R2-E40, אותו טור: "דיריכלה תקף אבל מיותר") ולוח תשפ"ד ל10 ע60 (R5); מאגר 3.4-15 (◆, ק' 1, בוחן ✓). כאן 2^k במקום n², כדי שההשוואה תהיה לטור ההנדסי (סעיף 3.1) ולא לטור ההרמוני המוכלל, ונוסף חסם לפי משפט 3.2.3 (בדף הקורס: "הכללת אי שיוויון המשולש", בלי דוגמה).
דוגמה 2: מתכנס אבל לא בהחלט: [math]\displaystyle{ 1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\cdots }[/math]
לכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ a_{2m-1}=\frac{1}{m} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2m}=-\frac{1}{m} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k=1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2} }[/math] [math]\displaystyle{ +\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\cdots }[/math]. (א) הוכיחו שהטור מתכנס, ומצאו את סכומו. (ב) הוכיחו שהטור אינו מתכנס בהחלט. מה זה אומר על הכיוון ההפוך של משפט 3.2.1?
(א) נסמן ב־[math]\displaystyle{ S_n }[/math] את סדרת הסכומים החלקיים. לכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math] האיברים מתבטלים בזוגות: [math]\displaystyle{ S_{2m}=(1-1)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right) }[/math] [math]\displaystyle{ +\cdots+\left(\frac{1}{m}-\frac{1}{m}\right)=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ S_{2m-1}=S_{2m}-a_{2m}=\frac{1}{m} }[/math].
עבור [math]\displaystyle{ n=2m-1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ S_n=\frac{1}{m}=\frac{2}{n+1} }[/math], ועבור [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי [math]\displaystyle{ S_n=0 }[/math]; לכן לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 0\le S_n\le\frac{2}{n+1} }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ \frac{2}{n+1}\to0 }[/math], לפי משפט הסנדביץ' [math]\displaystyle{ S_n\to0 }[/math]. לכן הטור מתכנס, וסכומו [math]\displaystyle{ 0 }[/math].
(ב) נסמן ב־[math]\displaystyle{ D_n }[/math] את סדרת הסכומים החלקיים של טור הערכים המוחלטים [math]\displaystyle{ 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ D_{2m}=2\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{m}\right) }[/math].
לפי משפט 3.3.3 סדרת הסכומים החלקיים של הטור ההרמוני שואפת לאינסוף, ולכן [math]\displaystyle{ D_{2m}\to\infty }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ D_n }[/math] אינה חסומה. טור הערכים המוחלטים הוא טור חיובי, ולכן לפי טענה 3.3.2 הוא מתבדר: [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty|a_k|=\infty }[/math].
מסקנה: הטור מתכנס בתנאי. הכיוון ההפוך של משפט 3.2.1 אינו נכון: טור יכול להתכנס בלי שטור הערכים המוחלטים שלו יתכנס, וכאן ההתכנסות נובעת רק מהביטולים בין האיברים החיוביים לשליליים (ראו האיור).
הדוגמה המפורסמת מאותו סוג היא הטור ההרמוני המתחלף [math]\displaystyle{ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots }[/math], שמתכנס לפי מבחן לייבניץ (סעיף 3.4) ואינו מתכנס בהחלט.
מקור: תרגול 7 של לואי ומני, עמ' 2 (W2b; מאגר 3.1-26, ק' 3, בוחן ✓): אותו טור בכתיב Σ_{n≥2} (−1)^n/[n/2], עם S_{2N}=1/N, S_{2N+1}=0 (שם האינדקס מתחיל ב־2), ושם רק ההתכנסות. סעיף (ב) והמסקנה: הערת ארז למשפט 3.2.1 ("הכיוון ההפוך שגוי"); מחברת ההרצאות תשע"ז עמ' 52 (G1-103: "שימו ♥ — ייתכן שטור מתכנס ולא מתכנס בהחלט"); סרטון 36 (OFcOpUNprTo) 04:29–04:43 (https://www.youtube.com/watch?v=OFcOpUNprTo&t=269s), הגדרת "מתכנס בתנאי": "אם הטור המקורי מתכנס אבל טור הערכים המוחלטים לא מתכנס".
