בקצרה: טור חיובי הוא טור שכל איבריו אי־שליליים. בטור כזה הסכומים החלקיים אף פעם אינם קטנים, כמו יתרה בחשבון בנק שנכנסות אליו רק הפקדות, ולכן יש רק שתי אפשרויות: אם הסכומים החלקיים חסומים הטור מתכנס, ואם הם אינם חסומים הם שואפים לאינסוף; כדי להוכיח שטור חיובי מתכנס די לחסום את הסכומים החלקיים שלו, ועל זה נשענים מבחני ההתכנסות לטורים חיוביים שבהמשך הפרק. הדוגמה החשובה ביותר היא הטור ההרמוני [math]\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots }[/math]: איבריו שואפים לאפס, ובכל זאת סכומו אינסופי. לכן התנאי ההכרחי להתכנסות טור (האיבר הכללי שואף לאפס) אינו תנאי מספיק, והטור ההרמוני משמש בהמשך כקנה מידה במבחני ההשוואה.
▶ ההרצאה: טורים חיוביים והטור ההרמוני
איברי הטור ההרמוני כעמודות ברוחב [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ובגובה [math]\displaystyle{ \frac{1}{k} }[/math], כך ששטח העמודה ה־[math]\displaystyle{ k }[/math] הוא בדיוק [math]\displaystyle{ \frac{1}{k} }[/math] (כאן [math]\displaystyle{ k=1,\dots,16 }[/math]). העמודות מחולקות לבלוקים [math]\displaystyle{ \{1\} }[/math], [math]\displaystyle{ \{2\} }[/math], [math]\displaystyle{ \{3,4\} }[/math], [math]\displaystyle{ \{5,\dots,8\} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \{9,\dots,16\} }[/math], ומהבלוק השלישי והלאה מספר האיברים בכל בלוק כפול ממספרם בבלוק הקודם ([math]\displaystyle{ 1,1,2,4,8 }[/math] איברים). בכל בלוק יש מלבן כחול ששטחו בדיוק [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] והוא נמצא מתחת לעמודות (מהבלוק השני והלאה גובהו הוא האיבר הקטן ביותר בבלוק, למשל [math]\displaystyle{ 4\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{2} }[/math] בבלוק [math]\displaystyle{ \{5,\dots,8\} }[/math]), ולכן סכום כל בלוק הוא לפחות [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math]. מכאן [math]\displaystyle{ S_{16}\ge5\cdot\frac{1}{2} }[/math], ובאופן כללי [math]\displaystyle{ S_{2^{n-1}}\ge\frac{n}{2} }[/math]: כל בלוק נוסף מוסיף לסכום לפחות [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math], אף שהאיברים עצמם שואפים לאפס.
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית. הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] נקרא טור חיובי אם לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\ge0 }[/math].
הטור ההרמוני [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k} }[/math] מתבדר, וסדרת הסכומים החלקיים שלו שואפת לאינסוף, כלומר [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}=\infty }[/math].
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: כל שבר עשרוני אינסופי מתכנס
תהי [math]\displaystyle{ d_k }[/math] סדרה של ספרות, כלומר [math]\displaystyle{ d_k\in\{0,1,\dots,9\} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math]. הוכיחו שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{d_k}{10^k} }[/math] מתכנס, ושסכומו נמצא בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]. (כך מקבל משמעות השבר העשרוני האינסופי [math]\displaystyle{ 0.d_1d_2d_3\ldots }[/math]: זהו בדיוק סכום הטור הזה.)
לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{d_k}{10^k}\ge0 }[/math], כלומר זהו טור חיובי, ולכן לפי טענה 3.3.2 די להראות שסדרת הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^n\frac{d_k}{10^k} }[/math] חסומה.
כיוון ש [math]\displaystyle{ d_k\le9 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k }[/math], מתקיים לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]: [math]\displaystyle{ S_n\le\sum_{k=1}^n\frac{9}{10^k} }[/math] [math]\displaystyle{ =1-\frac{1}{10^n}<1 }[/math] (סכום של [math]\displaystyle{ n }[/math] איברים של סדרה הנדסית שאיברה הראשון [math]\displaystyle{ \frac{9}{10} }[/math] ומנתה [math]\displaystyle{ \frac{1}{10} }[/math]).