דוגמה 3: מה קורה לטור הריבועים? (הוכיחו או הפריכו)
(א) לא נכון. נגדיר, כמו בדוגמה 2, [math]\displaystyle{ a_{2m-1}=\frac{1}{\sqrt{m}} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{2m}=-\frac{1}{\sqrt{m}} }[/math]. כמו שם, [math]\displaystyle{ S_{2m}=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ S_{2m-1}=\frac{1}{\sqrt{m}} }[/math], ולכן לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 0\le S_n\le\sqrt{\frac{2}{n+1}} }[/math]. האגף הימני שואף ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] (לפי טענה 2.8.1(ה), כי [math]\displaystyle{ \frac{2}{n+1}\to0 }[/math]), ולכן לפי משפט הסנדביץ' [math]\displaystyle{ S_n\to0 }[/math], והטור מתכנס.
אבל [math]\displaystyle{ a_{2m-1}^2=a_{2m}^2=\frac{1}{m} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k^2=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots }[/math], וזה בדיוק טור הערכים המוחלטים מדוגמה 2, שמתבדר. (בפתרון המבחן הדוגמה היא [math]\displaystyle{ a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} }[/math]: הטור שלה מתכנס לפי מבחן לייבניץ, ו־[math]\displaystyle{ a_n^2=\frac{1}{n} }[/math].)
(ב) נכון. נניח ש [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty|a_k| }[/math] מתכנס. לפי התנאי ההכרחי (משפט 3.1.3) [math]\displaystyle{ |a_n|\to0 }[/math], וסדרה מתכנסת היא חסומה, ולכן קיים [math]\displaystyle{ M>0 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |a_n|\le M }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math].
לכן לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 0\le|a_n^2|=|a_n|\cdot|a_n| }[/math] [math]\displaystyle{ \le M|a_n| }[/math]. הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty M|a_k| }[/math] מתכנס (חשבון טורים, טענה 3.1.7), ולפי מבחן ההשוואה הראשון גם [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty|a_k^2| }[/math] מתכנס. כיוון ש [math]\displaystyle{ |a_k^2|=a_k^2 }[/math], זה אותו טור כמו [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k^2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k^2 }[/math] מתכנס בהחלט.
(ג) לא נכון, ולמעשה המסקנה לעולם אינה מתקיימת. לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n^2\ge0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ |a_n^2|=a_n^2 }[/math]: הטור [math]\displaystyle{ \sum a_k^2 }[/math] וטור הערכים המוחלטים שלו הם אותו טור. לכן או ששניהם מתכנסים (מתכנס בהחלט) או ששניהם מתבדרים (מתבדר); טור חיובי לעולם אינו מתכנס בתנאי.
כיוון שקיים טור מתכנס בתנאי (דוגמה 2), ההנחה של (ג) מתקיימת לפחות לסדרה אחת, והמסקנה לא, ולכן הטענה אינה נכונה.
מקור: סעיף (א): מבחן צבאן תשפ"ה מועד ב', חלק נכון/לא נכון, סעיף ה (T85B-I-ה, W5a; תשובה: לא נכון, (−1)^n/√n) = בוחן 2 מדמ"ח תשע"ב של ארז, שאלה 2ד (Q6b, W6c; פתרון בוויקי, אותה דוגמה נגדית). סעיפים (ב), (ג): מאגר 3.2-04 (בוחן ◆, ק' 1–2, בוחן ✓; גם E80B ש3 (G7) ו־STACK-טורים (R5); התשובה ל־(ג) במאגר: "טור חיובי אינו מתכנס בתנאי"); טבלת המצבים במחברת ההרצאות תשע"ז עמ' 53 (G1-105). הדוגמה הנגדית ל־(א) נבנתה כאן בלי לייבניץ, כמו דוגמה 2.