לכן [math]\displaystyle{ 0\le S_n<1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]: הסדרה [math]\displaystyle{ S_n }[/math] מונוטונית עולה וחסומה, ולפי טענה 3.3.2 הטור מתכנס.
כל איברי הסדרה [math]\displaystyle{ S_n }[/math] נמצאים בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math], ולכן גם הגבול שלה (מעבר לגבול באי־שוויון חלש): [math]\displaystyle{ 0\le\sum_{k=1}^\infty\frac{d_k}{10^k}\le1 }[/math].
שימו לב: לא חישבנו את הסכום. הטענה מבטיחה שהוא קיים בלי לחשב אותו. במקרה המיוחד [math]\displaystyle{ d_k=9 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k }[/math] החסם הוא שוויון, [math]\displaystyle{ S_n=1-\frac{1}{10^n}\to1 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ 0.999\ldots=1 }[/math].
מקור: הרצאה 37 (M3B6018c-4g) 01:56–02:07 (t=116s): לחסום את הסכומים החלקיים של טור חיובי, "זה אומר שהוא בהכרח מתכנס"; מאגר 3.1-01 (◆, ק' 1: "כל פיתוח עשרוני Σa_n/10^n מתכנס"; [מה] מ21 W1b: "הצגה עשרונית כטור"); המקרה 0.999…=1 מתחבר לסרטון 01 ("האם 1=...0.999")
דוגמה 2: נכון או לא נכון? טורים חיוביים והטור ההרמוני (בוחן)
קבעו אם כל טענה נכונה, ונמקו (הוכחה או דוגמה נגדית). בכל הסעיפים [math]\displaystyle{ a_n }[/math] היא סדרה ממשית ו־[math]\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^n a_k }[/math]. (א) אם [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math], אזי הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס. (ב) אם הסדרה [math]\displaystyle{ S_n }[/math] חסומה, אזי הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס. (ג) אם [math]\displaystyle{ a_n\ge0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] והטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתבדר, אזי [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k=\infty }[/math]. (ד) (מועד א' תשפ"ה, בועז צבאן) אם [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k=\infty }[/math], אזי הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{a_k}{S_k} }[/math] מתכנס.
(א) לא נכון. עבור [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math], אבל לפי משפט 3.3.3 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}=\infty }[/math]. התנאי ההכרחי [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] אינו תנאי מספיק.
(ב) לא נכון. עבור [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math] הסכומים החלקיים הם [math]\displaystyle{ -1,0,-1,0,\dots }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ |S_n|\le1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]; אבל [math]\displaystyle{ a_n\not\to0 }[/math], ולכן לפי מסקנה 3.1.4 הטור מתבדר. אם מוסיפים את ההנחה [math]\displaystyle{ a_n\ge0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], הטענה נכונה: זו טענה 3.3.2.
(ג) נכון. לפי טענה 3.3.2, אילו [math]\displaystyle{ S_n }[/math] הייתה חסומה הטור היה מתכנס. לכן [math]\displaystyle{ S_n }[/math] אינה חסומה, ולפי אותה טענה [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k=\infty }[/math]. בלי ההנחה [math]\displaystyle{ a_n\ge0 }[/math] הטענה אינה נכונה: הטור [math]\displaystyle{ \sum(-1)^k }[/math] מתבדר, אבל הסכומים החלקיים שלו אינם שואפים ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math].
(ד) לא נכון. נבחר [math]\displaystyle{ a_n=1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ S_n=n\to\infty }[/math], אבל לפי משפט 3.3.3 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{a_k}{S_k}=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k} }[/math] [math]\displaystyle{ =\infty }[/math]. בדוגמה 4 נראה שהטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{a_k}{S_k} }[/math] מתבדר לכל סדרה כזו, לא רק עבור [math]\displaystyle{ a_n=1 }[/math].
מקור: (א) remark_text של משפט 3.3.3, ותמליל 37 (M3B6018c-4g) 02:19–02:54 (t=139s): "האם זה אומר שהטור בהכרח מתכנס? ממש לא"; (ב) remark_text של טענה 3.3.2 ([math]\displaystyle{ \sum(-1)^k }[/math]), והגרסה החיובית היא מועד ב' תשס"ג שאלה 2 ("נכון", פתרון בוויקי; מאגר 3.3-17, W5b Q054); (ג) תמליל 37 01:35–01:52 (t=95s): "או שהיא חסומה ומתכנסת... או שהיא אינה חסומה ושואפת לאינסוף"; (ד) מועד א' תשפ"ה (מתמטיקה, בועז צבאן), חלק נכון/לא נכון, סעיף ה, פתרון רשמי: לא נכון, [math]\displaystyle{ a_n=1 }[/math] (W5a T85A-I-ה; מאגר 3.3-17)
דוגמה 3: ההוכחה באינדוקציה שנשארה פתוחה בסרטון
נסמן [math]\displaystyle{ S_N=\sum_{k=1}^N\frac{1}{k} }[/math]. בסרטון (05:47) נאמר שאת הטענה [math]\displaystyle{ S_{2^{n-1}}\ge\frac{n}{2} }[/math] אפשר להוכיח במדויק באינדוקציה, אבל ההוכחה לא נעשתה. (א) הוכיחו שלכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{k=m+1}^{2m}\frac{1}{k}\ge\frac{1}{2} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \frac{1}{m+1}+\cdots+\frac{1}{2m}\ge\frac{1}{2} }[/math]. (ב) הוכיחו באינדוקציה שלכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ S_{2^{n-1}}\ge\frac{n}{2} }[/math]. (ג) הסיקו לפי ההגדרה ש [math]\displaystyle{ S_N\to\infty }[/math], ומצאו [math]\displaystyle{ N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ S_N\ge10 }[/math].
(א) בסכום [math]\displaystyle{ \sum_{k=m+1}^{2m}\frac{1}{k} }[/math] יש [math]\displaystyle{ m }[/math] מחוברים, ולכל [math]\displaystyle{ m+1\le k\le2m }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{1}{k}\ge\frac{1}{2m} }[/math]. נקטין כל מחובר למחובר הקטן ביותר (נגדיל את כל המכנים למכנה הגדול ביותר): [math]\displaystyle{ \sum_{k=m+1}^{2m}\frac{1}{k}\ge m\cdot\frac{1}{2m} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{2} }[/math].
(ג) יהי [math]\displaystyle{ M>0 }[/math]. לפי תכונת ארכימדס קיים [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ n>2M }[/math]; נסמן [math]\displaystyle{ K=2^{n-1} }[/math]. הטור ההרמוני חיובי, ולכן לפי טענה 3.3.2 הסדרה [math]\displaystyle{ S_N }[/math] מונוטונית עולה, ולכל [math]\displaystyle{ N>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ S_N\ge S_K\ge\frac{n}{2} }[/math] [math]\displaystyle{ >M }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ S_N\to\infty }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}=\infty }[/math].
עבור [math]\displaystyle{ n=20 }[/math] מקבלים [math]\displaystyle{ S_{2^{19}}\ge10 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ N=2^{19}=524288 }[/math] מתאים (וגם כל [math]\displaystyle{ N }[/math] גדול ממנו). בפועל [math]\displaystyle{ S_N\ge10 }[/math] לראשונה ב־[math]\displaystyle{ N=12367 }[/math]: החסם אינו הדוק, אבל הוא נותן מקום בטוח. הסכומים גדלים לאט מאוד ([math]\displaystyle{ S_{10^6}\approx14.4 }[/math]), ולכן חישוב מספרי לבדו לא היה מגלה שהטור מתבדר.
מקור: תמליל 37 (M3B6018c-4g) 02:56–06:41 (t=176s): הלמה [math]\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n}\ge\frac{1}{2} }[/math] (03:14: "ניתן להגדיל את כל המכנים למכנה הגדול ביותר"), תת־הסדרה [math]\displaystyle{ S_1,S_2,S_4,S_8,\dots }[/math] (04:07–05:44), ו־05:47 (t=347s): "הוכחה מדויקת ניתן לעשות באינדוקציה, אבל לא אעשה את זה"; דף הקורס בוויקי (rev 90835) §הקדמה והטור ההרמוני: [math]\displaystyle{ S_{2^{n-1}}\ge n\cdot\frac{1}{2}\to\infty }[/math]; מאגר 3.3-01 (◆, ק' 2: "הוכיחו באינדוקציה... (נשאר פתוח בסרטון)"); הערכים [math]\displaystyle{ N=12367 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ S_{10^6}\approx14.39 }[/math] חושבו ב־Python
דוגמה 4: הכללה: הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{a_k}{S_k} }[/math] מתבדר תמיד
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית כך ש [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k=\infty }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^n a_k }[/math] סדרת הסכומים החלקיים שלה. הוכיחו ש [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{a_k}{S_k}=\infty }[/math]. (בסעיף (ד) של דוגמה 2 ראינו זאת עבור [math]\displaystyle{ a_n=1 }[/math], שם זהו הטור ההרמוני.)