דוגמה 4: אפיון: כפל בסדרה חסומה
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית. הוכיחו: הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס בהחלט אם ורק אם לכל סדרה חסומה [math]\displaystyle{ b_n }[/math] הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_kb_k }[/math] מתכנס.
כיוון ראשון. נניח ש [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty|a_k| }[/math] מתכנס, ותהי [math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרה חסומה: קיים [math]\displaystyle{ M>0 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |b_n|\le M }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math].
אזי [math]\displaystyle{ 0\le|a_nb_n|\le M|a_n| }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], והטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty M|a_k| }[/math] מתכנס (טענה 3.1.7). לפי מבחן ההשוואה הראשון [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty|a_kb_k| }[/math] מתכנס, ולפי משפט 3.2.1 גם [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_kb_k }[/math] מתכנס (ולמעשה מתכנס בהחלט).
כיוון שני. נניח שלכל סדרה חסומה [math]\displaystyle{ b_n }[/math] הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_kb_k }[/math] מתכנס. נבחר סדרה ש"מתקנת את הסימן": [math]\displaystyle{ b_n=1 }[/math] אם [math]\displaystyle{ a_n\ge0 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ b_n=-1 }[/math] אם [math]\displaystyle{ a_n<0 }[/math].
הסדרה [math]\displaystyle{ b_n }[/math] חסומה ([math]\displaystyle{ |b_n|=1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]), ולכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_nb_n=|a_n| }[/math]. לכן לפי ההנחה הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty|a_k|=\sum_{k=1}^\infty a_kb_k }[/math] מתכנס, ולפי משפט 3.2.1 גם [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס, כלומר [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס בהחלט.
מסקנות. אם [math]\displaystyle{ \sum a_k }[/math] מתכנס בתנאי, הכפל בסדרת הסימנים שלו (סדרה חסומה) הופך אותו לטור מתבדר. ואם [math]\displaystyle{ \sum a_k }[/math] מתכנס בהחלט ו־[math]\displaystyle{ \sum b_k }[/math] מתכנס (אפילו בתנאי), אזי לפי משפט 3.1.3 [math]\displaystyle{ b_n\to0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ b_n }[/math] חסומה, ולפי הכיוון הראשון [math]\displaystyle{ \sum a_kb_k }[/math] מתכנס בהחלט.
בלי התכנסות בהחלט זה נכשל, גם כש [math]\displaystyle{ b_n\to0 }[/math]: עבור [math]\displaystyle{ a_n=\frac{(-1)^n}{n} }[/math] (הטור שלה מתכנס בתנאי, לפי מבחן לייבניץ) ו־[math]\displaystyle{ b_n=\frac{(-1)^n}{\ln n} }[/math] (החל מ־[math]\displaystyle{ n=2 }[/math]; גם הטור שלה מתכנס, לפי מבחן לייבניץ) מתקבל [math]\displaystyle{ a_nb_n=\frac{1}{n\ln n} }[/math], והטור הזה מתבדר לפי מבחן העיבוי (משפט 3.3.10): הסדרה [math]\displaystyle{ \frac{1}{n\ln n} }[/math] חיובית ויורדת, ו־[math]\displaystyle{ 2^k\cdot\frac{1}{2^k\ln2^k}=\frac{1}{k\ln2} }[/math], וזה הטור ההרמוני כפול קבוע, שמתבדר.
מקור: שיעורי הבית תשע"א (HW-A) תרגיל 6.6ד, "ממבחן של פרופסור זלצמן" (G5): כיוון ראשון |a_nb_n| ≤ k|a_n|, כיוון שני b_n = sgn a_n, ש"מתקנת את הסימן"; שם b_n=|a_n|/a_n אינו מוגדר כש a_n=0 (תוקן ב־HW-B 7.4); כאן b_n=1 כש a_n≥0, ואין צורך במקרה נפרד. אותה שאלה בבוחן תשע"א (Q2 ש11, W6c, עם פתרון); מאגר 3.2-06 (◆, ק' 3–4). המסקנה השנייה: בוחן 2 מדמ"ח תשע"ב של ארז, שאלה 2ב (Q6b; מאגר 3.2-05). הדוגמה הנגדית: פתרון מועד א' תשס"ב, שאלה 10, בוויקי.