רעיון: כמו בהוכחה שהטור ההרמוני מתבדר, נמצא אינסוף "חתיכות" זרות של הטור שסכום כל אחת מהן לפחות [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ T_n=\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{S_k} }[/math]. זהו טור חיובי, ולכן לפי טענה 3.3.2 די להראות שהסדרה [math]\displaystyle{ T_n }[/math] אינה חסומה.
חתיכה אחת: [math]\displaystyle{ S_n>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], והסדרה [math]\displaystyle{ S_n }[/math] מונוטונית עולה (טענה 3.3.2). יהיו [math]\displaystyle{ n<m }[/math] מספרים טבעיים. לכל [math]\displaystyle{ n<k\le m }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 0<S_k\le S_m }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ T_m-T_n=\sum_{k=n+1}^m\frac{a_k}{S_k} }[/math] [math]\displaystyle{ \ge\sum_{k=n+1}^m\frac{a_k}{S_m}=\frac{S_m-S_n}{S_m} }[/math] [math]\displaystyle{ =1-\frac{S_n}{S_m} }[/math].
לפי הנתון [math]\displaystyle{ S_m\to\infty }[/math], ולכן לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] קיים [math]\displaystyle{ m>n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ S_m\ge2S_n }[/math] (מהגדרת השאיפה לאינסוף עם [math]\displaystyle{ M=2S_n }[/math] קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ S_m>2S_n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ m>K }[/math], ואפשר לבחור [math]\displaystyle{ m=\max\{n,K\}+1 }[/math]), ועבורו [math]\displaystyle{ T_m-T_n\ge1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} }[/math].
אינסוף חתיכות: נגדיר [math]\displaystyle{ n_1=1 }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ j\in\mathbb N }[/math] נבחר [math]\displaystyle{ n_{j+1}>n_j }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ S_{n_{j+1}}\ge2S_{n_j} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ T_{n_{j+1}}-T_{n_j}\ge\frac{1}{2} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ j }[/math], ובאינדוקציה [math]\displaystyle{ T_{n_j}\ge T_1+\frac{j-1}{2}\ge\frac{j-1}{2} }[/math].
לכן [math]\displaystyle{ T_n }[/math] אינה חסומה, ולפי טענה 3.3.2 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{a_k}{S_k}=\infty }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ a_k=1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ S_k=k }[/math], אפשר לבחור [math]\displaystyle{ n_j=2^{j-1} }[/math], והחתיכות הן בדיוק [math]\displaystyle{ \sum_{k=m+1}^{2m}\frac{1}{k}\ge\frac{1}{2} }[/math] מהסרטון.
מקור: מועד א' תשפ"ה (מתמטיקה, בועז צבאן), חלק נכון/לא נכון, סעיף ה (התשובה הרשמית: לא נכון, [math]\displaystyle{ a_n=1 }[/math]; W5a T85A-I-ה; מאגר 3.3-17, "[math]\displaystyle{ \sum a_n=\infty }[/math] ⇒ [math]\displaystyle{ \sum\frac{a_n}{S_n}<\infty }[/math]? (לא)"). ההכללה לכל סדרה חיובית (משפט אבל–דיני) אינה מופיעה במקורות הקורס; ההוכחה משתמשת רק בטענה 3.3.2 ובשיטת החתיכות מתמליל 37 (M3B6018c-4g) 02:56–06:41 (t=176s)
טעויות נפוצות
להפעיל את טענה 3.3.2 (ובהמשך את מבחני ההשוואה) על טור שאינו חיובי: "חיובי" פירושו [math]\displaystyle{ a_n\ge0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] (אפסים מותרים), ובלי ההנחה הזו המסקנות נופלות. לטור [math]\displaystyle{ \sum(-1)^k }[/math] הסכומים החלקיים חסומים, ובכל זאת הוא מתבדר.
"[math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] ולכן הטור מתכנס" שגוי: התנאי ההכרחי פועל בכיוון אחד בלבד, והטור ההרמוני הוא הדוגמה הנגדית: [math]\displaystyle{ \frac{1}{n}\to0 }[/math] אבל [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}=\infty }[/math] (בסרטון, 02:36: "ממש לא").
לבלבל בין חסימות האיברים לחסימות הסכומים החלקיים: בטור ההרמוני האיברים [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math] חסומים ואף שואפים לאפס, אבל הסדרה [math]\displaystyle{ S_n }[/math] אינה חסומה; טענה 3.3.2 עוסקת בסדרה [math]\displaystyle{ S_n }[/math], לא בסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math].
"תת־סדרה של הסכומים החלקיים שואפת לאינסוף, ולכן סכום הטור הוא [math]\displaystyle{ \infty }[/math]" נכון לטור חיובי, שבו [math]\displaystyle{ S_n }[/math] מונוטונית עולה, אבל לא לכל טור: לטור [math]\displaystyle{ 1-2+3-4+\cdots }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ S_{2n-1}=n\to\infty }[/math] אבל [math]\displaystyle{ S_{2n}=-n\to-\infty }[/math].
מועד ב' תשס"ג · שאלה 2: טור חיובי שסכומיו החלקיים חסומים מתכנס (נכון/לא נכון, עם פתרון)
מועד ב' תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה 3א: [math]\displaystyle{ \sum(\sqrt[n]n-1) }[/math] מתבדר, בהשוואה לטור ההרמוני (פתרון)
מועד א' תשע"ג (מדמ"ח) · שאלה 1ב: אם [math]\displaystyle{ \liminf(na_n)>0 }[/math] אזי הטור מתבדר, בהשוואה לטור ההרמוני (דף פתרונות בלבד)
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הטורים
טורים חיוביים · סדרת הסכומים החלקיים של טור חיובי מונוטונית עולה, ולכן הטור מתכנס או שואף לאינסוף; אחר כך מבחני ההשוואה, ובסוף הדף תרגילים עם פתרונות
הקשר בין התכנסות טור לגבול האיבר הכללי · הכיוון ההפוך של התנאי ההכרחי אינו נכון: הטור ההרמוני; באותו דף ("דוגמא חשובה") גם הוכחה שהטור ההרמוני מתבדר דרך סדרות קושי
![איברי הטור ההרמוני כעמודות ברוחב [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ובגובה [math]\displaystyle{ \frac{1}{k} }[/math], כך ששטח העמודה ה־[math]\displaystyle{ k }[/math] הוא בדיוק [math]\displaystyle{ \frac{1}{k} }[/math] (כאן [math]\displaystyle{ k=1,\dots,16 }[/math]). העמודות מחולקות לבלוקים [math]\displaystyle{ \{1\} }[/math], [math]\displaystyle{ \{2\} }[/math], [math]\displaystyle{ \{3,4\} }[/math], [math]\displaystyle{ \{5,\dots,8\} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \{9,\dots,16\} }[/math], ומהבלוק השלישי והלאה מספר האיברים בכל בלוק כפול ממספרם בבלוק הקודם ([math]\displaystyle{ 1,1,2,4,8 }[/math] איברים). בכל בלוק יש מלבן כחול ששטחו בדיוק [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] והוא נמצא מתחת לעמודות (מהבלוק השני והלאה גובהו הוא האיבר הקטן ביותר בבלוק, למשל [math]\displaystyle{ 4\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{2} }[/math] בבלוק [math]\displaystyle{ \{5,\dots,8\} }[/math]), ולכן סכום כל בלוק הוא לפחות [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math]. מכאן [math]\displaystyle{ S_{16}\ge5\cdot\frac{1}{2} }[/math], ובאופן כללי [math]\displaystyle{ S_{2^{n-1}}\ge\frac{n}{2} }[/math]: כל בלוק נוסף מוסיף לסכום לפחות [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math], אף שהאיברים עצמם שואפים לאפס.](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c3-04.png)