דוגמה 5: הדוגמה מהסרטון: החלקים של [math]\displaystyle{ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots }[/math]
נתבונן בסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n} }[/math], כלומר בטור [math]\displaystyle{ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots }[/math]. (א) כתבו את האיברים הראשונים של הסדרות [math]\displaystyle{ a_n^+ }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n^- }[/math], ונוסחה כללית לכל אחת מהן. (ב) הוכיחו ישירות, בלי משפט 3.5.4, ש [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k^+=\infty }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k^-=\infty }[/math]. (ג) הסבירו מדוע התוצאה מתאימה למשפט 3.5.4.
(א) האיברים במקומות האי־זוגיים חיוביים, והאיברים במקומות הזוגיים שליליים. לכן [math]\displaystyle{ a_n^+=1,0,\frac{1}{3},0,\frac{1}{5},0,\dots }[/math] [math]\displaystyle{ a_n^-=0,\frac{1}{2},0,\frac{1}{4},0,\frac{1}{6},\dots }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ a_n^+=\frac{1}{n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n^-=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] אי־זוגי, ו־[math]\displaystyle{ a_n^+=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n^-=\frac{1}{n} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי. [math]\displaystyle{ a_n^- }[/math] רושמת את הגודל[math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math] של האיבר השלילי [math]\displaystyle{ -\frac{1}{n} }[/math]. בדיקה לפי טענה 3.5.2: [math]\displaystyle{ a_n^+-a_n^-=a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n^++a_n^-=\frac{1}{n}=|a_n| }[/math].
(ב) נסמן [math]\displaystyle{ P_N=\sum_{k=1}^N a_k^+ }[/math] ו־[math]\displaystyle{ Q_N=\sum_{k=1}^N a_k^- }[/math]. שני הטורים חיוביים, ולכן לפי טענה 3.3.2 מספיק להראות שסדרות הסכומים החלקיים שלהם אינן חסומות. לכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ Q_{2m}=\sum_{j=1}^m\frac{1}{2j} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{2}\sum_{j=1}^m\frac{1}{j} }[/math], וזה שואף לאינסוף כי [math]\displaystyle{ \sum_{j=1}^\infty\frac{1}{j}=\infty }[/math] (משפט 3.3.3). לכן [math]\displaystyle{ Q_N }[/math] אינה חסומה, ו־[math]\displaystyle{ \sum a_k^-=\infty }[/math].
לכל [math]\displaystyle{ j\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{1}{2j-1}\ge\frac{1}{2j} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ P_{2m}=\sum_{j=1}^m\frac{1}{2j-1}\ge Q_{2m} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math]. לכן גם [math]\displaystyle{ P_N }[/math] אינה חסומה, ו־[math]\displaystyle{ \sum a_k^+=\infty }[/math].
(ג) הטור [math]\displaystyle{ \sum a_k }[/math] מתכנס לפי מבחן לייבניץ (הסדרה [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math] מונוטונית יורדת ושואפת לאפס), וטור הערכים המוחלטים שלו הוא הטור ההרמוני, שמתבדר. לכן הטור מתכנס בתנאי, ומשפט 3.5.4 אומר בדיוק ששני הטורים שואפים לאינסוף. הסכומים החלקיים של הטור עצמו הם ההפרשים [math]\displaystyle{ S_N=P_N-Q_N }[/math]: שתי הסדרות [math]\displaystyle{ P_N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ Q_N }[/math] שואפות לאינסוף, וההפרש ביניהן מתכנס (ראו האיור).
מקור: תמליל 44 (XEl8ZykrNcw) 00:06–01:54 (https://www.youtube.com/watch?v=XEl8ZykrNcw&t=6s): "נחשוב על הטור של עברי הסדרה הבאה: 1, מינוס חצי, שליש, מינוס רבע" (00:11–00:14), a_n^+ "1, 0, שליש, 0, חמישית" (00:44), a_n^- "בכל פעם שיש עבר שלילי רושמים את הגודל שלו" (01:00), |a_n| הוא הטור ההרמוני (01:24–01:33), "לפי משפט לייבניץ הוא מתכנס ... מתכנס בתנאי" (01:46–01:50); השאלה "איך זה ייתכן" ב־06:41 (https://www.youtube.com/watch?v=XEl8ZykrNcw&t=401s); מאגר 3.5-01 (◆, V44 00:11). ההוכחה הישירה בסעיף (ב) שלי, בכלים של סעיף 3.3.
דוגמה 6: שאלת בוחן: כשמבחן לייבניץ אינו חל
קבעו אם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n }[/math] מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר, כאשר [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי ו־[math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n^2} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] אי־זוגי. (בוחן 2 מדמ"ח תשע"ב, שאלה 4ב)
נסמן [math]\displaystyle{ b_n=(-1)^na_n }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי [math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{n}>0 }[/math], ועבור [math]\displaystyle{ n }[/math] אי־זוגי [math]\displaystyle{ b_n=-\frac{1}{n^2}<0 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ b_n^+=\frac{1}{n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n^-=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי, ו־[math]\displaystyle{ b_n^+=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n^-=\frac{1}{n^2} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] אי־זוגי. נסמן ב־[math]\displaystyle{ S_N }[/math], [math]\displaystyle{ P_N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ Q_N }[/math] את הסכומים החלקיים של [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math], [math]\displaystyle{ \sum b_n^+ }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum b_n^- }[/math].
השליליים מתכנסים:[math]\displaystyle{ 0\le b_n^-\le\frac{1}{n^2} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], והטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^2} }[/math] מתכנס (משפט 3.3.11), ולכן [math]\displaystyle{ \sum b_n^- }[/math] מתכנס לפי מבחן ההשוואה הראשון.
החיוביים מתבדרים: לכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ P_{2m}=\sum_{j=1}^m\frac{1}{2j} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{2}\sum_{j=1}^m\frac{1}{j} }[/math], וזה שואף לאינסוף (משפט 3.3.3). לכן [math]\displaystyle{ P_N }[/math] אינה חסומה, ו־[math]\displaystyle{ \sum b_n^+=\infty }[/math] (טענה 3.3.2, כי [math]\displaystyle{ b_n^+\ge0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]).
נב"ש שהטור [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] מתכנס. לפי טענה 3.5.2 [math]\displaystyle{ b_n^+=b_n+b_n^- }[/math], ולכן לפי חשבון טורים [math]\displaystyle{ \sum b_n^+ }[/math] מתכנס, כסכום של שני טורים מתכנסים. סתירה. לכן [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] מתבדר, וגם [math]\displaystyle{ \sum|b_n| }[/math] מתבדר (אחרת [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] היה מתכנס לפי משפט 3.2.1), כלומר הטור מתבדר (הגדרה 3.2.2). יותר מזה: [math]\displaystyle{ S_N=P_N-Q_N }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ P_N\to\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ Q_N }[/math] מתכנסת, ולכן [math]\displaystyle{ S_N\to\infty }[/math].
שימו לב: [math]\displaystyle{ b_n\to0 }[/math] (כי [math]\displaystyle{ |b_n|\le\frac{1}{n} }[/math]), ולכן התנאי ההכרחי אינו מכריע, ומבחן לייבניץ אינו חל כי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אינה מונוטונית, וגם לא החל ממקום מסוים: לכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (2m+1)^2>2m+2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_{2m+1}<a_{2m+2} }[/math] (למשל [math]\displaystyle{ a_3=\frac{1}{9} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_4=\frac{1}{4} }[/math]). הפירוק לחיוביים ולשליליים מכריע מיד.
מקור: בוחן 2 למדמ"ח תשע"ב (89-132, ארז; 11Infi1CSBohan2.pdf), שאלה 4ב (סיווג: "מתכנס בהחלט\בתנאי\מתבדר"); הפתרון בוויקי ("88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 2", 4ב): "הטור מתבדר שכן סכום אבריו השליליים מתכנס בעוד סכום אבריו החיוביים מתבדר" (W6c Q6b ש4ב); מאגר 3.4-22 (◆, בוחן ✓; גם HW-A 7.1b, G5). הפירוט (השוואה ל־Σ1/n², חצי הטור ההרמוני, ההגעה ל־S_N→∞) שלי.
טעויות נפוצות
להוכיח התכנסות דרך [math]\displaystyle{ a_n\le|a_n| }[/math], כלומר "[math]\displaystyle{ \sum a_n\le\sum|a_n| }[/math] ולכן הטור מתכנס": מבחן ההשוואה הראשון נכון רק לטורים חיוביים (למשל [math]\displaystyle{ -1\le\frac{1}{2^n} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], אבל [math]\displaystyle{ \sum(-1) }[/math] מתבדר), והדרך הנכונה היא להראות ש [math]\displaystyle{ \sum|a_n| }[/math] מתכנס ואז להפעיל את משפט 3.2.1.
להסיק מהתכנסות הטור שהוא מתכנס בהחלט: הכיוון ההפוך של משפט 3.2.1 שגוי (הטור [math]\displaystyle{ 1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\cdots }[/math] מדוגמה 2 והטור ההרמוני המתחלף [math]\displaystyle{ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots }[/math] מתכנסים, אבל טורי הערכים המוחלטים שלהם מתבדרים), ומה שכן נכון הוא הניסוח השקול של משפט 3.2.1 עצמו: אם [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתבדר, אזי [math]\displaystyle{ \sum|a_n| }[/math] מתבדר.
לחפש "מצב רביעי" או טור חיובי שמתכנס בתנאי: אין טור שמתבדר וטור הערכים המוחלטים שלו מתכנס (זה בדיוק משפט 3.2.1; בסרטון, 4:55: "ולמה אין מצב רביעי?"), ואם כל איברי הטור, פרט אולי למספר סופי, הם בעלי אותו סימן, הטור מתכנס אם ורק אם הוא מתכנס בהחלט, ולכן התכנסות בתנאי דורשת אינסוף איברים חיוביים ואינסוף איברים שליליים.
לחשוב שאי־שוויון המשולש לטורים (משפט 3.2.3) מוכיח התכנסות או שמתקיים בו שוויון: הוא מניח שהטור כבר מתכנס בהחלט ורק חוסם את סכומו, ובדרך כלל החסם אינו הדוק (בדוגמה 1 [math]\displaystyle{ |S|\approx0.593 }[/math] ואילו [math]\displaystyle{ \sum|a_k|\approx0.758 }[/math]).
לכתוב [math]\displaystyle{ a_n^-=a_n }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a_n<0 }[/math]: הסדרה [math]\displaystyle{ a_n^- }[/math] רושמת את הגודל של האיבר השלילי, [math]\displaystyle{ a_n^-=-a_n>0 }[/math], ולכן היא אי־שלילית ו־[math]\displaystyle{ \sum a_k^- }[/math] הוא טור חיובי, שסכומו מספר אי־שלילי או [math]\displaystyle{ +\infty }[/math] (ולא [math]\displaystyle{ -\infty }[/math]). בהתאם, [math]\displaystyle{ a_n=a_n^+-a_n^- }[/math] עם מינוס, ו־[math]\displaystyle{ |a_n|=a_n^++a_n^- }[/math] עם פלוס.
לצטט את משפט 3.5.4 כ"לפחות אחד הטורים מתבדר": המשפט אומר ששני הטורים [math]\displaystyle{ \sum a_k^+ }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum a_k^- }[/math] מתבדרים, ושניהם שואפים ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math] (טור חיובי שמתבדר שואף תמיד לאינסוף, טענה 3.3.2).
לכתוב [math]\displaystyle{ \sum a_k=\sum a_k^+-\sum a_k^- }[/math] כשהטור מתכנס בתנאי: חשבון טורים (טענה 3.1.7) חל רק על טורים מתכנסים, ו־"[math]\displaystyle{ \infty-\infty }[/math]" אינו מוגדר. מה שתמיד נכון הוא השוויון בין הסכומים החלקיים, [math]\displaystyle{ S_N=P_N-Q_N }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ P_N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ Q_N }[/math] הם הסכומים החלקיים של [math]\displaystyle{ \sum a_k^+ }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum a_k^- }[/math]); בטור מתכנס בתנאי שתי הסדרות [math]\displaystyle{ P_N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ Q_N }[/math] שואפות לאינסוף וההפרש ביניהן מתכנס (בסרטון, 06:41: "איך זה ייתכן...").
לתרגול
מועד ב' תשפ"ה (מתמטיקה, בועז צבאן) · חלק נכון/לא נכון, סעיף ה: אם [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתכנס, האם [math]\displaystyle{ \sum a_n^2 }[/math] מתכנס? (דוגמה 3א) (פתרון)
בוחן 2 מדמ"ח תשע"ב · בוחן הטורים של ארז, עם פתרון: שאלה 1ב הגדרת התכנסות בתנאי, 2ב בתנאי כפול בהחלט, 2ד טור הריבועים (דוגמה 3א), ושאלה 4 סיווג שלושה טורים; קישור לטופס בראש הדף
![סדרת הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ S_n }[/math] של הטור (נקודות מלאות) וסדרת הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ D_n }[/math] של טור הערכים המוחלטים (עיגולים חלולים). הרצועה הכחולה היא [math]\displaystyle{ [-D_n,D_n] }[/math]; לפי אי־שוויון המשולש [math]\displaystyle{ |S_n|\le D_n }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ S_n }[/math] תמיד בתוכה. משמאל, הטור מדוגמה 1, שמתכנס בהחלט: גם [math]\displaystyle{ D_n }[/math] מתכנסת (ל־[math]\displaystyle{ 0.758\ldots }[/math]), הרצועה מתייצבת, והטור מתכנס ל־[math]\displaystyle{ 0.5928\ldots }[/math], בתוך החסם [math]\displaystyle{ \pm1 }[/math] (הקווים המקווקווים). עבור [math]\displaystyle{ n\le3 }[/math] שתי הנקודות מתלכדות, כי [math]\displaystyle{ \sin1,\sin2,\sin3>0 }[/math]. מימין, הטור מדוגמה 2, שמתכנס בתנאי: [math]\displaystyle{ S_n\to0 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ D_n\to\infty }[/math] והרצועה מתרחבת בלי גבול; רק הביטולים בין האיברים החיוביים לשליליים שומרים על [math]\displaystyle{ S_n }[/math] ליד [math]\displaystyle{ 0 }[/math].](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c3-03.png)
![הטור ההרמוני המתחלף [math]\displaystyle{ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots }[/math], הדוגמה מהסרטון. משמאל: איברי הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n} }[/math] (עיגולים חלולים), ומעליהם [math]\displaystyle{ a_n^+ }[/math] (עמודות ירוקות) ו־[math]\displaystyle{ a_n^- }[/math] (עמודות תכולות). במקומות הזוגיים האיבר שלילי, והעמודה התכולה היא הגודל שלו: [math]\displaystyle{ a_n^-=-a_n>0 }[/math]. מימין: הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ P_N=\sum_{k=1}^N a_k^+ }[/math] (נקודות מלאות) ו־[math]\displaystyle{ Q_N=\sum_{k=1}^N a_k^- }[/math] (עיגולים חלולים). שתי הסדרות עולות בלי חסם (לאט, אבל שואפות לאינסוף), ואילו הפער האנכי ביניהן, הרצועה הכחולה, הוא הסכום החלקי [math]\displaystyle{ S_N=P_N-Q_N }[/math] של הטור עצמו, והוא מתכנס. זה משפט 3.5.4: הטור מתכנס בתנאי, ולכן [math]\displaystyle{ \sum a_k^+=\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum a_k^-=\infty }[/math].](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c3-10.png)